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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆的方程


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

圆_的_方_程

[知识能否忆起] 1.圆的定义及方程

定义 标准 方程 一般 方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F&g

t;0) 圆心:(a,b),半径:r D E? 圆心:? ?- 2 ,- 2 ?, 1 半径: D2+E2-4F 2

2.点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是( 1 A. <m<1 4 1 C.m< 4 1 B.m< 或 m>1 4 D.m>1 )

1 解析:选 B 由(4m)2+4-4×5m>0 得 m< 或 m>1. 4 2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:选 A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1. 3.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 ) B.(0,1) D.(1,+∞) )

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C.(x-1)2+(y-3)2=1

D.x2+(y-3)2=1

解析:选 A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2,故 圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 4 . (2012· 潍坊调研 ) 圆 x2 - 2x + y2 - 3 = 0 的圆心到直线 x + 3 y - 3 = 0 的距离为 ________. 解析:圆心(1,0),d= 答案:1 5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 ____________________. 解析:设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0) ∴ |2| 1+1 =a,∴a= 2, |1-3| =1. 1+3

∴x2+y2=2. 答案:x2+y2=2 1.方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是: (1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

圆的方程的求法

典题导入 [例 1] (1)(2012· 顺义模拟)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长 之比为 1∶2,则圆 C 的方程为( 4 3 A.?x± ?2+y2= 3 ? 3? 4 3 C.x2+?y± ?2= ? 3? 3 ) 1 3 B.?x± ?2+y2= 3 ? 3? 1 3 D.x2+?y± ?2= ? 3? 3

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(2)已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3)两点, 圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程为________________. 2π [自主解答] (1)由已知知圆心在 y 轴上, 且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 , 设圆心(0, 3 π π 2 3 3 b),半径为 r,则 rsin =1,rcos =|b|,解得 r= ,|b|= ,即 b=± . 3 3 3 3 3 4 3 故圆的方程为 x2+?y± ?2= . ? 3? 3 (2)圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+F=0,

? ?26+5D+F=0, 则? ? ?10+D+F=0, ? ?D=-4, 解得? ?F=-6. ?
圆 C 的方程为 x2+y2-4x-6=0. [答案] (1)C (2)x2+y2-4x-6=0 由题悟法 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形 结合思想的运用. 以题试法 1.(2012· 浙江五校联考)过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A, B,则△ABP 的外接圆的方程是( A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5 ) B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5

解析:选 D 易知圆心为坐标原点 O,根据圆的切线的性质可知 OA⊥PA,OB⊥PB, 因此 P,A,O,B 四点共圆,△PAB 的外接圆就是以线段 OP 为直径的圆,这个圆的方程是 (x-2)2+(y-1)2=5. 与圆有关的最值问题

典题导入 [例 2] (1)(2012· 湖北高考)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部 分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 B.y-1=0 )

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C.x-y=0

D.x+3y-4=0

(2)P(x,y)在圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 上移动,则 x2+y2 的最小值为________. [自主解答] (1)当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点 连线的斜率 k=1,∴直线 OP 垂直于 x+y-2=0. (2)由 C(1,1)得|OC|= 2,则|OP|min= 2-1,即( 值为( 2-1)2=3-2 2. [答案] (1)A (2)3-2 2 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u= 题(如 A 级 T9); (2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法 2(2)); (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)). 以题试法 2.(1)(2012· 东北三校联考)与曲线 C:x2+y2+2x+2y=0 相内切,同时又与直线 l:y= 2-x 相切的半径最小的圆的半径是________. (2)已知实数 x,y 满足(x-2)2+(y+1)2=1 则 2x-y 的最大值为________,最小值为 ________. 解析:(1)依题意,曲线 C 表示的是以点 C(-1,-1)为圆心, 2为半径的圆,圆心 C(- |-1-1-2| 1,-1)到直线 y=2-x 即 x+y-2=0 的距离等于 =2 2,易知所求圆的半径等 2 2 2+ 2 3 2 于 = . 2 2 (2)令 b=2x-y, 则 b 为直线 2x-y=b 在 y 轴上的截距的相反数, 当直线 2x-y=b 与圆 |2×2+1-b| 相切时,b 取得最值.由 =1.解得 b=5± 5,所以 2x-y 的最大值为 5+ 5,最 5 小值为 5- 5. 3 2 答案:(1) 2 (2)5+ 5 5- 5 y-b 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问 x-a x2+y2)min= 2-1.所以 x2+y2 的最小

与圆有关的轨迹问题

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典题导入 [例 3] (2012· 正定模拟)如图,已知点 A(-1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x2 +y2=1 上的动点,连接 BC 并延长至 D,使得|CD|=|BC|,求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程. [自主解答] 设动点 P(x,y),由题意可知 P 是△ABD 的重心. 由 A(-1,0),B(1,0),令动点 C(x0,y0), 则 D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得 -1+1+2x -1 ? , ?x= 3 ? 2y ? ?y= 3 ,
0 0

3x+1 ? ?x = 2 , 则? 3y ? ?y = 2 ?y ≠0?,
0 0 0

1 4 x+ ?2+y2= (y≠0), 代入 x2+y2=1,整理得? ? 3? 9 1?2 2 4 故所求轨迹方程为? ?x+3? +y =9(y≠0).

由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 以题试法 3.(2012· 郑州模拟)动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的 轨迹方程为( ) B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16

A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16

解析:选 B 设 P(x,y),则由题意可得 2 ?x-2?2+y2= ?x-8?2+y2,化简整理得 x2 +y2=16.

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1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 B.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5

)

解析: 选 A 圆上任一点(x, y)关于原点对称点为(-x, -y)在圆(x+2)2+y2=5 上, 即(- x+2)2+(-y)2=5.即(x-2)2+y2=5. 2.(2012· 辽宁高考)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 )

解析:选 C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B, C,D 四个选项中,只有 C 选项中的直线经过圆心. 3.(2012· 青岛二中期末)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( 7 y- ?2=1 A.(x-3)2+? ? 3? C.(x-1)2+(y-3)2=1 ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3 x- ?2+(y-1)2=1 D.? ? 2?

|4a-3| 解析: 选 B 依题意设圆心 C(a,1)(a>0), 由圆 C 与直线 4x-3y=0 相切, 得 =1, 5 解得 a=2,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 4. (2012· 海淀检测)点 P(4, -2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+4)2+(y-2)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
0

)

解析:选 A

x , ?x=4+ 2 设圆上任一点为 Q(x ,y ),PQ 的中点为 M(x,y),则? -2+y ?y= 2 ,
0 0 0



? ?x0=2x-4, 得? 因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+ ?y0=2y+2. ?

1)2=1. 5.(2013· 杭州模拟)若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0,关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, 则 a-b 的取值范围是( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) ) B.(-∞,0) D.(4,+∞)

解析:选 A 将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且

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10-5a>0,即 a<2.∵圆关于直线 y=x+2b 对称,∴圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+ 2b,解得 b=-2,∴a-b<4. 6.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点, 则|MN|的最小值是( 9 A. 5 4 C. 5 ) B.1 13 D. 5

解析:选 C 圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离 d= |-3-4-2| 9 4 = ,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5 5 5 7 .如果三角形三个顶点分别是 O(0,0) , A(0,15) , B( - 8,0) ,则它的内切圆方程为 ________________. 解析: 因为△AOB 是直角三角形, 所以内切圆半径为 r= |OA|+|OB|-|AB| 15+8-17 = = 2 2

3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3)2+(y-3)2=9. 答案:(x+3)2+(y-3)2=9 8.(2013· 河南三市调研)已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称, 直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为__________. 解析:设所求圆的半径是 R,依题意得,抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0),则圆 C 的 圆心坐标是(0,1), 圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d=
2

|4×0-3×1-2| |AB|? =1, 则 R2=d2+? 2 ? ? 2 2 4 +?-3?

=10,因此圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10. 答案:x2+(y-1)2=10 y-2 9.(2012· 南京模拟)已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1 y-2 y-2 解析: 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以 的最小值是直线 PQ x-1 x-1

与圆相切时的斜率.设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 y-2 3 3 3 k= ,结合图形可知, ≥ ,故最小值为 . 4 4 4 x-1

|2-k|

=1 得 k2+1

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3 答案: 4 10.过点 C(3,4)且与 x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为 r1,r2,求 r1r2. 解:由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限, 且在直线 y=x 上,故可设两圆方程为 (x-a)2+(y-a)2=a2,(x-b)2+(y-b)2=b2, 且 r1=a,r2=b.由于两圆都过点 C, 则(3-a)2+(4-a)2=a2,(3-b)2+(4-b)2=b2 即 a2-14a+25=0,b2-14b+25=0. 则 a、b 是方程 x2-14x+25=0 的两个根. 故 r1r2=ab=25. 11.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40.②

? ? ?a=-3, ?a=5, 由①②解得? 或? ?b=6 ?b=-2. ? ?
∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. 12.(2012· 吉林摸底)已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆;

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(2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且|MN|= 求 m 的值.

4 5 , 5

解:(1)方程 C 可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,显然只要 5-m>0,即 m<5 时方程 C 表示圆. (2)因为圆 C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-m,其中 m<5,所以圆心 C(1,2),半径 r= 5-m, |1+2×2-4| 1 则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为 d= = , 5 12+22 因为|MN|= 4 5 1 2 5 ,所以 |MN|= , 5 2 5 1 ?2 ?2 5?2 + , ? 5? ? 5 ?

所以 5-m=? 解得 m=4.

x2 y2 1. (2012· 常州模拟)以双曲线 - =1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的 6 3 方程是( ) B.(x-3)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9

A.(x- 3)2+y2=1 C.(x- 3)2+y2=3 解析:选 B |3| 1 +?± 2?
2 2

双曲线的渐近线方程为 x± 2y=0,其右焦点为(3,0),所求圆半径 r=

= 3,所求圆方程为(x-3)2+y2=3.

2.由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT| 最小时,点 P 的坐标是( A.(-1,1) C.(-2,0) ) B.(0,2) D.(1,3) |PC|2-1,

解析: 选 B 根据切线长、 圆的半径和圆心到点 P 的距离的关系, 可知|PT|=

故|PT|最小时,即|PC|最小,此时 PC 垂直于直线 y=x+2,则直线 PC 的方程为 y+2=-(x

?y=x+2, ? -4),即 y=-x+2,联立方程? 解得点 P 的坐标为(0,2). ?y=-x+2, ?

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3.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求 四边形 PAMB 面积的最小值. 解:(1)设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ?1-a? +?-1-b? =r , ? ? 根据题意,得??-1-a? +?1-b? =r , ? ?a+b-2=0.
2 2 2 2 2 2

解得 a=b=1,r=2, 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)因为四边形 PAMB 的面积 S=S△PAM+S△PBM 1 1 = |AM|· |PA|+ |BM|· |PB|, 2 2 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= 即 S=2 |PM|2-|AM|2= |PM|2-4. |PM|2-4,

因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小, 所以|PM|min= |3×1+4×1+8| =3, 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 32+42 |PM|2 min-4

=2

32-4=2 5.

1.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四 边形 ABCD 的面积为( A.5 2 C.15 2 ) B.10 2 D.20 2

解析:选 B 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内, 故过点 E(0,1)的最短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点

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为中点的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四 1 1 边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= ×2 10×2 5=10 2. 2 2 2.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的 最小值是________. 解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到 l 的距离 d= 则 AB 边上的高的最小值为 3 -1. 2 3 , 2

3 1 故△ABC 面积的最小值是 ×2 2×? -1?=3- 2. 2 ? 2 ? 答案:3- 2 3.(2012· 抚顺调研)已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆 上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解:(1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连接 ON, 则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.


《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆的方程

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