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【强烈推荐】高一数学必修一复习(2)


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必修 1 第1章 集 合 §1.1 集合的含义及其表示

高三数学学习资料

重难点:集合的含义与表示方法,用集合语言表达数学对象或数学内容;区别元素与集合等概念及其符 号表示;用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容;集合表示法的恰当选择. 考纲要求:①了解集合的含义、元素与集合的“属于”

关系; ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 经典例题:若 x∈R,则{3,x,x -2x}中的元素 x 应满足什么条件?
2

当堂练习: 1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( A.某班个子较高的同学 2.下面四个命题正确的是( B.长寿的人 ) B.由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} ) C.

2 的近似值

D.倒数等于它本身的数

A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7}
2

C.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1} D.0 与{0}表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1;
+

(2)若 -a ? Z,则 a ? Z;

(3)所有的正实数组成集合 R ; (4)由很小的数可组成集合 A; 其中正确的命题有( A.1 )个 B.2
2

C.3
2

D.4

4.下面四个命题: (1)零属于空集; 其中正确的命题有( A.1 )个 B.2

(2)方程 x -3x+5=0 的解集是空集;

(3)方程 x -6x+9=0 的解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0 的解集是无限集; C.3 ) D.4

5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( A. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 } C. {(x,y) x ? 0, y ? 0 } 6.用符号 ? 或 ? 填空: 0__________{0} , 0__________N, 0

B. {(x,y) x ? 0, y ? 0 } D. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 }

a__________{a} ,

?

__________Q ,

1 2

__________Z , - 1__________R ,

?.

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7.由所有偶数组成的集合可表示为{ x x ? 8.用列举法表示集合 D={ ( x, y ) y ? ? x ? 8, x ? N , y ? N }为
2

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}. .

9.当 a 满足

时, 集合 A={ x 3 x ? a ? 0, x ? N ? }表示单元集.

10.对于集合 A={2,4,6},若 a ? A,则 6-a ? A,那么 a 的值是__________. 11.数集{0,1,x -x}中的 x 不能取哪些数值?
2

12.已知集合 A={x ? N|

12 6- x

?N

},试用列举法表示集合 A.

13.已知集合 A={ x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R }.
2

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值;

(2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1,则

1 1? a

? A ,证明:

(1)若 2 ? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。

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必修 1 §1.2 子集、全集、补集

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重难点:子集、真子集的概念;元素与子集,属于与包含间的区别;空集是任何非空集合的真子集的理 解;补集的概念及其有关运算. 考纲要求:①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; ②在具体情景中,了解全集与空集的含义; ③理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 经典例题:已知 A={x|x=8m+14n,m、n∈Z} B={x|x=2k,k∈Z} , ,问: (1)数 2 与集合 A 的关系如何? (2)集合 A 与集合 B 的关系如何?

当堂练习: 1.下列四个命题:① ? ={0} ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空 集是任何一个集合的子集.其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.a≤1 ) ) D.3 个

2.若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N ? M,则( A.a>1 B.a≥1 C.a<1

3.设 U 为全集,集合 M、N

U,且 M ? N,则下列各式成立的是(
B. D.

A. C.

u

M? M?

u

N N

u

M?M M?N
=,B={x|x +x-2=0},C={x|-2≤x<1
2

u

u

u

4. 已知全集 U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1 =,则( A.C ? A C. ) B.C ? D.

u

A

u

B=C

u

A=B


5.已知全集 U={0,1,2,3}且

u

A={2},则集合 A 的真子集共有(

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A.3 个 6.若 A B.5 个 C.8 个 D.7 个

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B,A

C,B={0,1,2,3} C={0,2,4,8} , ,则满足上述条件的集合 A 为________.
2 2

7.如果 M={x|x=a +1,a ? N*},P={y|y=b -2b+2,b ? N+},则 M 和 P 的关系为 M_________P. 8.设集合 M={1,2,3,4,5,6},A ? M,A 不是空集,且满足:a ? A,则 6-a ? A,则满足条件的集 合 A 共有_____________个. 9.已知集合 A={ ?1 ? x ? 3 },
2 u

A={ x | 3 ? x ? 7 },

u

B={ ?1 ? x ? 2 },则集合 B= .



10.集合 A={x|x +x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B 11.判断下列集合之间的关系:

A,则实数 m 的值是

(1)A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形}; (2)A={ x | x ? x ? 2 ? 0 },B={ x | ?1 ? x ? 2 },C={ x | x ? 4 ? 4 x };
2

2

(3)A={ x | 1 ? x ? 10 },B={ x | x ? t ? 1, t ? R },C={ x | 2 x ? 1 ? 3 };
10
2

(4) A ? {x | x ?

k 2

?

1 4

, k ? Z }, B ? {x | x ?

k 4

?

1 2

, k ? Z }.

12. 已知集合 A ? x | x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0,x ? R ,且
2

?

?

A ? {负实数},求实数 p 的取值范围.

13..已知全集 U={1,2,4,6,8,12},集合 A={8,x,y,z},集合 B={1,xy,yz,2x},其中 z ? 6,12 ,若 A=B, 求
u

A..

14.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x ? U|x -5qx+4=0,q ? R}.
2

(1)若 (2)若

u

A=U,求 q 的取值范围; A 中有四个元素,求 A 和 q 的值;

u

u

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(3)若 A 中仅有两个元素,求
u

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A 和 q 的值.

必修 1

§1.3 交集、并集

重难点:并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系. 考纲要求:①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; ②能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算. 经典例题:已知集合 A= ? x x ? x ? 0? , B= ? x ax ? 2 x ? 4 ? 0? , 且 A ? B=B,求实数 a 的取值范围.
2
2

当堂练习: 1.已知集合 M ? ? x x ? px ? 2 ? 0? , N ? ? x x ? x ? q ? 0? , 且M ? N ? ?2? ,则
2 2

p, q 的值为



) .

A. p ? ?3, q ? ?2

B. p ? ?3, q ? 2

C. p ? 3, q ? ?2

D. p ? 3, q ? 2

2.设集合 A={ x,y)|4x+y=6} B={ x,y)|3x+2y=7} ( , ( ,则满足 C ? A∩B 的集合 C 的个数是 ( ) . A.0 B.1 C.2 D.3

3.已知集合 A ? ? x | ?3 ? x ? 5?,B ? ? x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?, A ? B ? B , 且

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 C. a ? 0

) .

B. 0 ? a ? 1 D. ? 4 ? a ? 1
f ( x) g ( x)
D. M ? N

4.设全集 U=R,集合 M ? ? x f ( x ) ? 0? , N ? ? x g ( x ) ? 0? , 则方程

? 0 的解集是(

) .

A. M

B. M ∩(

u

N)

C. M ∪(

u

N) (A ? B)=(

5.有关集合的性质:(1)

u

(A ? B)=(

u

A)∪(

u

B); (2)

u

u

A) ? (

u

B)

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(3) A ? ( A.1
u

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)个.

A)=U

(4) A B. 2

?

(

u

A)= ?

其中正确的个数有( D.4

C.3

6.已知集合 M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a≤0} ,若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围是 7.已知集合 A={x|y=x -2x-2,x∈R} B={y|y=x -2x+2,x∈R} , ,则 A∩B= 8.已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5? , 且A ? ( 则 A= ,B= .
2 2

. .

u

B) ? ?1, 2? , ( 2

u

A) ? B ? ?4, 5? , A ? B ? ? ,

A
9.表示图形中的阴影部分

B

10.在直角坐标系中,已知点集 A= ( x , y )

?

y?2 x ?1

? 2 ,B= ?( x , y ) y ? 2 x? ,则

?



C

(

u

A)

?

B=
2


2 2

11.已知集合 M= ?2, a ? 2, a ? 4? , N ? ?a ? 3, a ? 2, a ? 4a ? 6? , 且M ? N ? ? 2? ,求实数 a 的的值.

12. 已知集合 A ? ? x x ? bx ? c ? 0? , B ? ? x x ? mx ? 6 ? 0? , 且A ? B ? B , A ?B = ?2? , 求实数 b,c,m 的值.
2 2

13. (

已 知

A

?

B={3},
*

(

u

A) ∩ B={4,6,8}, (A∪B),A,B.

A ∩ (

u

B)={1,5},(

u

A) ∪

u

B)={ x x ? 10, x ? N , x ? 3 },试求

u

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2 2 2

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14.已知集合 A= ? x ? R x ? 4 x ? 0? ,B= ? x ? R x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0? ,且 A∪B=A,试求 a 的取值范围.

必修 1

第1章 集 合 §1.4 单元测试

1.设 A={x|x≤4},a= 17 ,则下列结论中正确的是( (A){a}

) (D)a ? A

2.若{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5},则集合 A 的个数是(

?A ≠

(B)a ? A (B)7 (C)4 ) (D)3

(C){a}∈A )



(A)8

3.下面表示同一集合的是(

(A)M={(1,2)},N={(2,1)} (C)M= ? ,N={ ? }

(B)M={1,2},N={(1,2)} (D)M={x| x ? 2 x ? 1 ? 0} ,N={1}
2

4.若 P ? U,Q ? U,且 x∈CU(P∩Q) ,则( (A)x ? P 且 x ? Q (A)M∩N=N
2

) (C)x∈CU(P∪Q) (C)CUN ? CUM
2

(B)x ? P 或 x ? Q ) (B)M∪N=M

(D)x∈CUP

5. 若 M ? U,N ? U,且 M ? N,则(

(D)CUM ? CUN )

6.已知集合 M={y|y=-x +1,x∈R},N={y|y=x ,x∈R},全集 I=R,则 M∪N 等于( (A){(x,y)|x= ?

2 2

,y ?

1 2

, x, y ? R}

(B){(x,y)|x ? ? (D){y|y<0, 或 y>1} ) (C)28

2 2

,y?

1 2

, x, y ? R}

(C){y|y≤0,或 y≥1} 有 4 人,则两项测试成绩都及格的人数是( (A)35 (B)25

7. 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测试均不及格的 50 (D)15 )

8.设 x,y ? R,A= ?( x, y ) y ? x? ,B= (A)A B (B)B A

?

( x, y )

y x

? 1 ,则 A、B 间的关系为(
(D)A∩B= ?

?

(C)A=B

9. 设全集为 R,若 M= ? x x ? 1? ,N= (A) ? x x ? 0? (B)

?x 0 ? x ? 5? ,则(CUM)∪(CUN)是(
(C) ? x x ? 1或x ? 5? (D)



?x

x ? 1或x ? 5?

?x

x ? 0或x ? 5?

10.已知集合 M ? { x | x ? 3m ? 1 , m ? Z }, N ? { y | y ? 3n ? 2 , n ? Z } ,若 x0 ? M , y0 ? N , 则

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( ) x 0 y 0 与集合 M , N 的关系是 (A) x 0 y 0 ? M 但 ? N (B) x 0 y 0 ? N 但 ? M (C) x 0 y 0 ? M 且 ? N (D) x 0 y 0 ? M 且 ? N 11.集合 U,M,N,P 如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是( (A)M∩(N∪P) (C)M∪CU(N∩P) 12.设 I 为全集,A ? I,B (A)CIA C IB
2



(B)M∩CU(N∪P) (D)M∪CU(N∪P) A,则下列结论错误的是( (B)A∩B=B )

U P M N

(C)A∩CIB = ?

(D) CIA∩B= ?

13.已知 x∈{1,2,x },则实数 x=__________. 14.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={1},那么 M∪N 的真子集有 15.已知 A={-1,2,3,4};B={y|y=x -2x+2,x∈A},若用列举法表示集合 B,则 B= 16.设 I ? ? 1 , 2 , 3 , 4 “理想配集” ) 17.已知全集 U={0,1,2,?,9},若(CUA)∩(CUB)={0,4,5},A∩(CUB)={1,2,8},A∩B={9}, 试求 A∪B.
2

个. .

? , A 与 B 是 I 的子集,若 A ? B ? ? 2 ,

3

? ,则称 ( A, B) 为一个“理

想配集” ,那么符合此条件的“理想配集”的个数是

. (规定 ( A, B) 与 ( B, A) 是两个不同的

18.设全集 U=R,集合 A= ? x ? 1 ? x ? 4? ,B= ? y y ? x ? 1, x ? A? ,试求 CUB, A∪B, A∩B,A∩(CUB), ( CU A) ∩(CUB).

19.设集合 A={x|2x +3px+2=0};B={x|2x +x+q=0},其中 p,q,x∈R,当 A∩B= 和 A∪B.

2

2

??
1 2

时,求 p 的值

20.设集合 A= ( x , y ) y ? x ? 4 x ? 6
2

?

?

?b ?

b ? 4 ac
2

2a

,B= ?( x, y ) y ? 2 x ? a? ,问:

(1) a 为何值时,集合 A∩B 有两个元素; (2) a 为何值时,集合 A∩B 至多有一个元素.

21 . 已 知 集 合 A= ?a1 , a2 , a3 , a4 ? , B= a1 , a2 , a3 , a4
2 2 2

?

2

? , 其 中 a , a , a , a均 为 正 整 数 , 且
1 2 3 4

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a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,A∩B={a1,a4}, a1+a4=10, A∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B.

22.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+3a-5},若 A∩B=B,求实数 a 的值.

2

2

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.1.1 函数的概念和图象 重难点:在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x) ”的含义,掌握函数定义域与值域的求 法; 函数的三种不同表示的相互间转化,函数的解析式的表示,理解和表示分段函数;函数的作图及如 何选点作图,映射的概念的理解. 考纲要求:①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数; ③了解简单的分段函数,并能简单应用; 经典例题:设函数 f(x)的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域: (1)H(x)=f(x +1) ; (2)G(x)=f(x+m)+f(x-m) m>0). ( 当堂练习: 1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x ) ? x , g ( x ) ? )
2
2

x

2

B. f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x )

C. f ( x ) ?

x ?1
2

x ?1

, g ( x) ? x ? 1

D. f ( x ) ?

x ?1 ?


x ? 1, g ( x ) ?

x ?1
2

2.函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为( A.必有一个 B.1 个或 2 个 C.至多一个

D.可能 2 个以上 ) D. ? x x ? 1, ?2?

3.已知函数 f ( x ) ? A. ? x x ? 1?

1 x ?1

,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是( C. ? x x ? ?1, ?2?

B. ? x x ? ?2?

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4.函数 f ( x ) ?

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1 1 ? x (1 ? x )

的值域是(



A. [ , ??)

5

B. ( ??, ]

5

C. [ , ??)

4 3

D. ( ??, ]

4 3

4

4

5.对某种产品市场产销量情况如图所示,其中:l1 表示产品各年年产量的变化 规律; l 2 表示产品各年的销售情况.下列叙述: ( ) (1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量; (4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是( ) A. , , (1)(2)(3) B. , (1)(3)(4) , C. , (2)(4) D. , (2)(3) 6.在对应法则 x ? y , y ? x ? b, x ? R, y ? R 中,若 2 ? 5 ,则 ?2 ? 7 . 函 数 f ( x) 对 任 何 x ? R
?

恒 有 f ( 1x?

x) ? 2

f (

1

x? )

, ? 6. f , x已 知 f ( 8 ?) , 则 (2 ) 3

f(

2 ?)



8. 规定记号 ? ” “ 表示一种运算, a ? b ? 即 的值域是___________.

a b ? a ? b ,、 ? R . 若 1 ? k ? 3 , a b 则函数 f ? x ? ? k ? x
?

9.已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1) 对称轴是 x=1; (2) f(x)的最大值为 15;(3) f(x)的两根立 方和等于 17.则 f(x)的解析式是 10.函数 y ? . .

5 x ? 2x ? 2
2

的值域是

11. 求下列函数的定义域 : (1) f ( x ) ?

x 2? 1 x ?1

(2) f ( x ) ?

( x ? 1)

0

x ?x

12.求函数 y ? x ?

3 x ? 2 的值域.

13.已知 f(x)=x +4x+3,求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t).

2

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14.在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有动点 M,从点 B 开始,沿折线 BCDA 向 A 点运动,设 M 点运动的距离为 x,△ABM 的面积为 S. (1)求函数 S=的解析式、定义域和值域; (2)求 f[f(3)]的值.

D

C

A

B

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.2 函数的简单性质

重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明具体函 数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调性求最值;函数奇偶 性概念及函数奇偶性的判定;函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应 用;了解映射概念的理解并能区别函数和映射. 考纲要求:①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 并了解映射的概念; ②会运用函数图像理解和研究函数的性质. 经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在[0,+∞ )上 图象与 f(x)的图象重合.设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是 ①

f ( b )- f (- a )> g ( a )- g (- b )
B.②③
2

② f ( b )- f (- a )< g ( a )- g (- b ) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) C.①③ D.②④

③ f ( a )-f(-b)>g(b)-g(-a) A.①④ 当堂练习:

1.已知函数 f(x)=2x -mx+3,当 x ? ? ?2, ?? ? 时是增函数,当 x ? ? ??, ?2 ? 时是减函数,则 f(1)等于 ( ) A.-3
2

B.13

C.7 是( )

D.含有 m 的变量

2.函数 f ( x ) ?

1? x ? x ?1 1? x ? x ?1
2

A. 非奇非偶函数

B.既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 (2) f ( x ) ?

C. 偶函数

D. 奇函数
2

3.已知函数(1) f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 1 ,

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x ) ? 3 x ? 3 x

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(4) f ( x ) ? A.1

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?0( x ? Q ) ,其中是偶函数的有( ? ?1( x ? C R Q )
B.2

)个 D.4 ( )

C.3

4.奇函数 y=f(x) x≠0) ( ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数 f(x-1)的图象为

5.已知映射 f:A ? B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象, 且对任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是 A.4
2

a

,则集合 B 中元素的个数是( C.6 D.7



B.5

6.函数 f ( x ) ? ?2 x ? 4tx ? t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是 7. 已知函数 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x ? x ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是
2



3 4



8.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) 和

f ( x2 ) 的大小关系是



9.如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称. 10.点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 ( 点 A 坐标是
2

3x ? y 2

,

3y ? x 2

) ,若点 A 在 f 作用下的对应点是 B(2,0),则



x ? 2x ?
13. 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ,其中 x ? [1, ??) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.

x

14.已知函数 f ( x ) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a

?0 。

(1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m ,] 上单调递增; n (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [m , ] ,求 n ? m 的最大值. n

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13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证: F ( x ) ?

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1 2

[ f ( x) ? f (? x)] 是偶函数;

G ( x) ?

1 2

[ f ( x ) ? f ( ? x )] 是奇函数.
3 2

(2)利用上述结论,你能把函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? x ? 3 表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.

14. 在集合 R 上的映射: f1 : x ? z ? x ? 1 , f 2 : z ? y ? 4( z ? 1) ? 1 .
2 2

(1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.3 单元测试

1.设集合 P= ? x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是 .. A. y ?





1 2

x

B. y ?

1 3

x

C. y ?

2 3

x

D. (4)y=

y? x
8
,其中定义域与值域相同的是( D.(2)(3)(4) ) )

1

2.下列四个函数: (1)y=x+1; A.(1)(2)

(2)y=x+1;

(3)y=x -1; C.2)(3)

2

1 x

B.(1)(2)(3)
7

3.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? A.10 4.设函数 f ( x ) ? B. -10

c x

? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f (?2006) 的值为(
C.-14 D.无法确定

( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) ??1( x ? 0) ,则 ( a ? b) 的值为( ? 2 ?1 ( x ? 0)



A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数 5.已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为( ) A. x 0 ? x ?

?

1 4

?

B.

?

x 0?x?

1 2

?

C.

?

x

1 4

?x?

1 2

?

D.

?

x

1 4

? x ?1

?

6.已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 7.已知函数 y ? f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f ( a ) ? f (2) ,则实数 a 的取值 范围是( ) A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2

2

8 . 已 知 奇 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 (??, 0) ? (0, ??) , 且 对 任 意 正 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 恒 有

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 0 ,则一定有(


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A. f (3) ? f (?5) 9.已知函数 f ( x ) ? A. A ? B ? B A. f(x)=x -2x
2

B. f (?3) ? f (?5) C. f (?5) ? f (3)

D. f (?3) ? f (?5) ) D. A ? B ? A ) ) D. f(x)= -x -2x
2

1? x 1? x

的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 B,则( C. A ? B ? ?
2

B. A ? B ? A B. f(x)=x +2x
2

10.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析式是( C. f(x)= -x +2x
2

11.已知二次函数 y=f(x)的图象对称轴是 x ? x0 ,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 (

A. x0 ? b B. x0 ? a C. x0 ? [ a, b] D. x0 ? [ a, b] 12.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则在区间[-7,-3]上( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5 13.已知函数 f ( x ) ?

x

2

1? x

2

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ?

1

1

. . .

2

3

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= 15.定义域为 [ a ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a=
2

16.设 f ( x) ? x 3 ? 3 x, g ( x) ? x 2 ? 2 ,则 g ( f ( x)) ? 17.作出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的图象,并利用图象回答下列问题:
2



(1)函数在 R 上的单调区间;

(2)函数在[0,4]上的值域.

18.定义在 R 上的函数 f(x)满足:如果对任意 x1,x2∈R,都有 f(
2

x1 ? x2 2

)≤

1 2

[f(x1)+f(x2)] ,则称函

数 f(x)是 R 上的凹函数.已知函数 f(x)=ax +x(a∈R 且 a≠0),求证:当 a>0 时,函数 f(x)是凹函数;

19.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( (1)求证:函数 f(x)是奇函数;

x? y 1 ? xy

).

(2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;

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20.记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使 f(x0)=x0 成立,则称以(x0,y0)为坐标的点是函数 f(x) 的图象上的“稳定点” . (1)若函数 f(x)=

3x ? 1 x?a

的图象上有且只有两个相异的“稳定点” ,试求实数 a 的取值范围;

(2)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)存在有限个“稳定点” ,求证:f(x)必有奇数个“稳定点” .

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.2 指数函数

重难点:对分数指数幂的含义的理解,学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质;指 数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有 关问题. 考纲要求:①了解指数函数模型的实际背景; ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算; ③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点; ④知道指数函数是一类重要的函数模型. 经典例题:求函数 y=3
? x 2 ? 2 x ?3

的单调区间和值域.

当堂练习: 1.数 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? ( )
4 6

1

?

1

1

?

1

1

?

1 8

的大小关系是(

) D. c ? b ? a

2
A. a ? b ? c

3

5
B. b ? a ? c C. c ? a ? b )

2.要使代数式 ( x ? 1) 3 有意义,则 x 的取值范围是( A. x ? 1 B. x ? 1 C. x

?

1

?1

D.一切实数

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3.下列函数中,图象与函数 y=4 的图象关于 y 轴对称的是( A.y=-4
x x

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x
-x

) D.y=4 +4
x

B.y=4

-x

C.y=-4

-x

4.把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位长度,得到函数 y ? 2 的图象,则( A. f ( x ) ? 2
x?2



?2
?x

B. f ( x ) ? 2

x?2

?2

C. f ( x ) ? 2

x?2

?2

D. f ( x ) ? 2

x?2

?2

5.设函数 f ( x ) ? a A.f(-2)>f(-1)

( a ? 0, a ? 1) ,f(2)=4,则(
B.f(-1)>f(-2)
?15

) D.f(-2)>f(2)

C.f(1)>f(2) .

6.计算. [( ? ) ] ? ( ?4)

1

3 ?8

2
m?n

1 ?2 ?( ) ? 8
x ?1 ?
2

7.设 x ?

x ? 1 ? a 2 mn ,求 x ?
2

. .

8.已知 f ( x ) ?

1 3 ?1
x

? m 是奇函数,则

f ( ?1) =

9.函数 f ( x ) ? a

x ?1

? 1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点
x

. .

10. 若函数 f ? x ? ? a ? b ? a ? 0, a ? 1? 的图象不经过第二象限, a, b 满足的条件是 则
2 3

11.先化简,再求值: (1)

a

b

a b
2

,其中 a ? 256, b ? 2006 ;

b
? 1 2 ?1 ?2 ? 1 2 ?1 ? 3 2 2

a

(2) [ a b( a b ) ( a ) ] ,其中 a ? 2 3 , b ?

?

1

1
8



2

12.(1)已知 x ? [-3,2],求 f(x)= (2)已知函数 f ( x ) ? a (3)已知函数 y ? a
2x
x ?3 x ?3
2

1 4
x

?

1 2
x

? 1 的最小值与最大值.

在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值.

? 2a ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
x

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13.求下列函数的单调区间及值域: (1) f ( x ) ? ( )

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2 3

x ( x ?1)



(2) y ?

1? 2 4
x

x



(3)求函数 f ( x ) ? 2

?

x ?3 x ? 2

2

的递增区间.

14.已知 f ( x ) ? a ?
x

x?2 x ?1

( a ? 1)

(1)证明函数 f(x)在 ( ?1, ??) 上为增函数;(2)证明方程

f ( x) ? 0 没有负数解.

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.3 对数函数

重难点:理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化,能应用对数运算性质及换底公式灵活 地求值、化简;理解对数函数的定义、图象和性质,能利用对数函数单调性比较同底对数大小,了解对 数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用. 考纲要求:①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用; ②理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点; ③知道对数函数是一类重要的函数模型; ④了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 ? a ? o, a ? 1? .
x

经典例题:已知 f(logax)= (1)求 f(x) ;

a ( x ? 1)
2

x ( a ? 1)
2

,其中 a>0,且 a≠1. (3)求证:f(x)在 R 上为增函数.

(2)求证:f(x)是奇函数;

当堂练习: 1.若 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 lg 0.18 ? ( )

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A. 2a ? b ? 2 2.设 a 表示 B. a ? 2b ? 2 C. 3a ? b ? 2 )

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D. a ? 3b ? 1

1 3? 5

的小数部分,则 log 2 a (2 a ? 1) 的值是(

A. ?1 3.函数 y ? A. [1 ?
2

B. ?2

C.0

D.

1 2

lg( ?3 x ? 6 x ? 7) 的值域是(
B.[0,1]

) C.[0, ??) D.{0}

3,1 ? 3]

4.设函数

?x2 , x ? 0 f ( x) ? ? , 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的取值范围为( ?lg( x ? 1), x ? 0
B. (-1,+∞) C. (??, 9)
2

) D. (??, ?1) ? (9, ??)

A. (-1,1)

5.已知函数 f ( x) ? ( ) ,其反函数为 g ( x ) ,则 g ( x ) 是(
x

1



2
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C.奇函数且在(-∞,0)上单调递减 6.计算 log 2008 [log 3 (log 2 8)] = . B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数且在(-∞,0)上单调递增

7.若 2.5 =1000,0.25 =1000,求

x

y

1 x

?

1 y

?



8.函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f [log 3 (3 ? x)] 的定义域为 9.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是
?1

. .
?1

10.函数 y ? f ( x)( x ? R) 图象恒过定点 (0,1) ,若 y ? f ( x ) 存在反函数 y ? f ( x ) ,则 y ? f 的图象必过定点 .
2 2

(x ) ?1

11.若集合{x,xy,lgxy}={0,|x|,y},则 log8(x +y )的值为多少.

12.(1) 求函数 y ? (log 2

x 3

)(log 2

x 4

) 在区间 [2 2 , 8] 上的最值.
x 8 4 x

(2)已知 2 log 1 x ? 5 log 1 x ? 3 ? 0, 求函数 f ( x ) ? (log 2
2 2 2

) ? (log 1
2

) 的值域.

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13.已知函数 f ( x ) ? log a

1 ? mx x ?1

( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称. (1)求 m 的值;

(2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明.

14.已知函数 f(x)=x -1(x≥1)的图象是 C1,函数 y=g(x)的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称. (1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M; (2)对于函数 y=h(x),如果存在一个正的常数 a,使得定义域 A 内的任意两个不等的值 x1,x2 都有|h(x1) -h(x2)|≤a|x1-x2|成立,则称函数 y=h(x)为 A 的利普希茨Ⅰ类函数.试证明:y=g(x)是 M 上的利普希 茨Ⅰ类函数.

2

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.4 幂函数

重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小. 考纲要求:①了解幂函数的概念; ②结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 x

1

, y ? x 2 的图像,了解他们的变化情况.

经典例题:比较下列各组数的大小:
1 1

(1)1.5 3 ,1.7 3 ,1;
? 2 3

(2) (-

2 2



?

2 3

, (-

10 7

2

) 3 ,1.1

?

4 3



2

3

(3)3.8

,3.9 5 , (-1.8) 5 ;

(4)3 ,5 .

1.4

1.5

当堂练习:

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1.函数 y=(x -2x) A.{x|x≠0 或 x≠2}
2

2

1 2

的定义域是(

) C. (-∞,0) ? [2,+∞ ) D. (0,2)

B. (-∞,0) ? (2,+∞)

3.函数 y= x 5 的单调递减区间为( A. (-∞,1) B. (-∞,0)
m

) C. [0,+∞
n



D. (-∞,+∞)

3.如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y=x 和 y=x 在第一象限的图象, 那么一定有( A.n<m<0 ) B.m<n<0 )
?

y c1
D.n>m>0

C.m>n>0

c2 0 x

4.下列命题中正确的是(

A.当 ? ? 0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线 C.幂函数的 y ? x
?

B.幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点 , D.若幂函数 y ? x 为奇函数,则在定义域内是增函数
?

图象不可能在第四象限内 )

5.下列命题正确的是(

A. 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B. 图象不经过(—1,1)为点的幂函数一定不是偶函数 C. 如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同 D. 如果一个幂函数有反函数,那么一定是奇函数 6.用“<”或”>”连结下列各式: 0.32
0.6

0.32

0.5

0.34 , 0.8?0.4

0.5

0.6?0.4 .

7.函数 y=

1 x
2-m-m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是_______

_.

8.幂函数的图象过点(2,

1 4

), 则它的单调递增区间是



9.设 x∈(0, 1),幂函数 y= x 的图象在 y=x 的上方,则 a 的取值范围是
? 3 4

a



10.函数 y= x

在区间上
3 0.75

是减函数.

5

11.试比较 0.16 3 ,1.5

, 6.25 8 的大小.

12.讨论函数 y=x 的定义域、值域、奇偶性、单调性。

4 5

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13.一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3, (1)求这两个幂函数的解析式; 观察得 f (x)< g(x)的解集.

4

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8, -2),
(3)作出这两个函数的图象,

(2)判断这两个函数的奇偶性;

14.已知函数 y=

4

15-2 x-x 2



(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

基本初等函数Ⅰ单元测试 1. 碘—131 经常被用于对甲状腺的研究, 它的半衰期大约是 8 天(即经过 8 天的时间, 有 一半的碘—131 会衰变为其他元素).今年 3 月 1 日凌晨,在一容器中放入一定量的碘 —131,到 3 月 25 日凌晨,测得 该容器内还 剩有 2 毫克的碘—131,则 3 月 1 日凌晨,放人该容器的碘—131 的含量是( ) A.8 毫克 B.16 毫克 C.32 毫克 D.64 毫克 x -2 y y 2.函数 y=0.5 、 y=x 、y=log0.3x 的图象形状 y 如图所示,依次大致是 ( ) 0 x A. (2) (1) (3) B. (1) (2) (3) 0 x 0 x C. (1) (3) (2) D. (2) (3) (1) 3.下列函数中,值域为(-∞,+∞)的是( ) A.y=2
x

B.y=x

2

C.y=x

-2

(1)

D.y=log ax (a>0, a≠1)

(2)

(3)

4.下列函数中,定义域和值域都不是(-∞,+∞)的是(
x x
-2



A.y=3 B.y=3 C.y=x D.y=log 2x x 5.若指数函数 y=a 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a 等于 A.

1? 2

5

B.

?1 ? 2

5

C.

1? 2

5

D.

5 ?1 2

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6.当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是( A.(1-a) >(1-a)
1 b
b

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b

B.(1+a) >(1+b)

a

C.(1-a) >(1-a)

b

b 2

D.(1-a) >(1-b)

a

b

7.已知函数 f(x)= ? A.9

?log 2 x ( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

,则 f[f(

1 4

) ]的值是(



B.

1 9

C.-9 )

D.-

1 9

8.若 0<a<1,f(x)=|logax|,则下列各式中成立的是( A. (2)>f( f

1 3

)>f(
1

1 4

)

B. ( f

1 4

)>f(2)>f(

1 3

)

C. ( f

1 3

)>f(2)>f(

1 4

)

D. ( f

1 4

)>f(

1 3

)>f(2)

2 x 9.在 f1(x)= x 2 ,f2(x)=x ,f3(x)=2 ,f4(x)=log 1 x 四个函数中,当 x1>x2>1 时,使

2

1 [f(x ) 2
1

+f(x2) f( ]<
1 2

x1 ? x2 2

)成立的函数是(



A.f1(x)=x

B.f2(x)=x
2

2

C.f3(x)=2

x

D.f4(x)=log 1 x
2

10.函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1)( a ? R) ,给出下述命题:① f ( x ) 有最小值;②当 a ? 0时, f ( x) 的值 域为 R;③当 a ? 0时, f ( x)在[3 ? ?) 上有反函数.则其中正确的命题是( A.①②③
x
x



B.②③
x
?x

C.①②

D.①③ . . ,m= . . .

11.不等式 0.3 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.6 的解集是 12.若函数 y ? 2 ? a ? 2 的图象关于原点对称,则 a ?
a b a b

13.已知 0<a<b<1,设 a , a , b , b 中的最大值是 M,最小值是 m,则 M= 14.设函数 f ( x ) ? log a x( a ? 0, a ? 1)满足f (9) ? 2, 则f (log 9 2) 的值是 15.幂函数的图象过点(2,
?1

1 4

), 则它的单调递增区间是

16.化简与求值: (1)已知 ( 2 ?

3) ?( 2?
x

3 ) ? 4 ,求 x 的值;
x

(2) 3 log 7 2 ? log 7 9 ? 2 log7 (

3 2 2

).

17.已知 f (x)=lg(x +1), 求满足 f (100 -10 )-f (24)=0 的 x 的值

2

x

x+1

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18.已知 f ( x ) ? lg x ,若当 0 ? a ? b ? c 时, f ( a) ? f (b) ? f (c) ,试证: 0 ? ac ? 1

19. 已知 f (x)=

e ?e
x

?x

且 x∈[0, +∞



2
(1) 判断 f (x)的奇偶性; (2) 判断 f (x)的单调性,并用定义证明;(3) 求 y=f (x)的反函数的解析式.

20.已知: f ( x ) ? lg( a ? b ) (a>1>b>0) .
x x

(1)求 (3)若

(2)判断 f (x) 在其定义域内的单调性; f (x) 的定义域;

f (x) 在(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小.

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.5 函数与方程

重难点:理解根据二次函数的图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概 念,对“在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解;通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会 函数的零点与方程根之间的关系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 考纲要求:①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及 根的个数; ②根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 经典例题:研究方程|x -2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数.
2

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当堂练习:

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1.如果抛物线 f(x)= x +bx+c 的图象与 x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则 f(x)>0 的解集是( A. (-1,3) B.[-1,3] C. (??, ?1) ? (3, ??) C.a<m<b<n
2

2

) )

D. (??, ?1] ? [3, ??) D.m<a<n<b D.x<1 D.(3,4)

2. 已知 f(x)=1-(x-a)(x-b), 并且 m, 是方程 f(x)=0 的两根, n 则实数 a,b,m,n 的大小关系可能是 ( A. m<a<b<n A.x<0
x

B.a<m<n<b B.x>4 B.(1,2) ) B.
2

3.对于任意 k∈[-1,1],函数 f(x)=x +(k-4)x-2k+4 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 C.x<1 或 x>3 ) C.(2,3) 4. 设方程 2x+2 =10 的根为 ? ,则 ? ? ( A.(0,1) 似值可表示为( A.

5.如果把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段,设 a≤c≤b,那么 f(c)的近

1 2

[ f ( a ) ? f (b)]

f ( a ) f (b )

C.f(a)+

c?a b?a

[ f (b) ? f (a )]

D.f(a)-

c?a b?a

[ f (b) ? f ( a )]

6. 关于 x 的一元二次方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一根大于 3,一根小于 1,则 m 的取值 范围是 7. 当 a
x

. 时,关于 x 的一元二次方程 x +4x+2a-12=0 两个根在区间[-3,0]中.
x
x 2

8.若关于 x 的方程 4 +a·2 +4=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是___________. 9.设 x1,x2 分别是 log2x=4-x 和 2 +x=4 的实根,则 x1+x2= 10.已知 f ( x ) ? x ? bx ? cx ? d ,在下列说法中:
3 2



(1)若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内有且只有一根; (2) 若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内至少有一根; (3) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内一定没有根; (4) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内至多有一根; 其中正确的命题题号是
2



11. 关于 x 的方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一个大于 4,另一个小于 4,求 m 的取值范围.

12.已知二次函数 f(x)=a(a+1)x -(2a+1)x+1, a ? N .
2

*

(1)求函数 f(x)的图象与 x 轴相交所截得的弦长; (2) 若 a 依次取 1,2,3,4,---,n,时, 函数 f(x)的图象与 x 轴相交所截得 n 条弦长分别为 l1 , l2 , l 3 , ? , l n 求 l1 ? l2 ? l 3 ? ? ? l n 的值.

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13. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c和一次函数g ( x) ? ?bx, 其中a, b, c ? R 且满足 a ? b ? c,
2

f (1) ? 0 .
(1)证明:函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同的两点 A,B; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[2, 3] 上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a, b 的值; (3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围.

14.讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数.

必修 1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.6 函数模型及其应用 重难点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异, 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. 考纲要求:①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义; ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用. 经典例题:1995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口的自然年增长率控制在 1.25%,问哪一年我国人口总 数将超过 14 亿.

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当堂练习:
3

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1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T(t)=t -3t+60,时间单位是小时,温度单位是 ?C ,当 t=0 表 示中午 12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的温度是( A.8 ?C B.112 ?C ) D.18 ?C C.58 ?C

2.某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两次降价 20%, 结果都以每件 23.04 元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升、不降的情况相比较, 商店盈利的情况是: ( A.多赚 5.92 元 ) B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相同

3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自己生产,则每 月的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配件的材料和劳力需 0.60 元,则决定此配件外购或自产的转折 点是( A.1000 )件(即生产多少件以上自产合算) B.1200 C.1400 2.00 3.98 ) D.y=a+b/x
2

D.1600 3.00 8.02

4.在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据. x -2.0 -1.0 0 1.00 y 0.24 0.51 1 2.02 A.y=a+b
X

则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数) ( B.y=a+bx C.y=a+logbx

5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x (0<x<240,x∈N) , 若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 )

6.购买手机的“全球通”卡,使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50 元,在市内通话时每分 钟另收话费 0.40 元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费” ,但在市内通话时每分钟话费为 0.60 元.若某用户每月手机费预算为 120 元,则它购买_________卡才合算. 7.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售价格。 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件, 假定每月销售件数 y (件) 是价格 x (元/件) 的一次函数。 试求 y 与 x 之间的关系式 在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为 每月的最大利润是 . . 时,才能时每月获得最大利润.

8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间 的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费, 所得的销售额是 1000 元.问该企业应该投入 广告费,才能获得最大的广告效应. 9.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价为 20 元,茶杯每只定价 5 元,该店制定了两种优惠办法: (1) 买一只茶壶送一只茶杯; (2)按总价的 92%付款;某顾客需购茶壶 4 只,茶杯若干只(不少于 4 只).则 当购买茶杯数 时, 按(2)方法更省钱. 10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为 40cm 和 60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形 的 直 角 为 矩 形 的 一 个 角 , 则 矩 形 的 最 大 面 积 是 . 11.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服 用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间 6

y(微克)

O

1

10

t(小时)

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近似满足如图所示的曲线.

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(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为 上午 7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)效果最佳.

12.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作 为公共交通车, 已知如果该列火车每次拖 4 节车厢, 能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢, 则能来回 10 次. 每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客 110 人,问:这列火车每天来回多 少次,每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数.

13.市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析,发现有如下规律:该商品的价 格每上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx% (其中 k 为正常数).目前,该商品定价为 a 元, 统计其销售 数量为 b 个. (1)当 k=

1 2

时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大.

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围.

14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 l 万件,1.2 万件,1.3 万件.为了估测以 后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据.用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? ab ? c (其中 a, c 为常数). b, 已知 4 月份该产品的产量为 1.37
x

万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好.并说明理由. 必修 1
?1 ?1

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试 1.函数 y ? (1 ? x ) 的定义域是( A. ? x x ? R且x ? 0? C. ? x x ? R或x ? 0或x ? 1? 2.log5( A.-a ) B. ? x x ? R且x ? 1? D. ? x x ? R且x ? 0且x ? 1? )

6 +1)+log2( 2 -1)=a,则 log5( 6 -1)+log2( 2 +1)= (
B.
?| x ? 2|

1 a
? 4?3
?| x ? 2|

C.a-1

D.1-a )

3.关于 x 的方程 9

? a ? 0 有实根则 a 的取值范围是(

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A. a ? 4 4.已知集合 M ? x | y ? 3 , y ? 3 , N ? {x | y ? log 1 x, y ? 1}, 则M ? N =(
x 3

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D. a<0 )

?

B. ?4 ? a ? 0

?

C. ?3 ? a ? 0

A. {x | x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1}

1 C. {x | 0 ? x ? } 3
x

D. {x | 1 ? x ? 1}
3
2

5.函数 f(x)的图象与 g(x)=( A. ?1, ?? ?

1

) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x )的单调增区间是( C. ? 0,1? D. ?1, 2 ?



3 B. ? ??,1?

6.二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x),且 f(x)=0 有两个实根 x1、x2,则 x1+x2 等于( ) A.0 B.3 C.6 D.不能确定 7.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设 f ( x ) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g ( x ) ?
x

4 ?b
x

2
A.1 B.-1

x

是奇函数,那么a ? b 的值为(
D.



C.-

1 2

1 2


9.设函数 f ( x ) ? A. ( ?2,1)

?( ) x ? 8( x ? 0) ? ,若 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是( ?3 ? x ( x ? 0) ?
1
B. ( ??, ?2) ∪ (1, ??) C. (1,+∞)

D. ( ??, ?1) ∪(0,+∞)

10.R 上的函数 y=f(x)不恒为零,同时满足 f(x+y)=f(x)f(y),且当 x>0 时,f(x)>1,则当 x<0 时, 一定有( ) A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1 11. 已知函数 f (3 ? x ) 的定义域是[2, 若 F ( ) ?f o ( 3], x [g 3 l
1 2

) x ] ?
4

, 则函数 F ( x ) 的定义域是



12.已知函数 f ( x ) ?

9
x

x

9 ?3 x?0 ?1,

,则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值是

1 7

2

3

5

6



7

7

7
f ( x)

7
的解为

7


13.设函数 f ( x ) ? ?0,

?

? ?1, ?

x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2 x ? 1) x?0

14.密码的使用对现代社会是极其重要的.有一种密码其明文和密文的字母按 A、B、C?与 26 个自然数 1,2,3,?依次对应。设明文的字母对应的自然数为 x ,译为密文的字母对应的自然数为 y .例如,有 一种译码方法是按照以下的对应法则实现的: x ? y ,其中 y 是 3x ? 2 被 26 除所得的余数与 1 之和 ( 1 ? x ? 26 ) .按照此对应法则,明文 A 译为了密文 F,那么密文 UI 译成明文为______________.

?2? x ? 1, x ? 0, ? 15.设函数 f ( x ) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 , ?x 2 x?0 ?
16.设 x?[2,4],函数 f ( x ) ? log 1 ( a x ) ? log 1 ( ax) 的最大值为 0,最小值为 ?
2 a a
2



1 8

,求 a 的值.

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17.设 f ( x) ? 3 , f (18) ? a ? 2, g ( x ) ? 3 ? 4 的定义域是区间[0,1],
x ax x

?1

(1)求 g(x)的解析式;

(2)求 g(x)的单调区间;

(3)求 g(x)的值域.

18.已知 f(x)= ( (1)求 f
—1

x?2 x?2

) ,(x ? 2).
2

(x)及其单调区间;(2)若 g(x)=3+

x+

1 f ( x)
?1

,求其最小值.

19.在中国轻纺市场,当季节即将来临时,季节性服装价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元, 并且每周(七天)涨价 2 元,5 周后保持 20 元的价格平稳销售,10 周后当季节即将过去时,平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 的函数关系. 2 (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8) +12,t∈[0,16] t∈N.试问:该服 , 装第几周每件销售利润 L 最大.

20.巳知函数 f(x)=loga

x?2 x?2
,

定义域为[α ,β ],值域为[logaa(β —1),logaa(α —1)],且 f(x)在

[α ,β ]上是减函数. (1)求证:α >2; (2)求实数 a 的取值范围.

必修 1 1.设全集 U=R,集合 A = {x | x < - 1或x A. {x | - 1 ? x
0}

必修 1 综合测试
1} , B = 1}

{x | ln x
C. ? )

0} ,则 (?U A) ? B 为(



B. {x | 0 < x
2

D. {x | 0 < x < 1}

2.方程 log 5 (2 x ? 1) = log 5 ( x ? 2) 的解集是( A.{3} 3.函数 f ( x ) ? B.{-1} C.{-1,3}

D.{1,3} )

x?2 ?

1 x?3

的定义域是(

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A. [2, 3) B. (3, ? ?) C. [2, 3) ? (3, ? ?) ) 4.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是(

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D. [2, 3) ? (3, ? ?)

x
y
A. (0, 20]
1.2

0? x?5
2 B. [2, 5]
0.3
3

5 ? x ? 10
3

10 ? x ? 15
4

15 ? x ? 20
5 D.N ) D. b < c < a

C. {2, 3, 4, 5}
3 ,则 a, b, c 之间的大小关系为(

5.已知 a = 0.6 , b = 2 , c = log A. c < b < d B. a < c < b
- x

C. a < b < c 若 f ( x) =
1 4

ì2 , ? 6.已知函数 f ( x ) = ? í
A.2 7.函数 y ? lg

x < 0,

? log x, x ? 0, ? ?
81

,则 x 的值为(

) D.-2 或 3

B.3

C.2 或 3 ) C.关于原点对称

1? x 1? x

的图像(

A.关于 x 轴对称

B.关于 y 轴对称
x

D.关于直线 y ? x 对称 )

8.根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为( x x e x+2 A.(-1,0) 9 若 f ( x) ? A.10 -1 0.37 1 B.(0,1) 0 1 2 C. 1 2.72 3 (1,2) 2 3 7.39 20.09 4 5 D. (2,3) ) D.13

? x ? 2     x ? 10 ,则 f(5)的值等于( ? ? f ( f ( x ? 6))  x<10
B.11 C.12

10.已知函数 f(x)满足 f( A.log2x B.-log2x

)= log 2 x|x| ,则 f(x)的解析式是( x+|x|
C.2
-x

2



D.x

-2

11.已知 A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y)|y=3x+b},若(A∩B)? C,则 b= 12.已知函数 y ? x
a ? 4 a ?1
2



是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数 a 的值是 、

. .

13.已知函数 y = log a ( x + b) 的图象如图所示,则 a、b 的值分别为 14.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ? ? ? 上是单调增函数 ,若 f(1)<f(2x-1),则 x 的取值范围是
2

y



1 -2

15.已知函数 f ( x) = x - 1, g ( x) = - x ,令 ? ( x) ? max[ f ( x), g ( x)] (即 f(x)和 g(x)中的较大者),则 ? ( x) 的最小值是___________.



x

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16.设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

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? 3 ? 2 ? 5 的最大值和最小值.
x
2

17.已知关于 x 的二次函数 f ( x) = x + (2t - 1) x + 1 - 2t . (1)求证:对于任意 t ? R ,方程 f ( x) = 1 必有实数根; (2)若
1 2 < t< 3 4

,求证:方程 f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0,

1 2

) 上各有一个实数根.

18.对于函数 f ( x) = a -

2 2 +1
x

(a

R) ,

(1)判断并证明函数的单调性;

(2)是否存在实数 a,使函数 f ( x) 为奇函数.证明你的结论.

19. 在距 A 城 50km 的 B 地发现稀有金属矿藏,现知由 A 至某方向有一条直铁路 AX,B 到该铁路的距离 为 30km,为在 AB 之间运送物资,拟在铁路 AX 上的某点 C 处筑一直公路通到 B 地.已知单位重量货物的 铁路运费与运输距离成正比,比例系数为 k1 ( k1 >0); 单位重量货物的公路运费与运输距离的平方成正 比,比例系数为 k 2 ( k 2 >0).设单位重量货物的总运费为 y 元,AC 之间的距离为 xkm. (1) 将 y 表示成 x 的函数;(2)若 k1 = 20k2 ,则当 x 为何值时,单位重量货物的总运费最少.并求出最 少运费. 50k m

B
30k m

A

C

D

20.已知定理: “若 a, b 为常数, g ( x ) 满足 g ( a ? x) ? g ( a ? x) ? 2b ,则函数 y ? g ( x ) 的图象关于点 .设函数 f ( x ) ? ( a , b ) 中心对称”

X

x ?1? a a?x

,定义域为 A.

⑴试证明 y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a, ?1) 成中心对称; ⑵ 当 x ? [ a ? 2 , a ? 1] , 求 证 : f ( x )? [ 时 ?

1 2

, 0 ; 3 ) 对 于 给 定 的 x1 ? A , 设 计 构 造 过 程 : ](

x2 ? f ( x1 ), x3 ? f ( x2 ) ,?, xn ?1 ? f ( xn ) .如果 xi ? A ( i ? 2, 3, 4...),构造过程将继续下去;如果
xi ? A ,构造过程将停止.若对任意 x1 ? A ,构造过程可以无限进行下去,求 a 的值.


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