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江苏省2012届高考数学二轮复习教学案:第1讲 集合与简单逻辑用语


专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用 第1讲 集合与简单逻辑用语

1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数关系式中自变量的 取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?? 2. 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦 恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思

想方法解 决. 3. 已知集合 A、B,当 A∩B=?时,你是否注意到“极端”情况:A=?或 B=?? 求集合的子集时是否忘记??分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化. 4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2. 5. ?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

1. A、 是非空集合, B 定义 A×B={x|x∈A∪B, x? A 且 ∩B}, A={x∈R|y= x2-3x}, 若 x B={y|y=3 ,x∈R},则 A×B=______________.

2. 已知命题 P: n∈N,2n>1 000,则

P 为________.

3. 条件 p:a∈M={x|x2-x<0},条件 q:a∈N={x||x|<2},p 是 q 的______________条 件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4. 若命题“? x ∈R,x2+(a-1)x+1>0”是假命题,则实数 a 的取值范围为________.

【例 1】 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B? A , 求实数 p 的取值范围.

【例 2】 设 A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y

=kx+b},是否存在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C=??若存在,求出 k,b 的值;若不存在, 请说明理由.

【例 3】 (2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果? a ,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的, T, 是 Z 的两个不相交的非空子集, 若 V T∪V=Z 且? a b, , c∈T, 有 abc∈T,? x ,y,z∈V,有 xyz∈V. 则下列结论恒成立的是________. A. T,V 中至少有一个关于乘法封闭 B. T,V 中至多有一个关于乘法封闭 C. T,V 中有且只有一个关于乘法封闭 D. T,V 中每一个关于乘法封闭

【例 4】 已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2. (1) 当 b>0 时,若? x ∈R,都有 f(x)≤1,证明:0<a≤2 b; (2) 当 b>1 时,证明:? x ∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b.

1. (2011· 江苏)已知集合 A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则 A∩B=________.

2.(2011· 天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是________.

3.(2009· 江苏)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B ,则实数 a 的取值范 围是(c,+∞),其中 c=________.

4.(2009· 陕西)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参 加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理 小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有________ 人.

5.(2011· 陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有正整数根的充要条件是 n= ________.

6.(2011· 福建)在整数集 Z 中, 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 被 记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1]; ②-3∈[3];

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是________个.

(2011· 全国)(本小题满分 14 分)设 a∈R, 二次函数 f(x)=ax2-2x-2a.若 f(x)>0 的解集为 A,B={x|1<x<3},A∩B≠?,求实数 a 的取值范围. 1 解:由 f(x)为二次函数知 a≠0,令 f(x)=0 解得其两根为 x1= - a 1 2+ 2, a 由此可知 x1<0,x2>0,(3 分) ① 当 a>0 时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2},(5 分) 1 A∩B≠?的充要条件是 x2<3,即 + a ② 当 a<0 时, A={x|x1<x<x2},(10 分) 1 A∩B≠?的充要条件是 x2>1,即 + a 1 2+ 2>1,解得 a<-2,(13 分) a 1 6 2+ 2<3,解得 a> ,(9 分) a 7 1 1 2+ 2,x2= + a a

6 综上,使 A∩B≠?成立的实数 a 的取值范围为(-∞,-2)∪?7,+∞?.(14 分) ? ?

一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用 第 1 讲 集合与简单逻辑用语

1. (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数为________. A. 57 B. 56 C. 49 D. 8 6 【答案】 B 解析:集合 A 的所有子集共有 2 =64 个,其中不含 4,5,6,7 的子集有 23 =8 个,所以集合 S 共有 56 个.故选 B. m 2. (2011· 江苏)设集合 A={(x,y)| ≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R}, B={(x,y)|2m≤x+ 2 y≤2m+1,x,y∈R}, 若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________. 1 【答案】 ?2,2+ 2? ? ? m 1 解析:由 A∩B≠?得,A≠?,所以 m2≥ ,m≥ 或 m≤0. 2 2

|2-2m| |2-2m-1| 2 当 m≤0 时, = 2- 2m>-m,且 = - 2m>-m,又 2+0=2>2m 2 2 2 |2-2m| 1 +1, 所以集合 A 表示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分; m≥ 时, 当 只要 ≤m 2 2 |2-2m-1| 2 2 或 ≤m,解得 2- 2≤m≤2+ 2或 1- ≤m≤1+ ,所以实数 m 的取值范围 2 2 2

1 是?2,2+ 2?. ? ? 点评:解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必要的图形,得出求解实数 m 的取值范围的相关条件. 基础训练 1. (-∞,3) 解析:A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=(-∞,+∞), A∩B=[3,+∞). 2. ? n ∈N,2n≤1 000 3. 充分不必要 解析:M=(0,1)? N =(-2,2). 2 4. a≥3 或 a≤-1 解析:Δ=(a-1) -4≥0,a≥3 或 a≤-1. 例题选讲 例 1 解:由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5. ∴ A=[-2,5]. ① 当 B≠?时,即 p+1≤2p-1? p ≥2.由 B? A 得-2≤p+1 且 2p-1≤5.得- 3≤p≤3.∴ 2≤p≤3. ② 当 B=?时,即 p+1>2p-1? p <2.B? A成立.综上得 p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B=?,A∪B=A,A∪B=B 或 A? B等集合 问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题. 变式训练 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M? [1,4] ,求实数 a 的取值 范围. 解: M? [1,4] n 种情况:其一是 M=?,此时 Δ<0;其二是 M≠?,此时 Δ≥0, 有 分三种情况计算 a 的取值范围. 设 f(x)=x2-2ax+a+2,有 Δ=(-2a)2-(4a+8)=4(a2-a-2), ① 当 Δ<0 时,-1<a<2,M=? ? [1,4] 成立; ② 当 Δ=0 时, a=-1 或 2, a=-1 时, 当 M={-1}? [1,4] 当 a=2 时, , M={2}? [1,4] ; ③ 当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2.设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,且 x1<x2,那么 M=
?f?1?≥0且f?4?≥0, ? [x1,x2],M? [1,4]? 1 x1<x2≤4?? ≤ ? ?1≤a≤4且Δ>0.

?-a+3≥0, ?18-7a≥0, 即? 1≤a≤4, ?a<-1或a>2, ?
? 2 ?y =x+1, 由 ? ? ?y=kx+b

18 18 解得:2<a≤ ,综上实数 a 的取值范围是?-1, 7 ?. ? ? 7

例 2 解: ∵ (A∪B)∩C=?,∵A∩C=?且 B∩C=?, 得 k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0,

∵ A∩C=?,∴ k≠0,Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0, ∴ 4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即 b2>1,①
?4x2+2x-2y+5=0, ? ∵ ? ? ?y=kx+b,

∴ 4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0, ∵ B∩C=?,∴ Δ2=4(1-k)2-16(5-2b)<0,

∴ k2-2k+8b-19<0, 从而 8b<20,即 b<2.5, ② 由①②及 b∈N,得 b=2,代入由 Δ1<0 和 Δ2<0 组成的不等式组,得
? 2 ?4k -8k+1<0, ? 2 ?k -2k-3<0, ?

∴ k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?. 点评:把集合所表示的意义读懂,分辨出所考查的知识点,进而解决问题. 变式训练 已知集合 A=??x,y??
? ? ? ? ? ?1-y=3 ?,B={(x,y)|y=kx+3},若 A∩B=?, ? ?x+1 ? ?

求实数 k 的取值范围. 解: 集合 A 表示直线 y=-3x-2 上除去点(-1,1)外所有点的集合,集合 B 表示直线 y=kx+3 上所有点的集合,A∩B=?,所以两直线平行或直线 y=kx+3 过点(-1,1),所 以 k=2 或 k=-3. 例 3 【答案】 A 解析:由于 T∪V=Z,故整数 1 一定在 T,V 两个集合中的一个 中,不妨设 1∈T,则? a ,b∈T, 由于 a,b,1∈T,则 a· 1∈T,即 ab∈T,从而 T 对乘法封闭; b· 另一方面,当 T={非负整数},V={负整数}时,T 关于乘法封闭,V 关于乘法不封闭, 故 D 不对; 当 T={奇数},V={偶数}时,T,V 显然关于乘法都是封闭的,故 B,C 不对. 从而本题就选 A. 例 4 证明:(1) ax-bx2≤1 对 x∈R 恒成立,又 b>0, ∴ a2-4b≤0,∴ 0<a≤2 b. (2) 必要性,∵ ? x ∈[0,1],|f(x)|≤1 恒成立,∴ bx2-ax≤1 且 bx2-ax≥-1, 显然 x=0 时成立, 1 1 1 对 x∈(0,1]时 a≥bx- 且 a≤bx+ ,函数 f(x)=bx- 在 x∈(0,1]上单调增,f(x)最大值 x x x f(1)=b-1. 1 1 1 1 函数 g(x)=bx+ 在?0, ?上单调减, ? ,1?上单调增, 在 函数 g(x)的最小值为 g? ? x ? b? b ? ? ? b? =2 b,∴ b-1≤a≤2 b,故必要性成立; a a2 a a 1 1 充分性:f(x)=ax-bx2=-b(x- )2+ , = × ≤1× ≤1, 2b 4b 2b 2 b b b f(x)max= a2 ≤1,又 f(x)是开口向下的抛物线,f(0)=0,f(1)=a-b, 4b

f(x)的最小值从 f(0)=0,f(1)=a-b 中取最小的,又 a-b≥-1, ∴ -1≤f(x)≤1,故充分性成立; 综上命题得证. 变式训练 命题甲:方程 x2+mx+1=0 有两个相异负根;命题乙:方程 4x2+4(m-2)x +1=0 无实根,这两个命题有且只有一个成立,求实数 m 的取值范围.
?Δ1=m2-4>0, ? 解: 使命题甲成立的条件是: ? ?m >2. ? ?x1+x2=-m<0

∴ 集合 A={m|m>2}. 使命题乙成立的条件是:Δ2=16(m-2)2-16<0,∴ 1<m<3. ∴ 集合 B={m|1<m<3}.

若命题甲、乙有且只有一个成立,则有: ① m∈A∩ B,② m∈ A∩B.

若为①,则有:A∩ 若为②,则有:B∩

B={m|m>2}∩{m|m≤1 或 m≥3}={m|m≥3}; A={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};

综合①、②可知所求 m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}. 点评:明确命题为真时的充要条件,再分类确定. 高考回顾 1. {-1,2} 2. 若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 3. 4 解析:A=(0,4],A? B,∴ a>4, ∴ c=4. 4. 8 解析:画韦恩图.设同时参加数学和化学小组的有 x 人,则 20-x+11+x+4+9 -x=36,x=8. 5. 3 或 4 解析: f(x)=x2-4x+n, 令 n∈N*, f(0)=n>0, ∴ f(2)≤0 即 n≤4, n=1,2,3,4, 故 经检验,n=3,4 适合,或直接解出方程的根,x=2± 4-n,n∈N*,只有 n=3,4 适合. 6. 3 解析:正确的是①③④,在②中-3∈[2]才对.


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