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数学圆锥曲线离心率的解法 含解析


7.直线 PF2 与直线 L1 联立方程解得 P 点坐标为(c/2,bc/2a)∴PO=OF1=OF2,故 c? =c? /4 + (bc/2a)? ,∴c/a=2, 选B

x2 y 2 y2 2 ? 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近 9.已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)与双曲线 C2 : x ? a b 4

r />线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 (▲)

A, B 两点,若 C1

恰好将线段

AB 三等分,则椭圆 C 1 的离心率为

A

e2 ?

10 11
2

B

e2 ?

1 2

C

e2 ?

9 10

D

e2 ?

8 9

y2 【解析】由双曲线 x ? 4
∴椭圆方程可化为 b
2

=1 知渐近线方程为

y ? ?2 x ,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,

x 2 + b 2 ? 5 y 2 = b 2 ? 5 b 2 ,联立直线与椭圆方程消 y 得,

?

?

?

?

x2 ?

?b

? 5 b2 5b 2 ? 20
2
2

?

,又∵ C1 将线段 AB 三等分,∴

1 ? 22 ? 2

?b

? 5 b 2 2a ? , 3 5b 2 ? 20
2

?

解之得 b

?

1 . 2

x2 y 2 P C : ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 右支上一点, F1 是双曲线的左焦点,且双曲线 10.已知点 是双曲线 2 a b
的一条渐近线恰是线段 A.

PF1 的中垂线,则该双曲线的离心率是(

)

2

B.

3

C.

2

D.

5

10.F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支

分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为

x2
10.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 a
2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0)
的焦点与顶点,若双曲线的两条渐 )

近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为(

1 A. 3

1 B. 2

3 C. 3

2 D. 2

9.已知 F 1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,若在右支上存在点 A ,使得 a 2 b2
) D. [

点 F2 到直线 A. (1,

AF1 的距离为 2 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是(

2)

B. (1,

2]

C. (

2 ,??)

2 ,??)

解:设垂足为 H F1H=2b

F2H=2a

F1F2=2c

F1H^2=F2H^2+F1F2^2 k=± a/b

直线 AF1 斜率│k│=F2H/F1H=a/b

渐近线方程为 y=(± b/a)x 解得 a<b ∴a^2<b^2

当-b^2/a^2<k<b^2/a^2 时,直线 AF1 与右支有交点 b^2/a^2>1 e^2=c^2/a^2 e>√2 ∵c^2=b^2+a^2

∴e^2=(b^2+a^2)/a^2=1+b^2/a^2>2


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