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19.4一次函数(复习课件)

时间:2017-09-06


问题一:怎样选取上网收费方式
下表给出A,B,C三种上宽带网的收费方式.
收费方式 A B C 月使用费/元 30 50 120 包时上网时间/h 25 50 不限时 超时费/(元/min) 0.05 0.05

选择哪种方式能节省上网费?

问题一:怎样选取上网收费方式——分析问题
收费方式 A B C 月

使用费/元 30 50 120 包时上网时间/h 25 50 不限时 超时费/(元/min) 0.05 0.05

1.哪种方式上网费是会变化的?哪种不变? A、B会变化,C不变 2.在A、B两种方式中,上网费由哪些部分组成? 上网费=月使用费+超时费 3.影响超时费的变量是什么? 上网时间 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗? 没有一定最优惠的方式,与上网的时间有关

问题一:怎样选取上网收费方式——分析问题
收费方式 A B 月使用费/元 30 50 包时上网时间/h 25 50 超时费/(元/min) 0.05 0.05

设月上网时间为x,则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数, 要比较它们,需在 x > 0 时,考虑何时 (1) y1 = y2; ( 2 ) y 1 < y 2; (3) y1 > y2.

问题一:怎样选取上网收费方式——分析问题
收费方式 A 月使用费/元 30 包时上网时间/h 25 超时费/(元/min) 0.05

上网费=月使用费+超时费
在方式A中,超时费一定会产生吗?什么情况下才会有超时费? 超时费不是一定有的,只有在上网时间超过25h时才会产生.
当0≤x≤25时,y1=30;

30, (0 ? x ? 25) ? 合起来可写为: y1 ? ? ?3x ? 45. ( x>25)

当x>25时,y1=30+0.05×60(x-25)=3x-45.

问题一:怎样选取上网收费方式——分析问题
收费方式 A B C 月使用费/元 30 50 120 包时上网时间/h 25 50 不限时 超时费/(元/min) 0.05 0.05

你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关 系式吗?

(0 ? x ? 50) ?50, y2 ? ? ?3x ? 100. ( x>50)
当x≥0时,y3=120.

方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢? 你能在同一直角坐标系中画出它们的图象吗?

问题一:怎样选取上网收费方式——解决问题

当上网时间__________时, 选择方式A最省钱.

当上网时间__________时, 选择方式B最省钱.

当上网时间_________时, 选择方式C最省钱.

问题二:怎样租车
某学校计划在总费用2300元的限额内,租用汽车送234名学 生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少有1名教师. 现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示:
甲种客车
载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400

乙种客车
30 280

(1)共需租多少辆汽车 (2)给出最节省费用的租车方案.

问题二:怎样租车——分析问题
某学校计划在总费用2300元的限额内,租用汽车送234名学 生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少有1名教师. 现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示 :
甲种客车
载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400

乙种客车
30 280

问题1:租车的方案有哪几种? 共三种:(1)单独租甲种车;(2)单独租乙种车; (3)甲种车和乙种车都租.

问题二:怎样租车——分析问题
甲种客车 载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400 乙种客车 30 280

问题2:如果单独租甲种车需要多少辆?乙种车呢?
单独租甲种车要6辆,单独租乙种车要8辆.

问题3:如果甲、乙都租,你能确定合租车辆的范围吗?
汽车总数不能小于6辆,不能超过8辆.

问题二:怎样租车——分析问题
甲种客车 载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400 乙种客车 30 280

问题4:要使6名教师至少在每辆车上有一名,你能确定 排除哪种方案?你能确定租车的辆数吗? 说明了车辆总数不会超过6辆,可以排除方案2——单独租乙种 车;所以租车的辆数只能为6辆. 问题5:在问题3中,合租甲、乙两种车的时候,又有 很多种情况,面对这样的问题,我们怎样处理呢? 方法1:分类讨论——分5种情况; 方法2:设租甲种车x辆,确定x的范围.

问题二:怎样租车——分析问题
甲种客车 x 辆 载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400 乙种客车 (6-x)辆 30 280

(1)为使240名师生有车坐, 可以确定x的一个范围吗?

(2)为使租车费用不超过2300元 又可以确定x的范围吗?

结合问题的实际意义,你能有几种不同的租车方案?为节 省费用应选择其中的哪种方案?

问题二:怎样租车——分析问题
甲种客车 x 辆 载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400 乙种客车 (6-x)辆 30 280

设租用 x 辆甲种客车,则租车费用y(单位: 元)是 x 的函数,即

怎样确定 x 的 取值范围呢?

问题二:怎样租车——解决问题
甲种客车 x 辆 载客量(单位:人/辆) 租金 (单位:元/辆) 45 400 乙种客车 (6-x)辆 30 280

由函数可知 y 随 x 增大而增大,所以 x = 4时 y 最小.

除了分别计算两种方 案的租金外,还有其 他选择方案的方法吗?

变式练习
1.某单位需要用车,准备和一个体车主或一国有出租公司其中 的一家签订合同. 设汽车每月行驶 x km,应付给个体车主的月 租费是y1元,付给出租公司的月租费是y2 元,y1,y2 分别与x之 间的函数关系图象是如图所示的两条直线,观察图象,回答下 列问题: (1)每月行驶的路程在什么范围内,租国 y2 有出租公司的出租车合算? y(元) 当0<x<1500时,租国有的合算. (2)每月行驶的路程等于多少时,租两 2000 y1 家车的费用相同? 当x=1500时,租两家的费用一样.
1000
1000 2000 1500 2500 x(km)

0

500

(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300km,那么这个单位租哪家的车合算? 租个体车主的车合算.

变式练习
2.某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游.甲旅 行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优 惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按全票价的6折(即 按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元. (1)设学生数为 x,甲旅行社收费为 y甲,乙旅行社收费为 y乙, 分别计算两家旅行社的收费(建立表达式); (2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样? 当x = 4时,两家旅行社的收费一样. (3)就学生数讨论哪家旅行社更优惠.

当x < 4时,甲旅行社优惠;当x > 4时,乙旅行社优惠.

作业布置
1.下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润.某 汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每 辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只装一种蔬菜).
甲 乙 丙

每辆汽车能装的吨数
每吨蔬菜可获利润(元)

2
500

1
700

1.5
400

(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售,问 装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆? (2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到 B地销售(每种蔬菜不少于一车),如何安排装运,可使公 司获得最大利润?最大利润是多少? 2.请你们结合日常生活中购物或通电话的实际问题,利 用所学数学知识进行分析,选择最佳方案,并写出有关 活动的报告.

一次函数及应用

要把储水量为2000立方米的水池中的水抽干,现用每小时抽水50立方 米的抽水机抽水,写出水池中剩余水量y与抽水时间t(时)之间的函数关系 式,并求自变量t的取值范围. 分析:t小时抽水50t立方米,从储水量中减去50t,得剩余水量. 解:y=2000-50t. 从实际问题的意义知,y≥0,即2000-50t≥0, 解得t≤40;又t≥0,

综上,得自变量t的取值范围是0≤t≤40.

如果y=kx+b(k、b)是常数,k≠0), 那么y叫做x的一次函数.

特别地,当b=0时,得y=kx(k是常数, k≠0),y叫做x的正比例函数.

练习:列出下列函数关系式,判别其中哪些为一次函数、正比 例函数. (1)正方形周长p和一边的长a. (2)圆的面积S与半径R. (3)长S一定时矩形面积y与宽x. (4)买15斤梨售价20元.售价y与斤数x. (5)定期存100元本金,月利率1.8%,本息y与所存月数x. (6)水库原存水Q立方米,现以每小时a立方米的流量开闸放水 同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水,求这时水库 的蓄水量M与时间t的函数关系.

(1)p=4a.则p为a的一次函数,也是正比例函数. (2)S=πR2,自变量R的次数是二次,所以不是一次函数,也不是正比例 函数. (3)y=ax,自变量x为一次且系数a为长度(不为零).则y是x的一次函数, 也是x的正比例函数. (4)是一次函数,也是正比例函数. (5)y=100+100×1.8%x,自变量x的次数为一次,又含有常数项.则y是x 的一次函数但不是正比例函数. (6)M=Q+(b-a)t,因为自变量t的次数为一次,

当a≠b时,M是t的一次函数.
若Q=0时,M是t的正比例函数; 若a=b时,M是常量函数,不是t的一次函数.

已知y+p与x-q成正比例(其中p、q是 常数) (1)求证y是x的一次函数. (2)如果x=-1时,y=-15;x=7时,y=1, 求这个一次函数的解析式

证明: (1)∵y+p与x-q成正比例, 则y+p=k(x-q)(k为非零常数) 整理,得y=kx-(kq+p)

因为k、p、q均为常数,
所以-(kq+P)也是常数,且k≠0 因此y是x的一次函数. (2)∵y是x的一次函数,设y=kx+b(k≠0). 将x=-1,y=-15;x=7,y=1代入,得

一次函数的解析式为y=2x-13.

一次函数的图象

画出正比例函数y=kx(k≠0)的图象的步骤:

⑴先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);
⑵在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k); ⑶过点(0,0)与点(1,k)画一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。

2、正比例函数的性质 观察下列两组图象,指出它们所在的象限,以 及x与y值的变化情况:

一般地,正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质: ⑴当k>0时,y随x的增大而增大 ⑵当k<0时,y随x的增大而减小

一次函数y=kx+b有下列性质

⑴当k>0时,y随x的增大而增大
⑵当k<0时,y随x的增大而减小 注意:一次函数y=kx+b图象,习惯上也称 为直线y=kx+b
y y=-2x+1 y=2x+1

?

1

-2

-1

?

?
-1

1

2 x

一次函数的图象和性质

函数

正比例函数 y=kx

一次函数 y=kx+b

图象

过(0,0), (1,k)两 点的直线

过(0,b), (- 两点的直线

,0)

性质

k>0 k<0

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

一次函数的图象
所有的一次函数的图象都是 一条直线。 图象是一条直线的函数一定 是一次函数吗?

1、一次函数y=-kx+k的图象大致是 [

C

]

2、正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如 图所示,请确定k、b的情况:

2、解:图(1)中k>0,b=0; 图(2)中k<0,b=0; 图(3)中k<0,b>0; 图(4)中k<0,b<0.

3、已知一次函数y=(a-2)x+1的图象不经过第三象限,化简

解:由题意知a-2<0即a<2,因而

=2-a+3-a=5-2a.

4、若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限 则一次函数y=bx-k的图象不经过第( D )象 限

(A)一;(B)二;(C)三;(D)四.

5、当k ? 0,函数 y ? k x+k的图象大致如图: ( D )
2
y y y y
O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

(2)一次函数y=kx+b中k与b的功能是决定直线y=kx+b中坐标平 面内的位置特征,结合图,列表说明如下:

反之,根据已知直线(与两条坐标轴都不平 行)在坐标平面内的位置,也能确定k与b的 取值范围.

1、已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).

(1)m取什么值时,y随x的增大而减小;
(2)m取什么值时,这条直线与y轴的交点在x轴下方;

(3)m取什么值时,这条直线不经过第三象限.

(3)条件即这条直线通过第一、二、四象限或第二, 四象限和原点,那么由

解得m≤-1.

2、已知y与x成正比例函数,其图象过第二、四 象限,且过(2m,

一般地,如果 y=kx+b(k,b 是常数, k≠0) 那么, y 叫做 x 的一次 函数. 对这个定义,要注意: (1)x是变量,k,b是常数; (2)k≠0 (当k=0时,式子变形成y=b的形式。b是x的0次式, y=b叫做常数函数.) 由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成 为:y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数.。 正比例函数是特殊的一次函数.

我们学过一次函数y=kx+b的图象 是一条直线,还学过一次函数的性质. 直线是最简单、最常见的几何图形, 也是线段、射线的概念的基础,而两点 确定一条直线、两点之间线段最短, 于是,与直线或线段有关的最大或 最小值问题,最多或最少等问题,必然 反映到现实生活、生产实践或商品经济 大潮中。

例1、如图,某航空公司托运行李的 费用与托运行李重量的关系为线型 函数,由图可知行李的重量只要不 超过______公斤,就可免费托运.

解:本题只给出了一次函数的图像,若能求得 一次函数的解析式,问题即可解决. 根据图像不难发现直线过以下三点: (30,330)、(40,630)、(50,930), 任选其中两点可求出 一次函数解析式为 y=30x-570. 于是,令y=0得一次 函数与x轴交点为 (19,0), 可知当x≤19时,行李就可免费托运.

例2、 如图所示,两村的坐标位置各为A(-3, 3)、B(5,1).x轴表示一条运河,两村拟在河 旁合建一座扬水站C,使C到两村所用的管道最 省,试确定点C的位置(坐标单位:千米).
解:作点B(5,1)关于x的对称点 B′(5,-1). 由两点A、B′之间线段最短,连结 AB′交x轴于点C,且CB′=CB. 设直线AB′为y=kx+b,则点A、 B′在这条直线上,于是


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