nbhkdz.com冰点文库

【数学】辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三上学期期中考试(理)

时间:2015-12-08


沈阳铁路实验中学 2016 届高三上学期期中考试 数学试卷(理)
考试时间:120 分钟;总分:150 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分, )

B ? x | x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , 1. 已知集合 A ? {0,1,2,3,4,5} , 则 A ? B 的子集可以是 (

A. ?3,4,5? 2. 若复数 z ? A.3 ? i B. ?4,5? C. ?3,5? D. ?4?

?

?



a ?i (a ? R, i 是虚数单位)是纯虚数,则复数 3 ? z 的共轭复数是( 1? i
B.3 ? i C.3 ? 2i D.2 ? i )



3. 已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 4 ? 6 C. 2 ? 2 2 ? 6 B. 6 ? 6 D. 2 ? 2 3 ? 6

4. 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直, 则 cos( A.

2015? ? 2? ) 的值为 ( 2



4 5

B. ?

4 5

C. 2

D. ?

1 2

5.如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在 空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? )

D. b ? c ?

6.已知向量 a , b 满足 a + b ? (5, ?10) , a ? b ? (3, 6) ,则 a,b 夹角的余弦 值为( A. ? )

13 13

B.

13 13

C. ?

2 13 13

D.

2 13 13
2 ? a m ?1 ? a m ? ?3 , s 2m ?1 ? 57 ,则

7.正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a m ?1

m?(
A.38

) B.20 C.10 D.9

8.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (

? 3?
2 , 2

) 内的图象是(



9.不等式组 ?

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 A,不等式组 ? 表示的点集记为 B, 2 ? 0? y?4 ? y?x

在 A 中任取一点 P,则 P∈B 的概率为( ) A.

9 7 B. 32 32

C.

9 16

D.

7 16

10. ?ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是 sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B 成立的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?1 2 x ? 1, x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,则 ? ?? ln(1 ? x), x ? 0
k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, ??)

' 12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? , 其 导 函 数 为 f ? x ? , 对 任 意 正 实 数 x 满 足

xf ' ? x ? ? 2 f? ? x ? ,若 g ? x? ? x2 f ? x? ,则不等式 g ? x? ? g ?1? 3x ? 的解集是( )
A. ?

?1 ? , +? ? ?4 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 4?

C. ? -?, ?

? ?

1? 4?

D. ? -?, ? ? ? , +? ?

? ?

1? 4?

?1 ?4

? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在答题纸中的横线上) 13.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n, 则 a10 等于

?x ? 1 ? x ?1 14 .已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 , ,记 z ? 2 x ? y 的最大值为 m ,则函数 y ? a ? m ?x ? y ? 0 ?
( a ? 0 且 a ? 1 )的图象所过定点坐标为.

15. 已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 ,则 AO ? BC ? . 16. 已知函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

1 , 4 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) ( x, y ? R ) ,则 4

f (2016) ? ________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 已知向量 m ? ? cos x, ?1? ,向量 n ? ? 3 sin x, ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ) 已知 a ,b ,c 分别为 ?ABC 内角 A ,B ,C 的对边,A 为锐角,a ? 1, c ? 3 , 且 f ( A) 恰是 f ( x ) 在 [0 ,
?

?

? ?

1? ? ? ?? ? ? ,函数 f ? x ? ? ? m? n ? ? m . 2? ? ?

?
2

? 上的最大值,求 A , b 和 ?ABC 的面积.

18. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,已知 S 3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a 2 , a3 ? 4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比 q 和通项 an ; (2)若 ?an ? 是递增数列,令 bn ? log2

a n ?1 ,求 b1 ? b2 ? ? ? bn . 128

19.已知函数 f ? x ? =alnx+x2+bx+1 在点(1,f(1) )处的切线方程为 4x?y?12=0。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求 f ? x ? 的单调区间和极值。

20. 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字, 一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为 了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女性用 户各 50 名,其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调 查结果如下: 微信控 男性 女性 合计 26 30 56 非微信控 24 20 44 合计 50 50 100

(1)根据以上数据,能否有 60 ﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关? (2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份,求所抽取 5 人 中“微信控”和“非微信控”的人数; (3)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装,记这 3 人中“微信 控”的人数为 X ,试求 X 的分布列与数学期望. 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

P( K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.321

0.05 3.840

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

21、已知函数 f ? x ? =lnx。 (1)求函数 g(x)=f(x)+mx2?4x 在定义域内单调递增,求实数 m 的取值范围; (2)若 b>a>0,求证:f(b)?f(a)>

2ab ? 2a 2 . a 2 ? b2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. 如图, PA 切圆 O 于点 A, 割线 PBC 经过圆心 O, OB=PB=1, OA 绕点 O 逆时针旋转 60 ? 到 OD. (1)求线段 PD 的长; (2)在如图所示的图形中是否有长度为 3 的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由.

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 23 .已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 2 ?y ? t ? ? 2

??

sin ? , 以极点为原点, 极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系, 点 M (?1, 0) , 直线 l 与 1 ? sin 2 ?

曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2) 线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值.

24.设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若不等式 || a ? b | ? | a ? b ||?| a | f ( x ) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立,求实数 x 的 范围.

参考答案
一、选择题: 1 D2 B3 B4 B5 A6 D7 C8 D 9 A10 A11 C12 C 二、填空题: 13 9114 (1,3) 156 三、解答题: 17 16 1 2

由余弦定理, ∴

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A




1 ? b2 ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos
∴ b ? 1或b ? 2 ,

?
6
………10 分

18 试题解析: (1)由已知条件得

? a ?2 ?6a2 ? a1 ? 3 ? a3 ?4 ? 2 ?? ? 1 …4 分 q ? 2 或 ? a1 ? a2 ? a3? 7 ? ? 2

1 ? ? q ?2 ? q? 故? 或? 2 n ?1 3? n ?an ? 2 ? ?an ? 2
(2)若 ?an ? 是递增数列,则 an?1 ? 2n , bn ? n ? 7 。 记 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

n?n ? 13 ? , 2

则有当 1 ? n ? 7 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?Tn

当n ? 7时, b1 ? b2 ? ?? bn ? Tn ? 2S7
? n?13 ? n ? ,1 ? n ? 7 ? ? 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? n?n ? 13? ? 42, n ? 7 ? 2 ?

19 试题分析: (1)求函数的导数,由 f ' (1) ? 4, f (1) ? ?8 列出方程组即可求 a , b 的值,从 而可求出函数解析式; (2) 先求函数的定义域,在定义域是解不等式 f ?( x) ? 0 与 f ?( x) ? 0 可得函数的单调区间,由单调性可求出极大值点与极小值点,从而可求极大值与极小值. 试题解析: (1)求导 f ' ( x ) ? 则?

a ? 2 x ? b ,由题 f ' (1) ? 4, f (1) ? ?8 x

? f (1) ? b ? 2 ? ?8 ?a ? 12 ,解得 ? ? f ' (1) ? a ? b ? 2 ? 4 ?b ? ?10
2

所以 f ( x) ? 12ln x ? x ?10x ? 1

f ( x) 定义域为 (0,??) , f ' ( x) ?

12 2( x 2 ? 5 x ? 6) ? 2 x ? 10 ? x x

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 2或x ? 3 , 所以 f ( x ) 在区间 (0, 2) 和 (3, ??) 单调递增,在区间 (2, 3) 单调递减. 故 f极大值 ? f (2) ? 12ln 2 ?15, f极小值 ? f (3) ? 12ln 3 ? 20

20 (1)没有 60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关; (2)2 人; (3) X 的分布列是

X
P

1

2

3
1 10

3 10

3 5

X 的期望值是 E ( X ) ? .
【解析】 试题分析: (1) 直接代入公式计算对照表格可知; (2) 由分层抽样的比例可计算其人数; (3) 先写出所有的 X 的可能性,求出其概率,由公式计算其期望即可. 试题解析: (1)由列联表可得

9 5

k2 ?

n(ad ? bc)2 100(26 ? 20 ? 30 ? 24)2 ( 3 分) ? ? 0.64935 ? 0.708 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 56 ? 44 ? 50 ? 50
(4 分)

所以没有 60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的 5 位女性中, “微信控”有 3 人,“非微信控”有 2 人. (6 分) (3) X 的所有可能取值为 1,2,3. (7 分)

P( X ? 1) ?

1 2 1 C3 C2 C32C2 3 3 ; ? P ( X ? 2) ? ? ; 3 3 C5 10 C5 5 3 C3 1 ? . (10 分) 3 C5 10

P( X ? 3) ?

所以 X 的分布列是

X
P

1

2

3

3 1 5 10 3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? . 所以 X 的期望值是 E ( X ) ? 1? (12 分 10 5 10 5

3 10

21 试题分析: (1)写出函数 g ( x ) 的解析式,求导,函数 g ( x ) 在定义域内单调递增等价于

g ?( x ) ? 0 在定义域内恒成立,分离参数得 2m ?
法求函数 h( x ) 的最大值即可;

4 1 4 1 ? 2 ,构造函数 h ( x ) ? ? 2 ,用配方 x x x x

b 2( ) ? 2 b 2t ? 2 2ab ? 2a 2 b (2) f (b) ? f (a ) ? 换元,令 t ? ? 1 ,证 ln t ? 即 ? ln ? a 2 2 a 1? t 2 a ?b a 1 ? ( b )2 a
证 (1 ? t 2 ) ln t ? 2t ? 2 即可,构造函数 F (t ) ? (t 2 ? 1) ln t ? 2t ? 2, (t ? 1) ,利用导数工具得 到函数 F (t ) 的单调性,求证 F (t ) ? 0 成立即可. 试题解析: (1) g ( x) ? ln x ? mx2 ? 4x( x ? 0)

1 4 1 ? 2mx ? 4 ? 0 对 x ? (0,??) 恒成立,即 2m ? ? 2 恒成立 x x x 4 1 1 4 1 ? ? 2 ? ?( ? 2) 2 ? 4 , ? ( ? 2 ) m a x? 4 ? m ? 2 x x x x x
则 g ' ( x) ? 欲 证 f (b) ? f (a) ?

2ab ? 2a a 2 ? b2

2

b 2( ) ? 2 b 2ab ? 2a , 即 证 ln b ? ln a ? ln ? ,令 ? a b a a 2 ? b2 1 ? ( )2 a
2

t?

b 2t ? 2 ? 1 ,即证 ln t ? , a 1? t 2

2 即证 (1 ? t ) ln t ? 2t ? 2 当 t ? 1 时恒成立,

构造函数 F (t ) ? (t 2 ? 1) ln t ? 2t ? 2, (t ? 1)
2 求导 F ' (t ) ? 2t ln t ? (t ? 1) ? ? 2 ? 2t ln t ? t ? ? 2

1 t

1 t

1 ? t ? 1 ? 2t ln t ? 0, t ? ? 2 ? 0 , 所以 F ' (t ) ? 0 当 t ? 1 时恒成立 t
所以 F (t ) 在 t ? (1,??) 单调递增所以 F (t ) ? F (1) ? 0 恒成立。

2ab ? 2a 2 故不等式 (1 ? t ) ln t ? 2t ? 2 得证,所以 f (b) ? f (a) ? 成立。 a 2 ? b2
2

22.


辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三上学期期中考试历史...

辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三上学期期中考试历史试题 Word版含答案.doc_数学...理气关系之争 D.道统思想之争 ) 6. 宋朝文人认为 “唐诗无避讳” , 论及...

辽宁省沈阳市铁路实验中学2017届高三上学期期中数学试...

2016-2017 学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三(上)期中 数学试卷(理科)一、选择...由复合命题的真假 得到答案. 【解答】解:因为 x=﹣1 时,2﹣1>3﹣1,所以...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高一数学上学期期...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016高一数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。沈阳铁路实验中学 2014-2015 学年度下学期期中考试 高一数学时间:120 分钟 一...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高二数学上学期期...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。沈阳铁路实验中学 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学(理) 时间:...

辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三数学上学期第二次月...

辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 文_数学_高中教育_教育专区。沈阳铁路实验中学 2015-2016 学年度上学期第二次月考 高三数学时间:120 ...

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期中数学试...

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)_数学_高中教育_...同理可得 xg(x)在(﹣∞,0)上也无零点,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 ...

辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三上学期期中考试数学(...

辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三上学期期中考试数学...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高一上学期期中考...

辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。沈阳铁路实验中学 2014-2015 学年度下学期期中考试 高一数学时间:120 分钟...

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015-2016学年高二上学期期中...

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015-2016高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含...(¬q)为假 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先...

...省沈阳市实验中学分校2016届高三上学期期中考试(文)...

【数学】辽宁省沈阳市实验中学分校2016届高三上学期期中考试(文)_数学_高中教育_教育专区。沈阳市实验中学分校 2016 届高三上学期期中考试 数学试卷(文)第 I 卷(...