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《平面向量》知识点总结


《平面向量》知识点总结
一、向量的相关概念:? 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量
注:数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大 小,双重性,不能比较大小
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2.向量的表示方法:几何表示法:①用有向线段表示;②用字母 a 、 b 等表示;③

用有向线段的起点与 ??? ? 终点字母: AB ;坐标表示法: a ? xi ? yj ? ( x, y)
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3、向量的模:向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 4、特殊的向量:①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 0 的方向是任意的
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②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都是只限 制大小,不确定方向.

? ? 5、相反向量:与 a 长度相同、方向相反的向量 记作 ? a
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? ? ? ? 6、相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量 a 与 b 相等,记作 a=b ;
? ? 7、平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a / / b 平行向量也称为共线向量
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规定零向量与任意向量平行。

? ? ? ? 0 ) 8、 两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量 a 与 b , OA = a ,OB = b , ?A B ? ? ( ? ? ? ? 作 则 O
叫 a 与 b 的夹角

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说明: 当 ? ? 0 时,a 与 b 同向; 当 ? ? ? 时,a 与 b 反向; 当 ? ? (1) (2) (3)

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时,a 与 b 垂直, a ? b ; 记
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规定零向量和任意向量都垂直。 (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围 0?≤?≤180?

? ? 9、实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ) ? a ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 ,方 ?AOB ? ? 向是任意的

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10、两个向量的数量积:
已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)
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规定 0 ? a ? 0

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11、向量的投影
定义: | b | cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 | b | ;当? = 180?时投影为 ? | b |

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? ? ? a ?b | b | cos ? ? ? R ,称为向量 b 在 a 方向上的投影,投影的绝对值称为射影 a
二、重要定理、公式:

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?? ?? ? 1、平面向量基本定理: e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有
且仅有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2

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(1)平面向量的坐标表示
在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,
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由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? y j .我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角) 坐标,记作 a ? ( x, y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. (2)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
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2、两个向量平行的充要条件?
向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a
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? ? ? ? a ∥ b ? a = ? b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ?
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3、两个向量垂直的充要条件? ? ? ? ? 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b

? ? ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?
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4、平面内两点间的距离公式 ? ? ? 2 2 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x2 ? y 2 或 | a |? x ? y
?

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(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) ,那么

??? ? | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 (平面内两点间的距离公式) ? ? a ?b 5、两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? = ? ? ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

2

? ? ? ? ? ? 注意: (1)结合律不成立: a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ;
(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

? ?

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不能得到 b ? c

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(3) a ? b ? 0 不能得到 a ? 0 或 b ? 0

? ?

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乘法公式成立: ? ? ? ? ? 2 ?2 ? 2 ? 2 (a ? b)(a ? b) ? a ? b ? a ? b

? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b
6、线段的定比分点公式: 设点 P 分有向线段 P P2 所成的比为 ? ,即 P1 P = ? PP ,则? 1 2 x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1 ? ? , ? (线段定比分点的坐标公式)? ? ? y ? y1 ? ?y 2 . ? 1? ? ? x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , 1 ? 当 ? ? 1 时,得到中点公式: OP = ( OP + OP )或 ? 1 2 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ? 7、平移公式: ? ? x? ? x ? h, (1)设点 P( x, y) 按向量 a ? (h, k ) 平移后得到点 P '( x ', y ') ,则 OP? = OP +a 或 ? ? y ? ? y ? k. ? (2)曲线 y ? f ( x) 按向量 a ? (h, k ) 平移后所得的曲线的函数解析式为: y ? k ? f ( x ? h)

附:三角形的四个“心”
重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.

非零向量 a 与

a a

有关系是:

a a

是 a 方向上的单位向量

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