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湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(文)试题 Word版含答案

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荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试 数 学(文)
本试卷共 4 页,22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1、答卷前,先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、

选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
2 1.集合 A ? ? x ? N x ≤ 6? , B ? x ? R x ? 3x ? 0 ,则 A I B ?

?

?

A. ?3,4,5?
x

B. ?4,5,6?

C. ?x 3 ? x ≤ 6? B. sin x ?
2

D. ?x 3 ≤ x ? 6?

2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R ,使得 e 0 ≤ 0 C. ?x ? R, 2x ? x2

2 ≥3( x ? kπ, k ? Z ) sin x

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件

3.若 m , n 是两条不重合的空间直线, ? 是平面,则下列命题中正确的是 A.若 m // n , n ? ? ,则 m // ? B.若 m // n , n // ? ,则 m // ? C.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? n , n ? ? ,则 m // ? 4.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 3
A.向右平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3
B.向左平移

2 5.对于函数 f ( x) ? x ? mx ? n, 若 f (a) ? 0, f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内

A.一定有零点 C.可能有两个零点
1 x

B.一定没有零点 D.至多有一个零点
2

6.曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A. e
2

B. 2 e

2

C. 4 e

2

D.

9 2 e 2

7.点 ( x, y ) 是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分 且包括边界)的任意一点,若目标函数 z ? x ? ay 取得最
-1-

小值的最优解有无数个,则

y x?a

y
的最大值是

C(4,2) B(5,1) O A(2,0) x

2 3 1 C. 6
A.

2 5 1 D. 4
B.

第 7 题图

uur uuu r uur uu u r 8.在平面直角坐标平面上, OA ? (1,4), OB ? (?3,1) ,且 OA 与 OB 在直线 l 的方向向量上的投
影的长度相等,则直线 l 的斜率为 A. ?

1 4

B.

2 5

C.

2 4 或? 5 3

D.

5 2

9 .对于一个有限数列 p ? ( p1 , p2 , ???, pn ) , p 的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家)定义为

1 ( S1 ? S 2 ? ??? ? S n ) ,其中 Sk ? p1 ? p2 ???? ? pk (1≤ k ≤ n, k ? N ) ,若一个 99 项的数 n
列( p1 , p2 , ???, p99 ) 的蔡查罗和为 1000,那么 100 项数列 (9, p1 , p2 , ???, p99 ) 的蔡查罗和为 A.991 B.992 C.993 D.999

x2 y 2 10.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两 a b
渐 近 线 于 A, B 两 点 , 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P , 设 O 为 坐 标 原 点 , 若

uu u r uur uu u r 3 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , ? ? ? ? ,则双曲线的离心率为
16
A.

2 3 3

B.

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) ?| x ? 1| ( x ≤ 1) 11.若 f ( x) ? ? x ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ▲ . ( x ? 1) ? 3 12.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则角 C ? ▲ .

13.已知 b 克糖水中含有 a 克糖( b ? a ? 0 ) ,若再添加 m 克糖( m ? 0 ) ,则糖水就变得更甜 了.试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ . 14.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1引切线, 则切线长的最小值为 ▲ .
2 2

15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆, 则该几何体的表面积为 ▲ . 16.若函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间
第 15 题图 -2-

1 2

( a ? 1a ,? 1 ) 内存在极值,则实数 a 的取值范围
17.已知函数 f ( x) ?





x2 ? x ? 1 ( x ≥ 2), g ( x) ? a x (a ? 1, x ≥ 2) . x ?1
▲ ; ▲ .

①若 ?x0 ? ? 2, ?? ? ,使 f ( x0 ) ? m 成立,则实数 m 的取值范围为

②若 ?x1 ? ? 2, ?? ? , ?x2 ? ? 2, ?? ? 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos

r

r x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m n 2 2 2

(Ⅰ )求 f ( x ) 在区间 ?0, π? 上的零点; (Ⅱ )若角 B 是△ ABC 中的最小内角,求 f ( B ) 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若数列{an}是单调递增的,令 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使
2

Sn ? n ? 2

n ?1

? 50成立的正整数 n 的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ? 2 , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N . (Ⅰ )求证: SB // 平面 ACM ; (Ⅱ )求证:直线 SC ? 平面 AMN ; (Ⅲ )求直线 CM 与平面 AMN 所成角的余弦值.

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分)

-3-

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益的范围是 [10,100] (单 位:万元) .现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单 位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (Ⅰ )若建立函数模型 y ? f ( x) 制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励模型函数应满足的条 件; (Ⅱ )现有两个奖励函数模型: (1) y ? 符合公司要求.

1 x ? 1 ; (2) y ? log2 x ? 2 .试分析这两个函数模型是否 20

-4-

22. (本小题满分 14 分) 如图,已知圆 E: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) ,P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直 平分线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与(Ⅰ)中轨迹 ? 相交于 A, B 两点,直线 OA, l , OB 的斜率分别为 k1 , k , k 2 , (其中k ? 0)

k1 , k , k 2 , (其中k ? 0) .△ OAB 的面积为 S ,以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 .若 k1 , k , k 2 恰好构成等比数列,求
S1 ? S 2 的取值范围. S

第 22 题图

-5-

荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试

数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 二、填空题: (每小题 5 分,5 小题共 25 分) 11.?1 ; 3 15.2π+ 3 18.因为向量 m ? (cos 7.B 8.C 9.D 10.A 14. 17 ;

2π 12. ; 3
16.

13 . ?

a b

a?m (b ? a ? 0 且 m ? 0 ) ; b?m
17.① ?3, ?? ? ;② (1, 3] .

3 [1, ) ; 2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分)

r

r r r x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? mgn . 2 2 2

所以 f ( x) ? 3 sin

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2

…………………2 分

?

3 1 1 π 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2

………………………4 分

(1)由 f ( x) ? 0 ,得 sin( x ?

π 1 )? . 6 2 π π π 5π ∴ x ? = +2kπ , 或 x ? = +2kπ,k ? Z …………………6 分 6 6 6 6 π π ∴ x = +2kπ , 或 x =π+2kπ,k ? Z ,又 x ? ?0, π? ,? x ? 或 π . 3 3 π 所以 f ( x ) 在区间 ? 0, π ? 上的零点是 、 π . ………………………8 分 3

(2)由已知得 B ? (0, ], 从而 B ?

π 3

π π π ? (? , ] 6 6 6

……………………………………10 分

π 1 1 π 1 ∴ sin( B ? ) ? ( ? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? ( ?1, 0] 6 2 2 6 2
19. (1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 可得 a3 ? 8 ,

………………12 分

…………………………………………………………………………2 分

1 ? ?a1q 2 ? 8, ?q ? 2, ? ?q ? , 解之得 ? 或? ? a2 ? a4 ? 20 ,? ? 2 3 a ? 2 a q ? a q ? 20, ? ? 1 ? 1 1 ? ? a1 ? 32.

……………4 分

-6-

1 ? 1 ?q ? , 当? an ? 2 ; 2 时, an ? n ?6 . 2 ? ? a1 ? 32. 1 ………………………6 分 ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 或 an ? n ?6 . 2 (2)∵ 等比数列{an}是单调递增的,? an ? 2n ,? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,

?q ? 2, 当? 时, ?a1 ? 2

n

2

? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n ) ③
n ? n? ( ? 1) ?n 2? n? 1

…………………………………8 分

2Sn ? ? [ 1 ? 22? ? 2 3? 2 Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

2④ ]

由③ -④ ,得
……………………10 分

? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

? Sn ? n ? 2n?1 ? 50 即 2n?1 ? 2 ? 50 ,即 2n?1 ? 52.
易知:当 n ≤ 4 时, 2n ?1 ≤ 25 ? 32 ? 52 ,当 n ≥ 5 时, 2n ?1 ≥ 26 ? 64 ? 52 故使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 20. (选修 2 一 1 第 109 页例 4 改编) 方法一: (Ⅰ )证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME . Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. ME 是△ DSB 的中位线. Q M 是 SD 的中点,∴ ME // SB . ∴ ………………………2 分 ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , 又∵ SB // 平面 ACM . ………………………4 分 ∴ (Ⅱ )证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA,
………………………12 分

AM ? DC. ∴ DC ? 平面 SAD ,∴

………………………6 分

AM ? SD. 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴
AM ? 平面 SDC . ∴ SC ? AM . ∴ SC ? 平面 AMN . 由已知 SC ? AN ,∴ ………………………8 分 (Ⅲ )由(Ⅱ)知 CN ? 面 AMN ,则直线 CM 在面 AMN 内的射影为 NM , ?CMN 为所求的直线 CM 与面 AMN 所成的角. ∴ …………………10 分
又 SA ? AB ? 2 ,∴ 在 Rt ?CDM 中 CD ? 2, MD ? 2 又 SC ? SA2 ? AC 2 ? 2 3 由 ?SNM ∽?SDC 可得 ∴ CM ? 6

MN SM MN 1 6 ? ? ∴ MN ? .∴ cos ?CMN ? CD SC CM 3 3
…………………12 分

∴直线 CM 与平面 AMN 所成角的余弦值为 21. (必修一第 127 页例 2 改编)

1 . 3
-7-

…………………13 分

(Ⅰ )设奖励函数模型为 y ? f ( x) ,则该函数模型满足的条件是: ① 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) 是增函数; ② 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 5 恒成立;

x ③ 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 恒成立. 5
(Ⅱ ) (1)对于函数模型 (1) y ?

………………………5 分

1 ; x ? 1 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件① 20 但当 x ? 80 时, y ? 5 ,因此,当 x ? 80 时, y ? 5 ,不满足条件② ;
故该函数模型不符合公司要求.
………………………8 分

(2)对于函数模型 (2) y ? log2 x ? 2 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件①
……10 分 ? x ? 100 时 ymax ? log2 100 ? 2 ? 2log 2 5 ? 5 ,即 f ( x) ≤ 5 恒成立,满足条件②

log2 e 1 1 1 1 1 设 h( x) ? log2 x ? 2 ? x ,则 h?( x) ? ? ,又 x ? ?10,100? ? ≤ ≤ 5 x 5 100 x 10

? h?( x )?

log 1 2 1 2e ,所以 h( x) 在 ?10,100? 上是递减的, ? ? ? ? 0 10 5 10 5

……12 分

x 因此 h( x) ? h(10) ? log 210 ? 4 ? 0 ,即 f ( x) ≤ 恒成立.满足条件③ 5 故该函数模型符合公司要求;
综上所述,函数模型 y ? log 2 x ? 2 符合公司要求.
………………………14 分

22.(选修 2 一 1 第 49 页习题第 7 题改编) (Ⅰ )连结 QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ?| EF |? 2 3 , 故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. ………………………2 分 x2 x2 设其方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 , c ? a 2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 ,……3 分 a b x2 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为 ? y 2 ? 1 . ………………………4 分 4 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4(m ? 1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?4
由韦达定理有:

8km ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且 ? ? 16(1 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? 2 ? x1 x 2 ? 4(m ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?

………………………6 分

-8-

∵ k1 , k , k 2 构成等比数列,? k ? k1k2 =
2

(kx1 ? m)(kx2 ? m) ,即: km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 x1 x2 1 1 2 由韦达定理代入化简得: k ? .∵ k ? 0 ,? k ? ………………………8 分 4 2 此时 ? ? 16(2 ? m 2 ) ? 0 ,即 m ? (? 2, 2 ) .又由 A、O、B 三点不共线得 m ? 0
从而 m ? (? 2,0)

(0, 2) . 1 1 |m| 故 S ? | AB | ?d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2 1 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | ? 2 ? m2 ? | m | ………………………10 分 2 2 x12 x2 2 2 ? y ? ? y2 ?1 又 1 4 4 ? ? 3 2 3 2 2 2 2 2 则 S1 ? S 2 ? ? ( x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ) ? ? ( x1 ? x 2 ? 2) 4 4 4 4 3? ? 5? ? ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? 为定值. ………………………12 分 16 2 4 S ? S 2 5? 1 5π ? ? ? 1 ≥ 当且仅当 m ? ?1 时等号成立. 2 4 4 S 2?m ?| m|
综上:

S1 ? S 2 5? ? [ ,?? ) ? 4 S

……………………14 分

-9-


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