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3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

时间:2015-05-19


3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 课标要求 1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面区 域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面区 域表示二元一次不等式组的解. 学法指导 1.要善于从特例入手,探究二元一次不等式与对应平面区域 的关系.归纳总

结出一般结论“同侧同号 : ,同号同侧,异侧异号, 异号异侧”. 2.准确、规范、熟练地画出二元一次不等式(组)所表示的平 面区域是学好本单元的关键所在.熟练掌握“直线定边界,特 殊点定区域”的要领. 知识探究——自主梳理 1.二元一次不等式(组)的概念 (1) 二元一次不等式 :我们把含有两个未知数 , 并且未知数的 次数是 1 的不等式称为二元一次不等式. (2)二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式 组称为二元一次不等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成 ,所有这样的 构成 的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直 线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线 画成 ,以表示区域不包括边界. 3.二元一次不等式表示的平面区域的确定 对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代 入 Ax+By+C, 所 得 的 符 号 都 相 同 , 因 此 只 需 在 直 线 Ax+By+C=0 的同一侧取某个特殊点 (x0,y0) 作为测试点 , 由 Ax0+By0+C 的符号就可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 思 考 : 若 已 知 直 线 l:Ax+By+C=0, 记 f(x,y)=Ax+By+C, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),那么 M 与 N 在直线 l 同侧的条件是什 么?M 与 N 在 l 两侧的条件是什么? 提示:点 M 与 N 在 l 同侧的条件是 f(x1,y1)·f(x2,y2)>0;在 l 异侧的条件是 f(x1,y1)·f(x2,y2)<0 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例 1】 画出下列不等式(组)表示的平面区域. (1)2x+y-10<0; 思考辨析

取原点(0,0),代入 2x+y-10. ∵2×0+0-10<0,∴原点在 2x+y-10<0 表示的平面区域内,不 等式 2x+y-10<0 表示的平面区域如图(1)阴影部分所示. (2)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集 合;x+y+1≥0 表示直线 x+y+1=0 上及右上方的点的集合;x≤ 3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.所以不等式组表示的 平面区域如图(2)阴影部分所示.

题后反思

(1)在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,

注意区分边界的虚实 .Ax+By+C≥0(≤0)表示的平面区域包 括直线 Ax+By+C=0, 该直线要画成实线;Ax+By+C>0(<0) 表 示的平面区域不包括直线 Ax+By+C=0,该直线要画成 虚线. (2)测试点选取要恰当.一般地选原点(0,0)、(0,1)或(1,0),如果 测试点的坐标满足不等式,则所求平面区域为包括测试点的 直线的一侧,否则在直线的另一侧,最后将平面区域用阴影表 示出来. 跟踪训练 1-1:如图,请写出表示阴影部分区域的不等式组 解:由于直线 BC 的方程为 y=-1, 直线 AC 的方程为 x=0, 直线 AB 的方程为 2x-y+2=0, 因此表示该区域的不等式组是

题型二

二元一次不等式 (组 )表示的平面区域的面积与整

点个数问题

? x ? 0, ? 【例 2】 求不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域的面积 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
及平面区域内的整点坐标. 解:画出平面区域如图阴影部分所示,平面区域图形为直角三 角形.

? x ? y ? 5 ? 0, ? (2) ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 3. ?
解: (1)先画出直线 2x+y-10=0(画成虚线).

面积 S=

1 ×4×3=6. 2

当 x=1 时,代入 4x+3y≤12, 得 y≤

8 , 3 4 , 3

?2 x ? 8 y ? 160, ?3x ? 5 y ? 150, ? 综上所述,x、y 应满足不等式组 ? ?5 x ? 2 y ? 200, ? ? x ? 0, y ? 0.
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域, 即如图所示的阴影部分(含边界):

∴整点坐标为(1,2),(1,1). 当 x=2 时,代入 4x+3y≤12,得 y≤ ∴整点坐标为(2,1). 综上可知,平面区域的面积为 6,平面区域内的整点坐标为 (1,1)、(1,2)和(2,1).

跟踪训练 2 1:(2013 安阳模拟)不等式组 ? x ? 0,

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ?y ? 0 ?



跟踪训练 3-1:某厂使用两种零件 A、B 装配甲、 乙两种产品, 该厂的生产能力是每月生产甲产品最多 2500 件,每月生产乙 产品最多 1200 件,而且装一件甲产品需要 4 个 A,6 个 B,装一 件乙产品需要 6 个 A,8 个 B,该厂每月能用的 A 最多有 14000 个,B 最多有 12000 个,用不等式组将甲、乙两种产品产量之 间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.

示的平面区域面积为

.

解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,其面积 为

1 3 ×1×3= . 2 2

?0 ? x ? 2500, ?0 ? x ? 2500, ?0 ? y ? 1200, ?0 ? y ? 1200, ? ? 则 x、y 满足 ? 即? 4 x ? 6 y ? 14000, ? ?2 x ? 3 y ? 7000, ? ?6 x ? 8 y ? 12000, ? ?3 x ? 4 y ? 6000.
在平面直角坐标系中,画出上述不等式组 表示的平面区域,如图阴影部分所示. 题型三 实际应用 【例 3】 一工厂生产甲、 乙两种产品,生产每种 1 t 产品的资 源需求如下表:

品种 甲 乙

电力/kW·h 煤/t 工人/人 2 3 5 8 5 2
题型五 综合运用

该厂有工人 200 人,每天只能保证 160 kW·h 的用电额度,每 天用煤不得超过 150 t,请在平面直角坐标系中画出每天甲、 乙两种产品允许的产量的范围. 名师导引: (1)该工厂每天甲、乙两种产品的产量 x,y 应受到 哪几个方面的限制 ?( 生产两种产品所需的电力之和不能超 过 160 kW·h,工人人数之和不能超过 200 人,所需煤之和不 能超过 150 t) 2)产量 x、y 本身还应满足什么条件?(x≥0,y≥0) (3)怎样画出允许的产量的范围的图形?(先确定 x、y 满足的 不等式) 解:设每天分别生产甲、乙两种产品 xt 和 yt,生产 xt 甲产品 和 yt 乙产品的用电量是(2x+8y) kW·h,根据条件,有 2x+8y ≤160;用煤量为(3x+5y)t,根据条件有 3x+5y≤150;用工人数 为 5x+2y≤200; 另外,还有 x≥0,y≥0.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 【例题】 在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0, ? ax ? y ? 1 ? 0, ?
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值 为 .

解析:不等式组 ?

? x ? y ? 1 ? 0, ?x ?1 ? 0

表示的平面区域为图中阴影部分,

又因为 ax-y+1=0 恒过定点(0,1),

当 a=0 时,不等式组 ? x ? 1 ? 0,

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? ax ? y ? 1 ? 0, ?

?
C .

1 3

?
D.

所表示的平面区域的面积为 意; 当 a>0 时,所围成的平面区 域为如图所示的三角形, 其面积为 S= 解得 a=3. 达标检测——反馈矫正

1 ,不合题意;当 a<0 时,不合题 2

1 2

2. (2013 大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )记不

1 ×1×(a+1)=2, 2
及时总结

? x ? 0, ? 等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D , 若直 ?3 x ? y ? 4, ?
线

y ? a ? x ? 1? 与 D 有公共点 , 则 a 的取值范围是

______. 3. ( 2013 年 高 考 陕 西 卷 ( 理 ) ) 若 点 (x, y) 位 于 曲 线

1.已知点 P1(0,0),P2(1,1),P3( 的平面区域内的点是( (A)P1、P2 (B)P1、P3 (C)P2、P3 (D)P2 )

1 ,0),则在 3x+2y-1≥0 表示 3

y ?| x ? 1 |与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小
值为_______. 4. ( 2013 年高考山东卷(文) ) 在平面直角坐标系

xOy

2.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的异侧,则 a 的取值范 围是 .

? x ? y ? 1, ? 3.画出二元一次不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域,则这 ?y ? 0 ?
个平面区域的面积为 (组). .

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 中 , M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域 ?y ? 0 ?
上一动点,则直线

OM

的最小值为_______

5. ( 2013 年 高 考 北 京 卷 ( 文 ) )设 4. 根据下列平面区域 , 写出它们所对应的二元一次不等式

D

为不等式组

? x?0 ? ? 2 x ? y ? 0 ,表示的平面区 域,区域 D 上的点与 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
点(1,0) 之间的距离的最小值为___________. 6. (2013 年高考浙江卷(文) )设 z

? kx ? y ,其中实数

(1)平面区域对应的不等式(组): (2)平面区域对应的不等式(组): (3)平面区域对应的不等式(组): 高考试题

; ; .

?x ? 2 ? x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
实数 k 课堂小结

12,则

? ________

.

1. (2013 山东数学(理) )在平面直角坐标系 xoy 中, M 为

1.一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0 在平 面直角坐标系内表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成 的平面区域. 2.在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用 “直线定边界, 特殊点定区域”的方法来画区域 , 取点时,若直线不过原点 , 一般用“原点定区域”;若直线过原点,则取点(1,0)即可.总之, 尽量减少运算量. 3.画平面区域时,注意边界线的虚实问题. ( )

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 3 x ? y ? 8 ? 0, 不等式组 ? 所表示的区域上一动点 ,
则 直线 OM 斜率的最小值为 A.2 B . 1


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