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高中数学人教版选修2-1教学设计:§3.2立体几何中的向量方法(3)


§3.2 立体几何中的向量方法(3)
学习目标
1. 进一步熟练求平面法向量的方法; 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法; 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

学习过程
一、课前准备 复习 1:已知 A ?1, 2,0? , B ? 0,1,1? , C ?1,1,2? ,试求平面

ABC 的一个法向量.

复习 2:什么是点到平面的距离?什么是两个平面间距离?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:点到平面的距离的求法 ? ??? ? ? 问题:如图 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,已知平面 ? 的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 ??? ? ? AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO ⊥ ? 于 O, ?P 连结 OA,则 ? ? ??? ? ??? ? n d=| PO |= | PA | ?cos ?APO. ??? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , A? ??? ? ? ? ?O ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? | ??? ? ? ??? ? ∴D. =| PA ||cos ? PA, n? | ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | ? ??? = = ?? |n| |n| 新知:用向量求点到平面的距离的方法: ? 设 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,平面 ? 的一个法向量为 n ,则 ??? ? ? | PA ? n | ? D. = ?? |n| 试试:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求点 C ' 到平面 A' BCD ' 的距离.

反思:当点到平面的距离不能直接求出的情况下,可以利用法向

量的方法求解.

※ 典型例题 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

变式:如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

N D C

M A

B

小结:求点到平面的距离的步骤: ⑴ 建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向量的坐标;⑵ 求平面的一个法向量的坐标; ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标;⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二:两条异面直线间的距离的求法 例 2 如图,两条异面直线 a , b 所成的角为 ? ,在直线 a , b 上分别取点 A' , E 和 A, F ,使得 AA' ? a ,且 AA' ? b .已知 A' E ? m, AF ? n, EF ? l ,求公垂线 AA ' 的长.

? 变式:已知直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 的侧棱 AA1 ? 4 ,底面 △ ABC 中, AC ? BC ? 2 ,且 ?BCA ? 90 , E 是 AB 的 中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

? 小结:用向量方法求两条异面直线间的距离,可以先找到它们的公垂线方向的一个向量 n ,再在两条直线上 ? ??? ? n ? AB ? 求解. 分别取一点 A, B ,则两条异面直线间距离 d ? ?? n

三、总结提升 ※ 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 ※ 知识拓展 用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,平面 ABB ' A' 的一个法向量为 ; ' ' ABCD ? A ' B ' C ' D ' 2. 在棱长为 1 的正方体 中,异面直线 A B 和 CB 所成角是 ; 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,两个平行平面间的距离是 ; ' ' 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异面直线 A B 和 CB 间的距离是 ; ' ' ' ' O ABCD ? A ' B ' C ' D ' A B C D 5. 在棱长为 1 的正方体 中,点 是底面 中心,则点 O 到平面 A'CDB ' 的距离是 .

课后作业
1. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 M 是棱 AA1 中点,点 O 是 BD1 中点,求证: OM 是异面直 线 AA1 与 BD1 的公垂线,并求 OM 的长.

2. 如图,空间四边形 OABC 各边以及 AC , BO 的长都是 1,点 D, E 分别是边 OA, BC 的中点,连结 DE . ⑴ 计算 DE 的长; ⑵ 求点 O 到平面 ABC 的距离.


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