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2017优化方案高考总复习·数学·文(北师大版)选修4

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1.求不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集. ?x≤-3, ? 解:原不等式等价于? ?-x-3+x-2≥3 ? ? ? ?-3<x<2, ?x≥2, 或? 或? ?x+3+x-2≥3 ? ?x+3-x+2≥3, ? 解得 1≤x<2 或 x≥2,故原不等式的解集为{x|x≥1}. 2.(2016· 忻州联考)已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1

)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解:(1)不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1,解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,m+n= 3. (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1. 即|x|<|a|+1. 3.(2015· 高考重庆卷改编)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,求实数 a 的值. 解:由于 f(x)=|x+1|+2|x-a|, 当 a>-1 时, ?-3x+2a-1,x<-1, f(x)=?-x+2a+1,-1≤x≤a, ? ? ?3x-2a+1,x>a. 作出 f(x)的大致图像如图所示, 由函数 f(x)的图像可知 f(a)=5, 即 a+1=5,所以 a=4. 同理,当 a≤-1 时,-a-1=5,所以 a=-6. 所以实数 a 的值为 4 或-6. 4.(2016· 九江第一次统考)已知函数 f(x)=|x-3|-|x-a|. 1 (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≤- ; 2 (2)若存在实数 x,使得不等式 f(x)≥a 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)因为 a=2,所以 f(x)=|x-3|-|x-2| 1,x≤2, ? ?x≤2, ? ?2<x<3, ?x≥3, ? ? ? 1 =?5-2x,2<x<3,所以 f(x)≤- 等价于? 1或? 1或? 1 2 1≤- ?5-2x≤- ?-1≤- , ? ? 2 2 2 ? ? ? ?-1,x≥3, 11 解得 ≤x<3 或 x≥3, 4 11? ? x≥ ?. 所以不等式的解集为?x? 4? ? ? (2)由不等式的性质可知 f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|, 3 所以若存在实数 x,使得不等式 f(x)≥a 成立,则|a-3|≥a,解得 a≤ , 2 3 ? 所以实数 a 的取值范围是? ?-∞,2?. 5.(2015· 高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0, 2 解得 <x<1; 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0, 解得 1≤x<2. ? 2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x|3<x<2?. ? ? ?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得 f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ? ? ?-x+1+2a,x>a. 所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? 2 a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2. 3 2 由题设得 (a+1)2>6,故 a>2. 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 6.(2016· 河南省八校联考)

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