nbhkdz.com冰点文库

近五年高考试题汇编 直线和圆的方程


2010 年高考数学分章汇编
直线与圆的方程
一、选择题: 1. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

1.D【命题意图】本小题主

要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法 ——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) , ∠ APO= ? , 则∠ APB= 2? , PO= 1 ? x2 , sin ? ? A

1 1? x
2



O

P

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 = 2 , x2 ? 1 x ?1

B

令 PA ? PB ? y ,则 y ?

x4 ? x2 2 ,即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 2 x ?1

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 . 故

(PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

2 ?1 .
2

2. (2010 年高考福建卷理科 2)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 (
2

)
2

A. x +y +2x=0

B. x +y +x=0

2

2

C. x +y -x=0

2

2

D. x +y -2x=0

2

2

【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半 径为 r=1 ,故所求圆的方程为 (x-1) +y =1 ,即 x -2x+y =0 ,选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。 3. (2010 年高考数学湖北卷理科 9) 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点, 则b 的取值范围是 A. C.
2 2 2 2

? ?1,1 ? 2 2 ? ? ? ?1 ? 2 2,3? ? ?

B. D.

?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ? ? ? ?1 ? 2,3? ? ?

-1-

【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) , 即表示圆心为(2,3)半 径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 b ? 1 ? 2 2 (舍),当直线 过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确. 4. (2010 年高考陕西卷理科 8) 已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的准线与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为 【 】

? A? 1

2

?B?1

?C ?2

?D ?4

【答案】C 【解析】 由题设知, 直线 x ? ? 故选 C . 5. (2010 年高考江西卷理科 8) 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 M, N 两点, 若|MN|≥ 2 3 ,则 k 的取值范围是 A. [? ,0] D. [? ,0] 【答案】A 6. (2010 年高考辽宁卷理科 10)已知点 P 在曲线 y= 倾斜角,则 a 的取值范围是 (A)[0, 【答案】D

p ? p? 2 与圆 ?x ? 3? ? y 2 ? 16相切, 从而 3 ? ? ? ? ? 4 ? p ? 2 . 2 ? 2?

3 4

B. (??, ? ] [0, ??)

3 4

C. [ ?

3 3 , ] 3 3

2 3

4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的 e ?1
x

? ) 4

(B) [

? ? , ) 4 2

(

? 3?
2 , 4

]

(D) [

3? ,? ) 4

7. (2010 年 高 考 重 庆 市 理 科 8) 直 线 y?

3 x? 2 与 圆 心 为 D 的 圆 3

-2-

? ? x ? 3 ? 3 cos ? , (? ? [0, 2? )) 交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 ? y ? 1 ? 3 sin ? ? ? 7 5 4 5 (A) π (B) π (C) π (D) π 6 4 3 3
【答案】C 解析:数形结合

?1 ? ? ? 30?

?2 ? 30? ? ? ? ?

由圆的性质可知 ?1 ? ? 2

?? ? 30? ? 30? ? ? ? ?
故? ? ? ?
4 ?. 3

8. (2010 年高考重庆市理科 10)到两互相垂直的异面的距离相等的点,在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 (A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 双曲线 【答案】D 解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除 A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除 B. 二、填空题:

y ? x ?1 1( .2010 年高考山东卷理科 16) 已知圆 C 过点 (1,0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l :
被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 【答案】 x+y-3=0 【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知: .

(

| a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标 2

为 ( 3 ,0 ) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线 方程为

x+y-3=0 。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。 2.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 ? 且圆 C 与直线 ? ? ? ? 3 ? 0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

?? ? t ( t 为参数)与 ? 轴的交点, ?? ? 1 ? t


-3-

【解析】令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

?? ? t ( t 为参数)与 ? 轴的交点为(-1,0) ,因为直线 ?? ? 1 ? t
| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,故圆 C 的方程为 2

与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ?

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 。
【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 3. (2010 年高考广东卷理科 12)已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与 直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 【答案】 ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 【解析】设圆心为 (a, 0)(a ? 0) ,则 r ?

| a ? 2?0 | 12 ? 22

? 5 ,解得 a ? ?5 .

4. (2010 年高考四川卷理科 14)直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A、B 两点,则

?AB ??

.

解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

w_w w. k#s5_u. c o* m

故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?

w_w_w.k*s 5*u.c o*m

得|AB|=2 3 答案:2 3 5. (2010 年高考江苏卷试题 9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四
2 2

个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ 【答案】 (-13,13) [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,

[来源

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| ? 1 , c 的取值范围是(-13,13) 。 13

6. (2010 年全国高考宁夏卷 15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的 方程为____ 【答案】 ( x ? 3) ? y ? 2
2 2

解析:设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则根据已知条件得
2 2 2

-4-

? ?(4 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?3 ? ? ? 2 2 2 ?(2 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ? b ? 0 . ? ?r 2 ? 2 a ? b ?1 ? ? ?r ? 2 ?
7. ( 2010 年 高 考 上 海 市 理 科 5 ) 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的 圆 心 到 直 线 l: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 【答案】3 3 。

n ? 2) 8. (2010 年高考上海市理科 11) 将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 (n? N , l3 : x ? ny ? n ? 0
*

x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



【答案】1 三、解答题: 1. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,同 时考查了数形结合思想、设而不求思想. 【解析】 (21)解: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) .

-5-

(Ⅱ)由①知,

x1 ? x2 ? (my1 ?1) ? (my2 ?1) ? 4m2 ? 2
x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? 1.
因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) , uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2

故 解得

8 ? 4m 2 ? m?? 4 3

8 , 9

所以 l 的方程为

3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0
又由①知

y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 ?? , y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ? BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的距离分别



3 t ? 1 3 t ?1 , . 5 4
-6-



3 t ? 1 3 t ?1 1 ? 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , 9 5 4
圆 M 的半径 r ?



3 t ?1 2 ? . 5 3
1 9
2 2

所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ?

4 . 9
1 2

2. (2010 年高考四川卷理科 20) (本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到 直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别 交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

-7-

3. (2010 年高考江苏卷试题 18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。 9 5

设 过 点 T ( t , m ) 的 直 线 TA 、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) , 其 中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

-8-

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算 求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? [( x ? 3)2 ? y 2 ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) N ( ,? )。 、 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ;

-9-

当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 直线 ND 的斜率 k ND ? 20 MD ND 3m2 ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m2 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。
4.(2010 年高考北京市理科 19)(本小题共 14 分)
www.@ks@5u.com

在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面 积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (19) (共 14 分)
www.@ks@5u.com

(I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y ?1 1 ?? x ?1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

- 10 -

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 PMN 得面积

S

PMN

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 1 ? | yM ? yN | (3 ? x0 ) ? 2 | x0 2 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 PAB 的面积

| x0 ? y0 | 2

.

S
当S

PAB

?

1 | AB | d ?| x0 ? y0 | 2

PAB

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 ? S PMN 时,得 | x0 ? y0 |? | x0 2 ? 1|

又 | x0 ? y0 |? 0 , 所以 (3 ? x0 )2 = | x02 ?1| ,解得 | x0 ? 因为 x02 ? 3 y02 ? 4 ,所以 y0 ? ?

5 。 3

33 9 5 3 33 ). 9

故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

解法二:若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

1 1 | PA | | PB | sin ?APB ? | PM | | PN | sin ?MPN . 2 2 因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,
则 所以

| PA | | PN | ? | PM | | PB |
| x0 ? 1| | 3 ? x0 | ? | 3 ? x0 | | x ? 1|
5 3

所以

即 (3 ? x0 )2 ?| x02 ?1| ,解得 x0 ? 因为 x02 ? 3 y02 ? 4 ,所以 y0 ? ?

33 9

- 11 -

故存在点 P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ? 5. (2010 年高考浙江卷理科 21) (本小题满分 15 分)已知 m>1,直线 l:x-my椭圆 C: (

5 3

33 ). 9

m2 =0, 2

x 2 2 ) +y =4 ,F1,,F2 分别为椭圆 C 的左右焦点。 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交与 A,B 两点, ? AF1F2,

? BF1F2 的重心分别为 G,H.若原点 O 在以线

段 GH 为直径的的圆内,求实数 m 的取值范围。 (21)本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) , 2

m2 所以 m ? 1 ? ,得 m 2 ? 2 , 2
2

又因为 m ? 1 , 所以 m ? 2 ,

2 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ? 0。 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。

2

? m2 x ? my ? ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2
- 12 -

2 y 2 ? my ?

m2 ?1 ? 0 4 m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4

则由 ? ? m2 ? 8(

且有 y1 ? y2 ? ?

m m2 1 , y1 y2 ? ? 。 2 8 2

由于 F 1 (?c,0), F2 (c,0), , 故 O 为 F1F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 可知 G (
2

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

GH ?

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 2 2 m2 1 ? (m2 ? 1 ) ( ? ) 8 2
所以

m2 1 ? ?0 8 2
2

即m ? 4 又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。
- 13 -

2012 高考试题分类汇编:直线与圆
一、选择题
1.【2012 高考山东文 9】圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为 (A)内切 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为 (?2,0) , (2,1) ,半径分别为 r ? 2 , R ? 3 两圆的圆心距离为 (B)相交 (C)外切 (D)相离

(?2 ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 17 ,则 R ? r ? 17 ? R ? r ,所以两圆相交,选 B.
2.【2012 高考安徽文 9】若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值 范围是 (A) [-3,-1] (C) [ -3,1] 【答案】C

(B)[-1,3] (D) (- ? ,-3]U[ 1 ,+ ? )

【解析】圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 的圆心 C ( a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d , 则 d ?r?

2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1 。

3.【2012 高考重庆文 3】设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

【答案】D
2 2 【解析】直线 y ? x 过圆 x ? y ? 1的圆心 C (0, 0) ,则 AB 为圆的直径,所以 | AB |? 2,选

D. 4.【2012 高考浙江文 4】设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A

a 1 ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?2 .所以,当 a=1 是,两直线平行成立,因此是充 2 a ?1 分条件;当两直线平行时, a ? 1 或 a ? ?2 ,不是必要条件,故选 A.
【解析】当 5.【2012 高考陕西文 6】已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则(
2 2



A. l 与 C 相交 6.【答案】A.

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D. 以上三个选项均有可能

- 14 -

【解析】圆的方程可化为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,易知圆心为 ( 2,0) 半径为 2,圆心到点 P 的距离 为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 6.【2012 高考辽宁文 7】将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是 (A)x+y-1=0 【答案】C 【解析】圆心坐标为(1,2) ,将圆平分的直线必经过圆心,故选 C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中。 7. 【2012 高考湖北文 5】过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分两部分,使. 这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达到最 小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可.又已知点 P(1,1) ,则 kOP ? 1 ,故所求直线的斜率为-1. 又所求直线过点 P(1,1) , 故由点斜式得, 所求直线的方程为 y ?1 ? ? ? x ?1? , 即 x ? y ?2 ? 0. 故选 A. 【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观 察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线 OP 垂直,利用这一条件求出斜率,进而求 得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题. 8.【2012 高考广东文 8】在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相
2 2
2 2

(B) x+y+3=0 (C)x-y+1=0 (D)x-y+3=0

交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 【答案】B B. 2 3 C.

3

D. 1

y? ? 5 【 解 析 】 圆 心 (0, 0) 到 直 线 3x ? 4
( AB 2 )? r 2 ? d ?2 2 2 ?
2

0 距 离 d? 的

0?0?5 32 ? 42

?1 , 则

?1 2 3 AB ? 2 3 . ,所以

9.【2102 高考福建文 7】直线 x+ 3 y -2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于 A. 2 5 【答案】B. B 2 3. C.

3

D.1

- 15 -

【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:联立方程组 ? 坐标为 (2,0)、 (?1, 3) ,所以弦长 | AB |? 线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为

?x ? 3 y ? 2 ? 0
2 2 ? x ?y ?4

,解得 A、B 两点的

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 ? 2 3 ;二、几何法:根据直

2 12 ? ( 3 ) 2

? 1 ,又知圆的半径为 2,所以弦长

| AB |? 2 22 ?12 ? 2 3 .

二、填空题
10.【2012 高考上海文 4】若 d ? (2,1) 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示)

【答案】 arctan

1 2 1 2 1 1 t n ?? , , 即a 2 2

【解析】 因为直线的方向向量为 (2,1) ? 2(1, ) ? 2(1, k ) , 即直线的斜率 k ? 所以直线的倾斜角 ? ? arctan

1 。 2

11.【2012高考浙江文17】定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距 2 2 2 离,已知曲线C1:y=x +a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离,则 实数a=_______. 【答案】
7 4
0 ? ( ?4) 2 ?2 2,

【解析】 C2: x 2+(y+4) 2 =2, 圆心(0, —4), 圆心到直线l: y=x的距离为:d ? 故曲线C2到直线l:y=x的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?

1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y 2
? a? 7 . 4

1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 ? =x 的距离的点为( , ? a ), d ? 2 ? ? 2 4 2 2

2 2 12.【2102 高考北京文 9】直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得弦长为__________。

【答案】 2 2

l ,圆心到直线的距 2 l 离 d ,以及圆半径 r 构成了一个直角三角形。因为 r ? 2 ,夹角 45 ? ,因此 ? d ? 2 ,所以 2
【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况,半弦长

- 16 -

l ?2 2 。
13.【2012 高考江西文 14】过直线 x+y=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的 夹角是 60°,则点 P 的坐标是__________。

【答案】 ( 2 , 2 )

【解析】如图:

由 题 意 可 知 ?APB ? 600 , 由 切 线 性 质 可 知

?OPB ? 300 ,在直角三角形 OBP 中, OP ? 2OB ? 2 ,又点 P 在直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上,所
以不妨设点 P ( x,2 2 ? x) ,则 OP ?

x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 ,即 x2 ? (2 2 ? x)2 ? 4 ,整理得

x 2 ? 2 2 x ? 2 ? 0 ,即 ( x ? 2 )2 ? 0 ,所以 x ? 2 ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 。

法二: 如图:

由题意可知 ?APB ? 60 ,由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,
0 0

在直角三角形 OBP 中, OP ? 2OB ? 2 ,又点 P 在直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上,所以不妨设点 P ( x,2 2 ? x) ,则 OP ?

x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 ,圆心到直线的距离为 d ?

?2 2 2

? 2 ,所

- 17 -

以 OP 垂直于直线 x ? y ? 2 2 ? 0 ,由 ? 为 ( 2, 2 ) 。

?x ? y ? 2 2 ? 0 ?y ? x

,解得 ?

? ?x ? 2 ,即点点 P 的坐标 ? y ? 2 ?

14.【2012 高考江苏 12】 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则

k 的最大值是 ▲ .
【答案】

4 。 3

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的 圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k ?1
2

, ∴

4k ? 2 k ?1
2

解得 0 ? k ? ? 2,

4 。 3

4 。 3

15.【2012 高考天津文科 12】 设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴 相交于 B,且 l 与圆 x ? y ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值
2 2

为 。 【答案】3 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B (

1 n

1 ,0) ,直线与圆相交所得的弦长为 2,圆 m

2 2 2 心 到 直 线 的 距 离 d 满 足 d ? r ?1 ? 4 ?1 ? 3 , 所 以 d ? 3 , 即 圆 心 到 直 线 的 距 离

d?
S?

?1 m2 ? n2

? 3 ,所以 m2 ? n2 ?

1 1 1 1 1 。三角形的面积为 S ? ,又 ? ? 3 2 m n 2 mn

1 1 1 ? 2 ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 时取等号,所以最小值为 3 。 2 6 2 mn m ? n

- 18 -

一、选择题 1 . (2013 年高考重庆卷(文 4) )设 P 是圆 ( x ? 3)
2

? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上
( )

的动点,则 PQ 的最小值为 zhangwlx A.6
【答案】B

B. 4

C .3

D.2

【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。圆心为 M (3, ?1) ,半径为 2.圆心到直线 x ? ?3 的距

离为 3 ? (?3) ? 6 ,所以 PQ 的最小值为 6 ? 2 ? 4 ,选 B.

2 . (2013 年高考江西卷(文 12) )如图.已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时

与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为

【答案】B 【 解 析 】 本 题 考 查 函 数 图 象 的 识 别 。 根 据 题 意 易 知 c o s ? 1? t , 所 以

x 2

y ? cos x ? 2(1 ? t )2 ?1 ? 2t 2 ? 4t ? 1, t ? (0,1) ,易得图像为 B。
3 . (2013 年高考天津卷(文 5) )已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线

ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ?

( C .2 D.
1 2



A. ?

1 2

B.1

- 19 -

【答案】C 【解析】设直线斜率为 k ,则直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,即 kx ?y ? 2 ?2 k ? 0 ,圆心 (1, 0)

到直线的距离

k ? 2 ? 2k k ?1
2

? 5 ,即

2?k k ?1
2

? 5 ,解得 k ? ?

1 。因为直线与直线 2

ax ? y ? 1 ? 0 垂直,所以 k ? ?

1 1 ? ? , 即 a ? 2 ,选 C. a 2

4 . (2013 年高考陕西卷(文 8) )已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与

圆 O 的位置关系是 A.相切 【答案】B
【解析】点 M(a, b)在圆 x

( B.相交
2



C.相离

D.不确定

? y 2 ? 1外 ? a 2 ? b 2 ? 1.

.圆O(0, 0)到直线ax ? by ? 1距离d ?
所以选 B.

1 a2 ? b2

? 1 =圆的半径,故直线与圆相交。

5 . (2013 年高考广东卷(文 7) )垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x

2

? y 2 ? 1相切于第一象限的直
( )

线方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
【答案】A

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,

排除 B、C;相切于第一象限排除 D,选 A.直接法可设所求的直线方程为: y ? ? x ? k ? k ? 0? , 再利用圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,求得 k ?
二、填空题 6 . (2013 年高考湖北卷 (文 14) ) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 ,直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ?

2 .所以选 A.

π ). 2

设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ________. 【答案】4 【解析】本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式。圆心 O 到直线
x cos? ? y sin ? ? 1 距离 d ? 1 ,即直线与圆相交。因为半径 r ?
l 的距离等于 1 的点的个数为 4 个,所以 k

5 ? 2 ,所以 O 上到直线

? 4。

- 20 -

7 . (2013 年高考四川卷 (文 15) ) 在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1)

的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 【解析】设平面上的点位 P,易知 ABCD 为凸四边形,设对角线 AC 与 BD 的交点为 P? ,则

| PA | ?| PC | ? | AC | ? | AP | ? ? | PC? |,| PB | |?PD | | ? BD | | ? BP | |? ? PD | ?

,当且仅当 P 与 P? 重

合时,上面两式等号同时成立,由 AC 和 BD 的方程解得 P? (2,4) 。 8 . (2013 年高考江西卷(文 14) )若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是_________.
2 2 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? ) ?

3 2

25 4

【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的方程求法。因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 A(4,0) ,所以圆心必在线段 OA 的中垂线上,所以圆心的横坐标为 2,设圆心坐标

为 C (2, b), b ? 0 ,半径为 R , 所以 R ? 1 ? b ,且 b ? 2 ? R ? (1 ? b) ,解得 b ? ?
2 2 2 2

,因为圆与直线 y=1 相切,

3 3 ,所以圆心为 (2, ? ) ,半径 2 2 3 5 3 25 R ? 1 ? b ? 1 ? (? ) ? ,所以圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? 。 2 2 2 4

9 . (2013 年高考湖北卷(文 17) )在平面直角坐标系中,若点 P( x, y ) 的坐标 x , y 均为整数,则

称点 P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形 的面积记为 S ,其内部的格点数记为 N ,边界上的格点数记为 L . 例如图中△ ABC 是格点 三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c ,其中 a,b,c 为常数. 若某格点多边形对 应的 N ? 71 , L ? 18 , 则 S ? __________(用数值作答).

- 21 -

【答案】(Ⅰ)3, 1, 6 (Ⅱ)79 【命题立意】本题考查归纳推理。 (Ⅰ)由格点的定义可知,格点四边形 DEFG 对应的

1 1 S ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ? 3 . N ? 1, L ? 6 . 2 2
(Ⅱ)由已知△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 .此时有 1 ? 4b ? c ,图中格 点四边形 DEFG 对应的 S ? 3 . N ? 1, L ? 6 .代入得 3 ? a ? 6b ? c 。

格点六边形中, 面积 S ?

1? 3 ?1? 2 ? 4 , L ? 6, N ? 2 ,代入 S ? aN ? bL ? c 得 4 ? 2a ? 6b ? c , 2

?a ? 1 ?1 ? 4b ? c ? ? 1 ? 1 所以由 ?3 ? a ? 6b ? c ,解得 ?b ? ,所以 S ? aN ? bL ? c ? N ? L ? 1 , 当 N ? 71 , 2 2 ? 4 ? 2a ? 6b ? c ? ? ? ?c ? ?1
L ? 18 时, S ? N ?

1 1 L ? 1 ? 71 ? ? 18 ? 1 ? 79 。 2 2
2 2

10( .2013 年高考浙江卷 (文 13) ) 直线 y=2x+3 被圆 x +y -6x-8y=0 所截得的弦长等于__________. 【答案】 4 5 【解析】 圆的标准方程为 ( x ? 3)
2

? ( y ? 4)2 ? 25 ,所以圆心为 (3, 4) ,半径为 5.圆心到直线

2 x ? y ? 3 ? 0 的距离为 d ?

6?4?3 4 ?1

? 5 ,所以弦长等于 2 25 ? 5 ? 4 5 。

- 22 -

11. (2013 年高考山东卷(文 13) )过点(3,1)作圆 ( x ? 2)

2

? ( y ? 2) 2 ? 4 的弦,其中最短的弦长

为__________
【答案】 2

2

【 解 析 】 最 短 的 弦 为 过 点 ( 3,1 ) 且 与 圆 心 ( 2 , 2 ) 和 点 ( 3,1 ) 连 线 的 垂 直 的 弦 ,

l ? 2 4 ? (3 ? 2) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 2 2 。
12. (2013 年高考安徽(文 6) )直线 x ? 2 y ? 5 ?

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长
( )

为 A.1 【答案】C
【解析】圆心 (1, 2) ,圆心到直线的距离 d ?

B.2

C .4

D. 4 6

1+4-5+ 5 5

=1 ,半径 r ? 5 ,所以最后弦长为

2 ( 5) 2 ? 12 ? 4 .
三、解答题 13. (2013 年高考四川卷(文) )

已知圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) 设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点 , 且 数.
【答案】解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x
2

2 1 1 . 请将 n 表示为 m 的函 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2

- 23 -

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

8k 1? k
2

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 2 5k ? 3

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5

14 年高考直线和圆的方程试题汇编
14. 、[2014· 湖北卷] 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0,若 经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均 a+b 数,记为 Mf(a,b),例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b 2 的算术平均数. (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; 2ab (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 . a+b (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 14.(1) x (2)x(或填(1)k1 x;(2)k2x,其中 k1,k2 为正常数) x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B a 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= a 3 |MF| 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c? 1 1 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? ?2,-2a?. a a

- 24 -

1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -?-2a? a c 3 c, ?,所以 kAB= 则 A? = . a ? ? c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 = 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = = 2= 2 2 |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = , 2= ? 2 2= ? 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3 为定值.

x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b 轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m),

- 25 -

m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21. 、 、[2014· 全国卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点 5 为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程;

- 26 -

(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 21.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x, 4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 故线段 MN 的中点为 E? ?m2+2m +3,-m?, |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB, 故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. H3 圆的方程 x2 9. 、[2014· 福建卷] 设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( A.5 2 B. 46+ 2 )

- 27 -

C.7+ 2 9.D

D.6 2

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 10. 、[2014· 安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 → → Q 满足OQ= 2(a+b). 曲线 C={P|OP=acos θ +bsin θ , 0≤θ<2π }, 区域Ω ={P|0<r≤|PQ| ≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 10.A )

19. 、 、[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程, 2 得 t=± 2, 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t), x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离

- 28 -

d=

|2x0-ty0| (y0-2)2+(x0-t)2

.

2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

d=

?2x0+2y0? x0 ? ?
2 x2 0+y0+

2

= 4y2 0 2 +4 x0

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 6. 、[2014· 福建卷] 直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是 1 “△OAB 的面积为 ”的( 2 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6.A 12.[2014· 湖北卷] 直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等 的四段弧,则 a2+b2=________. 12.2 15. 、[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________.

4 15. 3 15. [2014· 山东卷] 已知函数 y=f(x)(x∈R), 对函数 y=g(x)(x∈I), 定义 g(x)关于 f(x)的“对 称函数”为函数 y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点 (x,f(x))对称.若 h(x)是 g(x)= 4-x2关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h(x)>g(x)恒成立, 则实数 b 的取值范围是________. 15.(2 10,+∞) 12.[2014· 陕西卷] 若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的 标准方程为________. 12.x2+(y-1)2=1 14. ,[2014· 四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y -m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|?|PB|的最大值是________. 14.5 13.[2014· 重庆卷] 已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,
- 29 -

B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 13.4± 15 x2 y2 21. ,[2014· 重庆卷] 如图 14 所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b |F1F2| 2 点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切 线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.

图 14 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F1| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个 2 交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知, x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1 2 x1 4 2 2 ⊥F2P2 得-(x1+1)2+y1 =0.由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3x1 +4x1=0,解得 x1=- 或 x1 2 3 =0. 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2,知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆 C 的半 2 4 2 径|CP1|= |P1P2|= 2|x1|= . 2 3

- 30 -

H5 椭圆及其几何性质 x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b 轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ| 20.解:(1)由已知可得? 解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

? a2+b2=2b, ?2c=2 a2-b2=4,

? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

- 31 -

= =

2 -2 ? ? ? 4m ? (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ??

24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| y2 14.[2014· 安徽卷] 设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 b 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 3 14.x2+ y2=1 2

19. 、 、[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程, 2 得 t=± 2,

- 32 -

故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t), x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 |2x0-ty0| d= . (y0-2)2+(x0-t)2 2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

d=

= 4y2 0 2 2 x0+y0+ 2 +4 x0

?2x0+2y0? x0 ? ?

2

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. x2 9. 、[2014· 福建卷] 设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( ) A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 9.D [解析] 设圆心为点 C,则圆 x2+(y-6)2=2 的圆心为 C(0,6),半径 r= 2.设点 x2 0 2 Q(x0,y0)是椭圆上任意一点,则 +y2 =1,即 x2 0=10-10y0, 10 0
2 2 ∴|CQ|= 10-10y2 0+(y0-6) = -9y0-12y0+46=

2 2 y0+ ? +50, - 9? 3? ?

2 当 y0=- 时,|CQ|有最大值 5 3 则 P,Q 两点间的最大距离为 5

2, 2+r=6
2 2

2.

x y 5 20. 、[2014· 广东卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 9. 、[2014· 湖北卷] 已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 π ∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 3 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 9.A x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b x2 y2 焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 3 为 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程;

- 33 -

(2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两 点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

图 17 a2-b2 a2+b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2, 2 a a 2 4 从而 F2(b,0), x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 + 2 2 x y2=1, -y2=1. 2

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由 x = my-1, ? ?2 ?x 得(m2+2)y2-2my-1=0. 2 + y = 1 ?2 ? 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所 -1 2m 以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的 m +2 ?m +2 m +2? m m 斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得(2-m2)x2=4,所以 2-m2>0,且 x2= ,从而|PQ|= 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 2 x2+y2=2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2-m2 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2d= .因为点 A, B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, m2+4 (m2+2)|y1-y2| 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4

? ? ?

- 34 -

2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m2+2 m2+4 2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2 2 - m2 2-m 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 1 x2 y2 15. [2014· 江西卷] 过点 M(1, 1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A, 2 a b B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 15. 2 2

x2 y2 15.[2014· 辽宁卷] 已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦 9 4 点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=______. 15.12 20. 、[2014· 辽宁卷] 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当 x2 y2 该三角形面积最小时,切点为 P(如图 16 所示).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b

图 16 (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点, 直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点. 若 以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x0 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- y0 4 4 x0 ,0?,?0, ?.故 (x-x0),即 x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? x y ?0 ? ? y0 0? 1 4 4 8 2 2 其围成的三角形的面积 S= ? ? = .由 x0+y0=4≥2x0y0 知,当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 2 x0 y0 x0y0 有最大值 2,此时 S 有最小值 4,因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ?a2-b2=1, 由题意知? y2 解得 a2=1,b2=2,故 C1 的方程为 x2- =1. 2

?a2+b2=3a2, ?

x2 y2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),由此可设 C2 的方程为 2+ 2=1,其 3+b1 b1 中 b1>0. 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 + 2=1, b 3+b2 1 1 2 解得 b1=3, x2 y2 因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0.
- 35 -

设直线 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. + = 1 , ?6 3 ? 又 y1,y2 是方程的根,因此 2 3m y1+y2=- 2 , ① m +2

? ? ? -3 yy= ? ? m +2,
1 2 2

② 由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 x1+x2=m(y1+y2)+2 3= 2 , m +2

? ? ? ? ?x x =m y y +
1 2 2 1 2



6-6m2 3m(y1+y2)+3= 2 . ④ m +2 → → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP?BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2 x2 y2 3 6.[2014· 全国卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 , a b 3 过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x y x A. + =1 B. +y2=1 3 2 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 12 8 12 4 6.A x2 y2 3 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 2 3 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,
- 36 2 2 2

)

故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 x1,2= 8k±2 4k2-3 , 4k2+1

从而|PQ|= k2+1|x1-x2| = 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 . k +1
2

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 x2 y2 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1, F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2) b2 是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ?2(-c-x1)=c, ? ?x1=-2c, ? ? 即? ? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 将①及 c= a2-b2代入②得 + =1, 4a2 4a

- 37 -

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. x2 y2 x2 10. ,[2014· 山东卷] 已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- a b a y2 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 b 2 A. x± 2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 10.A = [解析] 椭圆 C1 的离心率 e1= b?2 1-? ?a? ? a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C2 的离心率 e2= .由 e1e2 a a )

a2-b2 a2+b2 ? = a a

b?2 3 1+? ?a? = 2 ,

b?2 1 b 2 2 解得? ?a? =2,所以a= 2 ,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± 2 x.故选 A. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和 a b 部分抛物线 C2: y=-x2+1(y≤0)连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A, B, 其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4 ∴点 P 的坐标为?

?k -4, -8k ?. ? ?k2+4 k2+4?

2

- 38 -

?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ? ?y=-x +1(y≤0),

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和 a b 部分抛物线 C2: y=-x2+1(y≤0)连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A, B, 其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根.

- 39 -

k2-4 -8k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4 ∴点 P 的坐标为?

?k -4, -8k ?. ? ?k2+4 k2+4?

2

?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ?y=-x +1(y≤0), ?

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. x2 y2 18. 、[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A, a b 上顶点为 B.已知|AB|= 3 |F F |. 2 1 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直 线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 18.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2

c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 所以椭圆的离心率 e= 2 . 2

(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), → → 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.①

- 40 -

又因为点 P 在椭圆上, x2 y2 0 0 所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= ,即点 P 3 3 4c c? 的坐标为? ?- 3 ,3?. 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1 , y1) ,则 x1 = =- c , y1 = = c ,进而圆的半径 r = 2 3 2 3 (x1-0)2+(y1-c)2= 5 c. 3

|kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 2 =r,即 k +1

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3?
k2+1



5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3

x2 y2 21. 、[2014· 浙江卷] 如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个 a b 公共点 P,且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

+a2m2-a2b2=0. 由于 l 与 C 只有一个公共点,故 Δ = 0 ,即 b2 - m2 + a2k2 = 0 ,解得点 P 的坐标为 2 b2m ? ?- 2a km 2 2, 2 ? b +a k b +a2k2?. 2 2 ? -a k , b m ? 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P? 2 2 2 ?. b2+a2k2? ? b +a k (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的 2 2 ? -a k + b k ? ? 2 22 ? b2+a2k2? ? b +a k 距离 d= , 1+k2 a2-b2 整理得 d= . b2 b2+a2+a2k2+ 2 k 2 a2-b2 a2-b2 b 因为 a2k2+ 2 ≥2ab,所以 ≤ =a-b, 2 k b2+a2+2ab 2 2 2 2 b b +a +a k + 2 k

y=kx+m, ? ? 2 2 21. 解: (1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0), 由?x y 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx + = 1 , 2 2 ?a b ?

- 41 -

b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b. x2 y2 21. ,[2014· 重庆卷] 如图 14 所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b |F1F2| 2 点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切 线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.

图 14 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F1| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个 2 交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知, x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1 2 x1 4 2 2 ⊥F2P2 得-(x1+1)2+y1 =0.由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3x1 +4x1=0,解得 x1=- 或 x1 2 3 =0. 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2,知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆 C 的半 2 4 2 径|CP1|= |P1P2|= 2|x1|= . 2 3
- 42 -

H6 双曲线及其几何性质 9. 、[2014· 湖北卷] 已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 π ∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 3 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 9.A y2 11.[2014· 北京卷] 设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 的方 4 程为________;渐近线方程为________. x2 y2 11. - =1 y=± 2x 3 12 9.[2014· 全国卷] 已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若|F1A|= 2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( ) 1 A. 4 9.A x2 y2 19. 、[2014· 福建卷] 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x, a b l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图 16,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、 四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由. 1 2 2 B. C. D. 3 4 3

图 16 19.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以 =2, a 所以 c2-a2 =2, a

- 43 -

故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 c e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时, 若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a, |AB|=4a.又因为△OAB 的面积为 8,

1 所以 |OC|?|AB|=8, 2 1 因此 a?4a=8,解得 a=2, 2 x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m ? 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2, y2).
?y=kx+m, ? 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ? ?y=2x

1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - - ? =8, 2? k ? ?2-k 2+k? 即 m2=4|4-k |=4(k2-4). y=kx+m, ? ?2 2 由?x y 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. ? 4 -16=1 ?
2

因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4),

- 44 -

所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法二:(1)同方法一. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得- <m< . 2 2
? ?x=my+t, -2t 2t 由? 得 y1= , 同理得 y2= . 1 - 2 m 1 +2m ?y=2x ?

设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 2t 2t 1 1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|=8,得 |t|??1-2m+1+2m?=8. 2 2 ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). x=my+t, ? ? 2 由?x 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. y2 - = 1 2 2 ?a 4a ? 因为 4m2-1<0, 直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2 -a2)=0,即 4m2a2+t2-a2=0, 即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以 a2=4, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意 得 k>2 或 k<-2.
? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, ?4x -y =0 ?

因为 4-k2<0,Δ>0,所以 x1x2= 又因为△OAB 的面积为 8,

-m2 , 4-k2

1 4 所以 |OA|?|OB|? sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB= , 2 5 2 2 所以 x2 +y2? x2 2+y2=8,化简得 x1x2=4. 5 1 1 -m2 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 4-k2 x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a 4a y=kx+m, ? ? 2 由?x 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. y2 ? ?a2-4a2=1

- 45 -

因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+ 4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4, x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: - = 4 16 1 有且只有一个公共点. x2 y2 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 x2 y2 4. [2014· 广东卷] 若实数 k 满足 0<k<9, 则曲线 - =1 与曲线 - =1 的 ( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 4.A [解析] 本题考查双曲线的几何性质,注意利用基本量的关系进行求解. ∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0. x2 y2 对于双曲线 - =1, 25 9-k 其焦距为 2 25+9-k=2 34-k; x2 y2 对于双曲线 - =1, 25-k 9 x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b x2 y2 焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 3 为 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两 点时,求四边形 APBQ 面积的最小值. 其焦距为 2 25-k+9=2 34-k.所以焦距相等. )

图 17 a -b a2+b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2, 2 a a 2 4 从而 F2(b,0), x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 + 2 2 x y2=1, -y2=1. 2
2 2

- 46 -

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由 x = my-1, ? ?2 ?x 得(m2+2)y2-2my-1=0. 2 + y = 1 ?2 ? 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所 -1 2m 以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的 m +2 ?m +2 m +2? m m 斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得(2-m2)x2=4,所以 2-m2>0,且 x2= ,从而|PQ|= 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 2 x2+y2=2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2-m2 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2d= .因为点 A, B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, m2+4 (m2+2)|y1-y2| 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4

? ? ?

2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m2+2 m2+4 2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2-m2 2-m2 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B a 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程;
- 47 -

x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= a 3 |MF| 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c? 1 1 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? ?2,-2a?. a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? - - a ? 2a? 3 c? ? c , 则 A? a?,所以 kAB= = . c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 = 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF| 则 = = 2 2= |NF|2 ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2
2

(2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ? = ,所以 = = , 2= ? 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2)2 3 4x2 3 |NF| 3 3 0-12x0+9 为定值. 4.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( )

A. 3

B.3

d=

= 4y2 0 2 2 x0+y0+ 2 +4 x0

?2x0+2y0? x0 ? ?

2

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. x2 y2 19. 、[2014· 福建卷] 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x, a b

- 48 -

l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图 16,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、 四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

图 16 19.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以 =2, a 所以 c2-a2 =2, a

故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 c e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时, 若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a, |AB|=4a.又因为△OAB 的面积为 8,

1 所以 |OC|?|AB|=8, 2 1 因此 a?4a=8,解得 a=2, 2

- 49 -

x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m ? 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2, y2).
? ?y=kx+m, 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ?y=2x ?

1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - - ? k 2 - k 2 +k?=8, ? ? 2 ? 即 m2=4|4-k |=4(k2-4). ?y=kx+m, ? 由?x2 y2 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. - = 1 ? 4 16 ?
2

因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法二:(1)同方法一. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得- <m< . 2 2
?x=my+t, ? -2t 2t 由? 得 y1= , 同理得 y2= . 1-2m 1+2m ? ?y=2x

设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 2t 2t 1 1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|=8,得 |t|??1-2m+1+2m?=8. 2 2 ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). x=my+t, ? ? 2 由?x 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. y2 ? ?a2-4a2=1 因为 4m2-1<0, 直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2 -a2)=0,即 4m2a2+t2-a2=0, 即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0,

- 50 -

所以 a2=4, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意 得 k>2 或 k<-2.
? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, ?4x -y =0 ?

-m2 因为 4-k <0,Δ>0,所以 x1x2= , 4-k2
2

又因为△OAB 的面积为 8, 1 4 所以 |OA|?|OB|? sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB= , 2 5 2 2 所以 x2 +y2? x2 2+y2=8,化简得 x1x2=4. 5 1 1 -m2 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 4-k2 x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a 4a y=kx+m, ? ? 2 由?x 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. y2 ? ?a2-4a2=1 因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+ 4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4, x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: - = 4 16 1 有且只有一个公共点. x2 y2 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 5 20. 、[2014· 广东卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 21. 、 、[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的 距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公 共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x).

- 51 -

? ?4x,x≥0, 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ? ?0,x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ?y-1=k(x+2), ? 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ?y =4x, ? 1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).②

2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ? ?Δ <0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k> . 2 ?x0<0, ? 1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点.故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. ?Δ =0, ? ?Δ >0, ? (ii)若? 或? ?x0<0, ?x0≥0, ? ? 1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点. ? ? 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 1 ? ? 1? ? ? 故当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. ?Δ >0, ? 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 ?x0<0, ? 1 1 ? ? ? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 ? 综上可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 1 ? ? 1? 1? ? 1? ? ? ? 当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈?-1,-2?∪?0,2? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b x2 y2 焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 3 为 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两 点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

- 52 -

图 17 2 2 2 a - b a +b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2, 2 a a 2 4 从而 F2(b,0), x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 + 2 2 x y2=1, -y2=1. 2

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由 x = my-1, ? ?2 ?x 得(m2+2)y2-2my-1=0. 2 + y = 1 ? ?2 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所 -1 2m 以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的 m +2 ?m +2 m +2? m m 斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得(2-m2)x2=4,所以 2-m2>0,且 x2= ,从而|PQ|= 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 2 x2+y2=2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2-m2 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2d= .因为点 A, B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, m2+4 (m2+2)|y1-y2| 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4

? ? ?

2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m2+2 m2+4
- 53 -

2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2 2 - m2 2-m 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B a 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= a 3 |MF| 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c? 1 1 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? ?2,-2a?. a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -?-2a? a c 3 c, ?,所以 kAB= 则 A? = . a ? ? c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 = 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = = 2= 2 2 |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2

- 54 -

x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ? = ,所以 = = , 2= ? 2 2 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3

为定值. 20. 、[2014· 辽宁卷] 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当 x2 y2 该三角形面积最小时,切点为 P(如图 16 所示).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b

图 16 (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点, 直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点. 若 以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x0 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- y0 4 4 x0 ,0?,?0, ?.故 (x-x0),即 x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ?x0 ? ? y0? y0 1 4 4 8 2 2 其围成的三角形的面积 S= ? ? = .由 x0+y0=4≥2x0y0 知,当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 2 x0 y0 x0y0 有最大值 2,此时 S 有最小值 4,因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ?a2-b2=1, 由题意知? y2 解得 a2=1,b2=2,故 C1 的方程为 x2- =1. 2

?a2+b2=3a2, ?

x2 y2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),由此可设 C2 的方程为 2+ 2=1,其 3+b1 b1 中 b1>0. 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 + 2=1, b 3+b2 1 1 解得 b2 1=3, x2 y2 因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0. 设直线 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. ? 6 + 3 =1, ? 又 y1,y2 是方程的根,因此 2 3m y1+y2=- 2 , ① m +2

? ? ? -3 yy= ? ? m +2,
1 2 2

- 55 -

② 由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 x1+x2=m(y1+y2)+2 3= 2 , m +2

? ? ? ? ?x x =m y y +
2



6-6m2 3 m ( y + y )+ 3 = . ④ 1 2 1 2 1 2 m2+2 → → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP?BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2 x2 y2 3 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 2 3 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 x1,2= 8k±2 4k2-3 , 4k2+1

从而|PQ|= k2+1|x1-x2| 4 k2+1· 4k2-3 = . 4k2+1 又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1 2 . k +1
2

- 56 -

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 10. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的 直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 3 10. D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4,0?,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3 ?x-3?,即 x= 3y+3,代入抛物线方程得 y2-3 3y-9=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+ ? 4? 4 4 9 9 9 1 1 3 - ?= . y2=3 3,y1y2=- ,则 S△OAB= |OF||y1-y2|= ? ? (3 3)2-4?? ? 4? 4 4 2 2 4 2 2 x y 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1, F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2) b2 是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ?2(-c-x1)=c, ? ?x1=-2c, ? ? 即? ? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. 21. , ,[2014· 山东卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任 意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的 横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标.
- 57 -

②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4 p+ 2t ? ? 4 ,0?.

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y y0 0 4y0 yE-y0 时,kAE= =- , 2= 2 4 y0 xE-x0 y0-4 2- y0 4 4y0 (x-x0), 2 y0-4



y2 0≠4

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4

直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,

- 58 -

x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m = 4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和 a b 部分抛物线 C2: y=-x2+1(y≤0)连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A, B, 其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2

- 59 -

∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4

?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?
?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ? ?y=-x +1(y≤0),

2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b 轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2

- 60 -

(2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? ? m +3? ? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · = 24 m2+1

? -6 , 2m ?. ? 2 2 ?m +3 m +3?

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| x2 y2 18. 、[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A, a b 上顶点为 B.已知|AB|= 3 |F F |. 2 1 2

- 61 -

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直 线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 18.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2

c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 所以椭圆的离心率 e= 2 . 2

(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), → → 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点 P 在椭圆上, x2 y2 0 0 所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= ,即点 P 3 3 4c c? 的坐标为? ?- 3 ,3?. 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1 , y1) ,则 x1 = =- c , y1 = = c ,进而圆的半径 r = 2 3 2 3 (x1-0)2+(y1-c)2= 5 c. 3

|kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 2 =r,即 k +1

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3?
k +1
2



5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3

x2 y2 21. 、[2014· 浙江卷] 如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个 a b 公共点 P,且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

- 62 -

图 16 y=kx+m, ? ? 2 2 21. 解: (1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0), 由?x y 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx ? ?a2+b2=1, +a2m2-a2b2=0. 由于 l 与 C 只有一个公共点,故 Δ = 0 ,即 b2 - m2 + a2k2 = 0 ,解得点 P 的坐标为 2 b2m ? ?- 2a km 2 2, 2 ? b +a k b +a2k2?. 2 b2m ? ? -a k 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P? 2 2 2, 2 ?. b +a2k2? ? b +a k (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的 2 2 ? -a k + b k ? ? 2 22 ? b2+a2k2? ? b +a k 距离 d= , 1+k2 a2-b2 整理得 d= 2. 2 2 2 2 b b +a +a k + 2 k 2 a2-b2 a2-b2 b 因为 a2k2+ 2 ≥2ab,所以 =a-b, 2≤ k b b2+a2+2ab b2+a2+a2k2+ 2 k b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

H9 曲线与方程 10. 、[2014· 安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 → → Q 满足OQ= 2(a+b). 曲线 C={P|OP=acos θ +bsin θ , 0≤θ<2π }, 区域Ω ={P|0<r≤|PQ| ≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 10.A )

21. 、 、[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的 距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.

- 63 -

(1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公 共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). ? ?4x,x≥0, 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ?0,x<0. ? (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ? ?y-1=k(x+2), 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ?y =4x, ? 1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ?Δ <0, ? 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k> . 2 ?x0<0, ? 1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点.故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. ? ?Δ =0, ? ?Δ >0, (ii)若? 或? ?x0<0, ?x0≥0, ? ? 1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点. ? ? 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 1 ? ? 1? ? ? 故当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好 ? ?Δ >0, 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 ?x0<0, ? 1? ? 1? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 ? 综上可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 1 ? ? 1? 1? ? 1? ? ? ? 当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈?-1,-2?∪?0,2? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 9.[2014· 江西卷] 在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为 直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) 4 A. π 5 3 B. π 4 5 D. π 4
- 64 -

C.(6-2 5)π

9.A

.

x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b x2 y2 焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 3 为 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两 点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

图 17 a -b a2+b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2, 2 a a 2 4 从而 F2(b,0), x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 + 2 x2 2 2 y =1, -y =1. 2
2 2

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由 x = my-1, ? ?2 ?x 得(m2+2)y2-2my-1=0. 2 + y = 1 ? ?2 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所 -1 2m 以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的 m +2 ?m +2 m +2? m m 斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 2

- 65 -

?y=- 2 x, 由? 得(2-m )x =4,所以 2-m >0,且 x ? 2 -y =1
2 2 2 2 2

m

x2=

4 m2 2 , y = ,从而|PQ|= 2-m2 2-m2

m2+4 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2-m2 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2d= .因为点 A, B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, m2+4 (m2+2)|y1-y2| 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4 2 x2+y2=2 2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2= ,所以 2d= . m2+2 m2+4
2

2 2? 1+m2 1 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? 2 2-m2 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2.

3 -1+ . 2-m2

x2 y2 3 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 2 3 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 x1,2= 8k±2 4k2-3 , 4k2+1

从而|PQ|= k2+1|x1-x2| 4 k2+1· 4k2-3 = . 4k2+1 又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1 2 . k +1
2

- 66 -

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 x2 y2 20. 、 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1, F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 2 2 2 2 将 b =a -c 代入 2b =3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2) b2 是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. ? 9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 将①及 c= a2-b2代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. 21. , ,[2014· 山东卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任 意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的 横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? p+ 2t ? ? 4 ,0?.

- 67 -

解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y yE-y0 4y0 0 当 y2 ≠ 4 时, k = =- , 2= 2 0 AE 4 y0 xE-x0 y0-4 - y2 4 0 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4 直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 4y0 (x-x0), 2 y0-4

- 68 -

8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m = 4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16.

- 69 -


直线和圆的方程十年高考题

直线和圆的方程十年高考题_高考_高中教育_教育专区...近年直线和圆的方程高考... 2页 免费 2005年高考...2005年高考题分章节汇编... 9页 1下载券 高考试卷...

直线和圆的方程十年高考题

直线和圆的方程十年高考题_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版数学 2016 届复习资料 姓 名: 沈金鹏 数学学院 数学与应用数学 院、系: 专业: 2015 年 12 ...

2015数学文科高考真题分类汇编-直线与圆

2015数学文科高考真题分类汇编-直线与圆_高考_高中教育_教育专区。2015数学文科高考真题分类汇编 1.【2015 高考北京,文 2】圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是...

直线与圆高考题汇总

直线与圆高考题汇总 3.(重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2 ) ? 1 2 2 ) B. x ? ( y ? 2...

2014年高考数学真题分类汇编理科-直线与圆的方程(理科)

2014年高考数学真题分类汇编理科-直线与圆的方程(理科)_高考_高中教育_教育专区。专注数学 成就梦想 www.chinamath.net 一、 选择题 1.(2014 福建理 6)直线 l...

2014年高考数学真题分类汇编文科-直线与圆的方程(文科)

2014年高考数学真题分类汇编文科-直线与圆的方程(文科)_数学_高中教育_教育专区。专注数学 成就梦想 www.chinamath.net 一、选择题 1.(2014 浙江文 5)已知圆 ...

七:直线和圆的方程十年高考题(含答案)

七:直线和圆的方程十年高考题(含答案)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档七:直线和圆的方程十年高考题(含答案)_数学_高中教育_教育...

...圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系

2013高中数学高考题详细分类考点39 圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系_高三...2013年高考真题分类汇编... 暂无评价 9页 ¥1.00 2011高考数学真题考点分....

2014年高考数学真题汇编(含答案):直线与圆

2014年高考数学真题汇编(含答案):直线与圆_高考_高中...x 对称,则圆 C 的标准方程为___. 【答案】 【...2015国考行测模拟试题及历年真题 2015国考申论押密试...

(五年高考真题)2016届高考数学复习 第九章 第二节 圆与...

(五年高考真题)2016届高考数学复习 第九章 第二节 圆与方程直线与圆的位置关系 理(全国通用)_高考_高中教育_教育专区。数学高考真题复习 ...