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文科数学收网题2012.5.25


命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 文科数学(必修+选修 I)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答

题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清 楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、设集合 M ? {1, 2,3} , N ? {2,3, 4} ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? {1, 4,5}

2、如图 1,直线 l 和圆 c,当 l 从 l 0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转 动角度不超过 90 )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数 的图象大致是
0

3、如果双曲线 A.

x2 y2 ? ? 1上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 4 2

4 6 2 6 B. C. 2 6 D. 2 3 3 3 4、我校高一有五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“街舞社”四个社团,若每个社团至少有

一名同学参加,每名同学必须参加且只能参加一个社团,若同学甲不参加“文学社”,则不同的参加方 法的种数为 A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? ?100,且 5S 7 ? 7S 5 ? 70 ,则 S101 ? A. 100 B. 50 C. -50
1

D.0

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

6、 若把函数 y ? 2 cos( x ? 最小值是 A.

?

) ? 1 的图象向右平移 a(a ? 0) 个单位长度, 使点 ( ,1) 为其对称中心, 则a的 3 3

?

? 2

B.

? 6

C.

? 3

D. ?

7、下列四个命题中:①若 a, b ? R, 则 正数,若

b a 4 ? ≥2;②函数 y ? sin 2 x ? 的最小值是 4;③设 x, y 都是 a b sin 2 x

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 12;④若 | x ? 2 |? ? , | y ? 2 |? ? , 则 | x ? y |? 2? ,则其中所有 x y
B.2 个 C.3 个 D.4 个

真命题的个数有 A.1 个 8、曲线 y ? A.

1 9

1 3 4 x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3 2 1 2 B. C. D. 9 3 3

9、已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为 4,若其中的一圆的半径为 4,则另一圆的半径为 A. 10 10、设 f ( x ) ? A. B. 11 C. 2 3 D. 13

13 8

2x ? 3 , y ? g ( x) 的图像与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图像关于 y ? x 对称, ,则 g (11) ? x ?1 14 3 13 B. C. D. 9 2 9

?x ? 2 y ? 5 ? 11、动点 P( x, y) 满足 ? x ? y ? 3 ,点 Q(1,?1) , O 为坐标原点, ? | OP |? OP ? OQ ,则 ? 的取值范围是 ? y ?1 ?
A. ? ?

? ?

10 5? ,? ? 5 5 ?

B. ?

? 5 10 ? , ? 5 5 ? ?

C. ??

? ?

10 5 ? , ? 5 5 ?

D. ? ?

? ?

5 10 ? , ? 5 5 ?

12、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,设 an ? A. a2 ? a3 ? a1

f ( xn ) ? 2 ,若 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? x3 ,则 xn B. a1 ? a2 ? a3 C. a1 ? a3 ? a2

D. a3 ? a2 ? a1

2

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。 13、交警部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60 km/h 是否合理,对通过 频率 该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所得数据按 [40,50) , [50,60) ,

组距
0.035 0.030

a

[60,70) , [70,80] 分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车
中车速低于限速的汽车有 .

0.010 O 40 50 60 70 80

车速

14、 ( x ?

2 n ) 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 x2

.

15、已知点 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点, F 为抛物线的焦点, A 在圆 C : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上, 则 | MA | ? | MF | 的最小值为 .

16、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60° 的菱形,则该棱柱的 体积等于 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本大题满分 10 分)已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 18、(本大题满分 12 分)已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? 4, A ? (I)设 f ( x) ? sin 2 2 x ? 2 sin 2 x ,若 f ( B) ? ?1 ,求 tan C 的值; (II)若 sin A ? sin(B ? C ) ? 2 sin 2C ,求 ?ABC 的面积.

?
3

.

19、 (本大题满分 12 分)某超市在国庆期间举行有奖促销活动,顾客只要在超市购物满 400 元就得到 一次摸奖机会.规则是:在盒子内有 6 个大小和形状相同的球,其中两个球标号是 0,三个球标号是 20,还 有一个球标号是 40.顾客依次从盒子里摸球,每次摸一个球(不放回) ,若累计摸到两个标号为 0 的球就停 止摸球,否则将盒子内球摸完为止.奖金数为摸出球的标号之和(单位:元) ,现在某顾客得到一次摸奖机 会. (Ⅰ)求该顾客前三次所摸的球号依次成等差数列的概率; (Ⅱ)求该顾客所得的奖金数分别为 60 元和 80 元的概率.

3

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

20 、 (本大题满分 12 分)如图:三棱柱 ABC ? A' B ' C ' 中, CC ' ? BC' ?

2,BC ? 2 , AB ? AC ,

平面ABC ? 平面BCC' B' , E , F 分别是棱 AB 、CC ' 的中点.
(Ⅰ)求证: EF // 平面A' BC' ;

(Ⅱ)若 AC ≤ 2 ,且 EF 与平面 ACC ' A' 所成的角的余弦为

A E B

7 ,求二面角 C ? AA'? B 的大小. 3
A'

B'

C

F

C'

21、 (本大题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1的导数 f '( x) 满足

f '(1) ? 2a ? 6, f '(2) ? ?b ? 18 ,其中常数 a, b ? R. .
(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? k 有三个不相等的实根,且函数 g ( x) ? x2 ? 2kx ? 1 在 [?1,2] 上的最小值为 ? 23 , 求实数 k 的值.

22、 (本大题满分 12 分)已知 m>1,直线 ?:x ? m y ? 椭圆 C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 ? 过右焦点 F2 时,求直线 ? 的方程;

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C: 2 ? y 2 ? 1 , F1 、 F2 分别为 2 m

(Ⅱ)设直线 ? 与椭圆 C 交于 A、B 两点, ?AF 1 F2 、 ?BF 1 F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

4

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 文科数学(必修+选修 I)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清 楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、设集合 M ? {1, 2,3} , N ? {2,3, 4} ,则 C A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? {1, 4,5}

2、如图 1,直线 l 和圆 c,当 l 从 l 0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转 动角度不超过 90 )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数 D 的图象大致是
0

3、如果双曲线 A.

x2 y2 ? ? 1上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 A 4 2

4 6 2 6 B. C. 2 6 D. 2 3 3 3 4、我校高一有五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“街舞社”四个社团,若每个社团至少有

一名同学参加,每名同学必须参加且只能参加一个社团,若同学甲不参加“文学社”,则不同的参加方 法的种数为 C A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? ?100,且 5S 7 ? 7S 5 ? 70 ,则 S101 ? D A. 100 B. 50 C. -50
5

D.0

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

6、 若把函数 y ? 2 cos( x ? 最小值是 A. B

?

) ? 1 的图象向右平移 a(a ? 0) 个单位长度, 使点 ( ,1) 为其对称中心, 则a的 3 3

?

? 2

B.

? 6

C.

? 3

D. ?

7、下列四个命题中:①若 a, b ? R, 则 是正数,若

b a 4 ? ≥2;②函数 y ? sin 2 x ? 的最小值是 4;③设 x, y 都 a b sin 2 x

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 12;④若 | x ? 2 |? ? , | y ? 2 |? ? , 则 | x ? y |? 2? ,则其中 x y
C.3 个 D.4 个 A

所有真命题的个数有 A A.1 个 B.2 个 8、曲线 y ? A.

1 9

1 3 4 x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3 2 1 2 B. C. D. 9 3 3

9、已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为 4,若其中的一圆的半径为 4,则另一圆的半径为 A. 10 10、设 f ( x ) ? A. B. 11 D C. 2 3 D. 13

13 8

2x ? 3 , y ? g ( x) 的图像与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图像关于 y ? x 对称, ,则 g (11) ? C x ?1 14 3 13 B. C. D. 9 2 9

?x ? 2 y ? 5 ? 11、动点 P( x, y) 满足 ? x ? y ? 3 ,点 Q(1,?1) , O 为坐标原点, ? | OP |? OP ? OQ ,则 ? 的取值范围是 ? y ?1 ?
D A. ? ?

? ?

10 5? ,? ? 5 5 ?

B. ?

? 5 10 ? , ? 5 ? ? 5

C. ??

? ?

10 5 ? , ? 5 5 ?

D. ? ?

? ?

5 10 ? , ? 5 5 ?
A D. a3 ? a2 ? a1

12、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,设 an ? A. a2 ? a3 ? a1

f ( xn ) ? 2 ,若 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? x3 ,则 xn B. a1 ? a2 ? a3 C. a1 ? a3 ? a2

6

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。 13、交警部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60 km/h 是否合理,对通过 频率 该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所得数据按 [40,50) , [50,60) ,

组距
0.035 0.030

a

[60,70) , [70,80] 分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车
中车速低于限速的汽车有 .180

0.010 O 40 50 60 70 80

车速

14、 ( x ?

2 n ) 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 x2

.180

15、已知点 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点, F 为抛物线的焦点, A 在圆 C : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上, 则 | MA | ? | MF | 的最小值为 .4

16、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60° 的菱形,则该棱柱的 体积等于 . 2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本大题满分 10 分)已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d , 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ? , , 解得 a1 ? ?10, d ? 2

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

.

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 ……………………5 分 . (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q , 因为 b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24, b1 ? ?8, 所以 ?8q ? ?24 , 即 q =3, 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q .
7

……………………10 分

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

18、 (本大题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边长分别是 a 、b 、c , 且 a ? 4, A ? (I)设 f ( x) ? sin 2 2 x ? 2 sin 2 x ,若 f ( B) ? ?1 ,求 tan C 的值; (II)若 sin A ? sin(B ? C ) ? 2 sin 2C ,求 ?ABC 的面积. 解: (I)由题意, sin 2 B ? 2 sin 2 B ? ?1,? sin 2 B ? 1,? B ?
2

?
3

.

?
4

,………………………………………3 分

? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? tan(

?
3

?

?
4

) ? 2 ? 3. ………………………………………6 分

(II) sin A ? sin(B ? C ) ? sin(B ? C ) ? sin(B ? C ) ? 2 sin B cosC ? 4 sin C cosC …………………………8 分

? cos C ? 0 , sin B ? 2 sin C ? b ? 2c ………………………………………10 分

? a ? 4, A ?

?
3

,? b 2 ? c 2 ? bc ? 16,

?b ?

8 3 4 3 ,c ? 3 3

1 8 3 ………………………………………12 分 ? S ?ABC ? bcsin A ? 2 3
19、 (本大题满分 12 分)某超市在国庆期间举行有奖促销活动,顾客只要在超市购物满 400 元就得到 一次摸奖机会.规则是:在盒子内有 6 个大小和形状相同的球,其中两个球标号是 0,三个球标号是 20,还 有一个球标号是 40.顾客依次从盒子里摸球,每次摸一个球(不放回) ,若累计摸到两个标号为 0 的球就停 止摸球,否则将盒子内球摸完为止.奖金数为摸出球的标号之和(单位:元) ,现在某顾客得到一次摸奖机 会. (Ⅰ)求该顾客前三次所摸的球号依次成等差数列的概率; (Ⅱ)求该顾客所得的奖金数分别为 60 元和 80 元的概率. 解: (Ⅰ)顾客前三次所摸的球号依次成等差数列情况有:0,20,40;20,20,20;40,20,0.

?P ?
(Ⅱ)

1 1 3 1 1 A2 ? A3 ?1 A3 1? A3 ? A2 3 ? ? ? . 3 3 3 20 A6 A6 A6

………………………6 分

P(? ? 60) ?

1 1 3 1 4 A2 A3 1 A2 A4 C3 ? ? ; 5 4 6 A6 A6

P(? ? 80) ?

1 4 C32 A2 A4 1 ? ; 5 5 A6

………………………12 分

20 、 (本大题满分 12 分)如图:三棱柱 ABC ? A' B ' C ' 中, CC ' ? BC' ?

2,BC ? 2 , AB ? AC ,

平面ABC ? 平面BCC' B' , E , F 分别是棱 AB 、CC ' 的中点.
(Ⅰ)求证: EF // 平面A' BC' ;
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命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

(Ⅱ)若 AC ≤ 2 ,且 EF 与平面 ACC ' A' 所成的角的余弦为

A E B

7 ,求二面角 C ? AA'? B 的大小. 3
A'

B'

C

? EM // (Ⅰ)证法一:取 A?B中点 M,连接 EM 、C ?M,又 ? E为AB 中点, ? FC ?// ? AA?//BB?//CC ? , F为CC ?中点,

F

C'

1 AA? 2

? EF // C ?M ,………………………………………………………2 分
又 EF ? 平面A?BC ?, C ?M ? 平面A?BC ? ,? EF // 平面A?BC ? …………………………………………………4 分

1 AA?, ? FC ?//EM ? EM C ?F为平行四边形 2
A E B A'

M
B'

C

F

C'

证法二:

? CC ? ? BC ? ? 2 , BC ? 2, ? ?CC ?B是BC为斜边的等腰直角三角 形
A

z
A' E B

取BC中点O, 连接AO、C ?O 有AO ? BC, C ?O ? BC
? 面 ABC ? 面 BCC ' B ' ,且面 ABC ? 面 BCC ' B' ? BC ? AO ? 面 BCC ' B ' , C ?O ? 面 ABC
如图建立空间直角坐标系 O ? xyz

O
C F C'

B'

x

y

? C(1,0,0),C ?(0,10), A(0,0, b), B(?1,0,0) (b ? 0)

1 b 1 1 ? E (? ,0, ), F ( , ,0), 2 2 2 2

1 b ? EF ? (1, ,? ) 2 2
设平面 A?BC ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) 又 BC? ? (1,1,0) , A?C? ? AC ? (1,0,?b)

9

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

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?x? y ?0 ? n 的一组解为 n ? (b,?b,1) ?? ? x ? bz ? 0
? n ? EF ? b ? b b ? ?0 2 2

? n ? EF
又 EF ? 平面A?BC ?

? EF // 平面A?BC ? …………………………………………………………4 分
(Ⅱ)解:利用(Ⅰ)中证法二的坐标系,设平面 AC C ?A? 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) 又 CC ? ? (?1,1,0) , AC ? (1,0,?b)

?? x ? y ? 0 ? n1 的一组解为 n1 ? (b, b,1) ………………………………5 分 ?? ? x ? bz ? 0
1 b 又 EF ? (1, ,? ) 2 2
? n ? EF n EF ? b 2b 2 ? 1 5 b ? 4 4
2

?

2 ……………………………………………6 分 3

解得 b ? 1 , b ?

10 2

? AC ? 2 ? b ? 1 …………………………………………………8 分
同理可求平面 AA?B 的一个法向量 n 2 ? (1,1,?1)

? cos ? n1 ? n2 ??

1 …………………………………11 分 3 1 所以所求二面角的大小为 arccos 。………………………………………………12 分 3
3 2 21、 (本大题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1的导数 f '( x) 满足

f '(1) ? 2a ? 6, f '(2) ? ?b ? 18 ,其中常数 a, b ? R.
(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的单调性;
2 (Ⅱ)若方程 f ( x) ? k 有三个不相等的实根,且函数 g ( x) ? x ? 2kx ? 1 在 [?1,2] 上的最小值为 ? 23 ,

求实数 k 的值。
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解:(I) f ' ( x ) ? 3x2 ? 2ax ? b ,

? f ' ( x ) ? 3 ? 2a ? b ? 2a ? 6 ?a ? ?3 ,解得 ? ,………………………………3 分 ? ? f ' ( x ) ? 12 ? 4a ? b ? ?b ? 18 ?b ? ?9
? f ( x ) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? 1,
令 f ' ( x ) ? 0 ? x ? ?1或x ? 3;

f ' ( x ) ? 3x 2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1 )( x ? 3 )
f ' ( x ) ? 0 ? ?1 ? x ? 3 ,

( ? 1, 3) 上减. ………………………………6 分 ? f ( x ) 在 ( ??,?1 ), ( 3,?? ) 上增,在
(II)由(Ⅰ)知, f 极大 ( x ) ? f ( 1 ) ? 6;

f 极小 ( x ) ? f ( 3 ) ? ?26.

∴方程 f ( x) ? k 有三个不相等的实根时, ? 26 ? k ? 6. ………………………………8 分

? g( x ) ? ( x ? k )2 ? 1 ? k 2
∴①当 k ? 2 时, g min ( x ) ? g( 2 ) ? 4 ? 4k ? 1 ? ?23, ∴ k ? 7 ,与 ? 26 ? k ? 6. 矛盾; ②当 ? 1 ? k ? 2 时, g min ( x ) ? 1 ? k 2 ? ?23, 解得, k ? ?2 6 ,与 ? 1 ? k ? 2 矛盾; ③当 k ? ?1 时, g min ( x ) ? g( ?1 ) ? 1 ? 2k ? 1 ? ?23,解得 k ? ? 综上, k ? ?

25 ? ?26. 2

25 . 2

………………………………12 分

22、 (本大题满分 12 分)已知 m>1,直线 ?:x ? m y ? 椭圆 C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 ? 过右焦点 F2 时,求直线 ? 的方程;

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C: 2 ? y 2 ? 1 , F1 、 F2 分别为 2 m

(Ⅱ)设直线 ? 与椭圆 C 交于 A、B 两点, ?AF 1 F2 、 ?BF 1 F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为直线 l : x ? my ? 所以 m2 ?1 =

m2 ? 0 经过点 F2 ( m2 ?1 ,0) , 2

m2 2 ,得 m ? 2 . 2 又因为 m>1,所以 m ? 2 , 故直线的方程为 x ? 2 y ?1 ? 0 .
2

………………………4 分

? m x ? my ? ? m2 ? 2 2 2 y ? my ? ?1 ? 0 , (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 ,消去 x,得 4 x ? ? y2 ? 1 ? ? m2 m2 2 ? ? m ? 8( ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m 2 <8 , 则由 4
11

命题人: 卢瑞庚, 廖克杰, 王晋艳

南宁二中模拟考 文科数学 (2012-05-25)

m m2 1 , y1 y2 ? ? , ………………………6 分 2 8 2 ???? ??? ? ???? ???? x1 y1 x y , ), H ( 2 , 2 ) , 由题意知 O 为 F 1 F2 的中点.由 AG ? 2GO, BH ? 2HO, 可知 G ( 3 3 3 3 2 2 x ? x2 y1 ? y2 ( x ? x2 ) ( y1 ? y2 ) 2 , ? 从而 | GH | ? 1 ,设 M 是 GH 的中点,则 M( 1 ). 6 6 9 9 x ? x2 2 y ? y2 2 ( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ) ?( 1 ) ]< ? 由题意可知,2|MO|<|GH|, 所以 4[( 1 , 6 6 9 9 x1 x2 ? y1 y2 <0, y1 ? y2 ? ?
而 x1 x2 ? y1 y2 =( my1 ? 所以

m2 m2 m2 1 2 ? ), ) ( my2 ? ) ? y1 y2 = (m ? 1)( 2 8 2 2

m2 1 ? <0,即 m 2 ? 4. 8 2

又因为 m>1 且 ? >0,从而 1<m<2,故 m 的取值范围是(1,2). ………………………12 分

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文科数学收网题2012.5.25

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