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2013届高三理科数学解答题前四题训练11-15


2013 广东省理科数学大题(中低档题型) 专题训练(十一)
1. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin x co s x ? co s 2 x ( x ? R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;
? ?

(2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?


? ? 8 ?

2 3

,求 tan 2? 的值.

2.(本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .
5 3

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望. 下面的临界值表供参考:
P(K
2

? k)

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

1

3.(本小题满分 14 分)
C 如 图 , ?V A 中, V C ? A C , 将 其 绕 直 线

VC

旋 转 得 到 ?VBC , D



AB

的 中 点 ,

AB ?

? ? ? 2a, AC ? a, ? VDC ? ? ? 0 ? ? ? ?. 2 ? ?

(Ⅰ)求证:平面 V A B ? 平面 VCD; (Ⅱ)当角θ 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围。 (Ⅲ) ? ?
?
4

时,在线段 VB 上能否找到点 E 使二面角 E—CD—B 的大小也为

?
4

,若能,求 ? ?

BE BV

.

4.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x ) ? (1)求函数

1 3

x ? b x ? 2 x ? a , x ? 2 是 f ( x ) 的一个极值点.
3 2

f ( x)

的单调区间;
f (x) ? 2 3 ? a
2

(2)若当 x ? [1, ? ? ) 时,

恒成立,求 a 的取值范围.

2

2013 广东省理科数学大题(中低档题型) 专题训练(十二)
1.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? c o s
? ? ? 3 2 x , sin x x? ? ? ? x ? , b ? ? c o s , sin ? , 且 x ? 2 ? 2 2? ? 3 ? ? ? ? ? , ? ? ? 6 3?

(1)求 a ? b 及 |a ? b| ;

? ?

?

?

(2)若 f ( x ) ? a ? b ? | a ? b |, 求 f ( x ) 的值域。

? ?

?

?

2.(本小题满分 12 分)为了调查茂名市某中学高三男学生的身高情况,在该中学高三男学生中随机抽取了 40 名同学 作为样本,测得他们的身高后,画出频率分布直方图如下: (1)估计该校高三男生的平均身高; (2)从身高在 170cm(含 170cm)以上的样本中随机抽取 2 人,记身高在 170~175cm 之间的人数为 X,求 X 的分 布列和数学期望。 (部分参考数据:167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325=139.00)

3

3.(本小题满分 14 分)如图 1,在正三角形 ABC 中,已知 AB=5,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,设
AE ? 2 x, C F ? C P ? x, 0 ? x ? 5 2

,将 ? A B C 沿 EF 折起到 ? A1 E F 的位置,使二面角 A1—EF—B 的大小为

?
2



连结 A1B、A1P(如图 2)。

(1)求证:PF//平面 A1EB; (2)若 E F ? 平面 A1EB,求 x 的值; (3)当 EF ? 平面 A1EB 时,求平面 A1BP 与平面 A1EF 所成锐二面角的余弦值。

4.(本小题满分 14 分)(1 班必做,2、3 班选做) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0 , ? 1 ? ,焦点在 x 轴上,中心在原点.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

4

2013 广东省理科数学大题(中低档题型) 专题训练(十三)
1.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求 f(x)的最大值; (2)设△ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b,若 B=2A,且 求角 C 的大小. ?,

2(本小题满分 12 分) 甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 5 的茎叶 图所示. (1)现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两同学的平均成绩 和方差分析,派谁参加更合适; 7 3

甲 5 5 0 7 8 9
图5

乙 7 3 7 6 7

(2)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高 于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? . (注:样本数据 x 1 , x 2 ,…, x n 的方差 s 2
? 1

??x n

1

?x

? ? ?x
2

2

?x

?

2

? ? ? xn ? x

?

?

2

?,其中 x 表示样本均值)

5

3.(本小题满分 14 分) 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 重合,且 BB'<DD'<CC'. (1)证明 AD'//平面 BB'C'C,并指出四边形 AB'C'D’的形状; (2)如果四边形中 AB'C'D’中, ,正方形的边长为 , ,其中 A 与 A '

求平面 ABCD 与平面 AB'C'D’所成的锐二面角 的余弦值.

4.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a ln ? x ? 1 ? .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 F ( x ) ? f ( x ) ? ln
2 有两个极值点 x1 , x 2 且 x1 ? x 2 ,求证 F ( x 2 ) ?

1 4



6

2013 广东省理科数学大题(中低档题型) 专题训练(十四)
1.(本小题 12 分)已知向量 O A ? (c o s ? , sin ? ) , 0 ? ? ? 且 m ? (O A ? n ) .
??? ?
??? ?

?
2

.向量 m ? ( 2 ,1) , n ? (0 , 5 ) ,

??? ?

(Ⅰ) 求向量 O A ;

(Ⅱ) 若 s in ( ? ?

?
2

)?

2 10

, 0 ? ? ? ? ,求 2 ? ? ? 的值.

2.(本小题 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 6 0 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段

?40 ,50 ? , ?50 , 60 ? … ?90 ,100 ? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在 ? 7 0 , 8 0 ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 6 0 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在 ?40 , 60 ? 记 0 分,在 ?60 ,80 ? 记 1 分,在 ?80 ,100 ? 记 2 分, 用 ? 表示抽取结束后的总记分,求 ? 的分布列和数学期望.

第 2 题图

7

3(本小题 14 分)如图所示的长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,底面 A B C D 是边长为 2 的正方形, O 为 A C 与 B D 的交点,
B B1 ? 2 , M 是线段 B 1 D 1 的中点.

(Ⅰ)求证: B M // 平面 D 1 A C ; (Ⅱ)求证: D 1O ? 平面 A B1 C ; (Ⅲ)求 AB 与平面 AB 1C 所成角的余弦值.

第 3 题图

4.(本小题 12 分)设数列 ? a n ? 的前项和为 S n ,且 S n ? 2 ? (Ⅰ)求数列 ? a n ? 和 ? b n ? 通项公式; (Ⅱ)设 c n ?
bn an

1 2
n ?1

, ? b n ? 为等差数列,且 a 1 ? b1 , a 2 ( b 2 ? b1 ) ? a 1

,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .

8

2013 广东省理科数学大题(中低档题型) 专题训练(十五)
1.(本小题 12 分)已知:函数 f ( x ) ?
2 (sin x ? co s x ) .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若函数 f ( x ) 的图象过点 (? , ) ,
5 6

?
4

?? ?

3? 4

.求 f (

?
4

? ? ) 的值.

2.(本小题 14 分)在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯, ? BAD
AD ? 2 a , PA ? 底面 ABCD , PD 与底面成 30°角.

? 90 , AD // BC , AB ? BC ? a

?



(1)若 AE ? PD , E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)在(1)的条件下,求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

9

3.(本小题 14 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为 是
1 3 1 2

,乙、丙面试合格的概率都

,且面试是否合格互不影响.求:

(1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 ? 的分布列和数学期望.

4.(本小题 8 分)已知 函数 f ( x ) ? x ? 2 x .
2

(Ⅰ)数列 { a n }满 足 : a1 ? 1, a n ? 1 ? f ? ( a n ), 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)已知数列 { b n }满 足 b1 ? t ? 0, b n ? 1 ? f ( b n )( n ? N *) ,求数列 { b n } 的通项公式;

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