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苏州市2014届高三第一次调研测试数学


苏州市 2014 届高三调研测试

数学Ⅰ试题
1. 已知集合 A? { x | x< 2 },B? { ?1,0,2,3 },则 A∩B? 2. 已知 i 为虚数单位,计算 (1 ? 2i)(1 ? i) 2 = 3. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( 0 ? ? ? 对称,则 θ ? 则 S7 = ▲ . ▲ . ▲

r />
2014.1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ .

π π )的图象关于直线 x ? 2 6

开始 输入 x N

4. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27, ▲ . ▲ . 5. 若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为

x≥0

Y

y ←?2x

y ← x(x?2)

6. 运行右图所示程序框图,若输入值 x?[?2,2],则输出值

y 的取值范围是
7. 已知 sin( x ?



. ▲ . 输出 y 结束 (第 6 题)

π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = 4 5 4 5

8. 函数 y ? ex ? ln x 的值域为





9. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, c = t a ?(1 ?t) b . 若 b · c = 0,则实数 t 的值为 ▲ .

10. 已知 m?{?1,0,1},n?{?1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经过第二 象限的概率是 ▲ . ▲ .

? x 2 ? x ( x≥ 0), ? 11. 已知 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 f ( x 2 ? x ? 1) ? 12 的解集是 ? x ? x ( x ? 0) ? ?

12. 在直角坐标系 xOy 中,已知 A(?1,0) ,B(0,1) ,则满足 PA2 ? PB 2 ? 4 且在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为 ▲ . ▲ . ▲ .

13. 已知正实数 x,y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x?y 的最小值为 14. 若

m2 x ? 1 ? 0 (m? 0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

1 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求 证: (1)PA∥平面 MDB; (2)PD⊥BC.

(第 16 题) 17. (本小题满分 14 分) 甲、乙两地相距 1000 km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km/h ,已知 1 货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的 4 倍,固定成本为 a 元. (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v( km/h )的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

18. (本小题满分 16 分)
x2 y 2 1 ,点 P(2e, )在椭圆上(e 为 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) 2 a 2 b2 椭圆的离心率) .

如图,已知椭圆

(1)求椭圆的方程;

???? ??? ? ???? ??? ? (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 OC ? ? BA ,且 OC ? OB ? 0 ,求实数 λ 的值.

(第 18 题) 19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}满足 an?1= 2an?n2 ? 4n? 1. (1)若 a1? 3,求证:存在 f (n) ? an 2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an?f(n) }是等比数列, 并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

20. (本小题满分 16 分)
b 已知 a,b 为常数,a? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x . x (1)若 a = 2,b = 1,求 f ( x) 在(0,?∞)内的极值; (2)①若 a> 0,b> 0,求证: f ( x) 在区间[1,2]上是增函数;

②若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e ?2 ,且 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形成的 平面区域的面积.

苏州市 2014 届高三调研测试

数学Ⅱ(附加题)2014.1
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做,每位 考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选做题中的前 2 题计分.第 22、 23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的 答题区域 内 ...... ..... .... . 作答 ,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..
A .选修 4 ? 1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)

如图,MN 为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依次交于 A,B,C,D,E, 求证:AB·CD = BC·DE.

B .选修 4 ? 2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)

(第 21-A 题)

? ?1 a ? 已知 a,b ? R ,若 M = ? ? 所对应的变换 TM 把直线 2 x?y = 3 变换成自身,试求 ? b 3?

实数 a,b.
C .选修 4 ? 4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

在极坐标系中,求点 M (2,

π π ) 关于直线 ? ? 的对称点 N 的极坐标,并求 MN 的长. 6 4

D .选修 4 ? 5:不等式选讲(本小题满分 10 分)

已知 x,y,z 均为正数.求证:

x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22. (本小题满分 10 分) 如图,在空间直角坐标系 O?xyz 中,正四棱锥

P?ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 ,点 M,N 分别
在 PA,BD 上,且
PM BN 1 ? ? . PA BD 3

(1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.

(第 22 题) 23. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量, 从棱长为 1 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点, 当四点共面时,

? = 0,当四点不共面时, ? 的值为四点组成的四面体的体积.
(1)求概率 P( ? = 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E ( ? ).


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