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【优化指导】高中数学 3-2-2课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第三章

3.2

π? 2? 1.函数 y=2cos ?x- ?-1 是( 4? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π? ? 解析:y=cos?2x- ?=sin 2x. 2? ? 答案:A

)

2.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相 邻交点的距离等于 π ,则 f(x)的单调递增区间是( π 5π A.[kπ - ,kπ + ],k∈Z 12 12 5π 11π B.[kπ + ,kπ + ],k∈Z 12 12 π π C.[kπ - ,kπ + ],k∈Z 3 6 π 2π D.[kπ + ,kπ + ],k∈Z 6 3 π? ? 解析:f(x)=2sin?ω x+ ?,由已知得周期 T=π , 6? ? π? ? ∴ω =2,即 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? 由 2kπ - 答案:C π 2 3.设函数 f(x)=2cos x+ 3sin 2x+a(a 为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4, 2 那么 a 的值等于( A.4 C.-4 解析:f(x)=2cos x+ 3sin 2x+a
-12

)

π π π π π ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)得 kπ - ≤x≤kπ + ,(k∈Z). 2 6 2 3 6

) B.-6 D.-3

=1+cos 2x+ 3sin 2x+a π? ? =2sin?2x+ ?+a+1. 6? ? π ?π 7π ? ? π? 当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 2? 6 ? 6 ?6 ?

? 1? ∴f(x)min=2×?- ?+ a+1=-4. ? 2?
∴a=-4. 答案:C π? ? 2 4.函数 f(x)=sin?2x- ?-2 2sin x 的最小正周期是________. 4? ? π? ? 2 解析:f(x)=sin?2x- ?-2 2s in x 4? ? = = 2 2 1-cos 2x sin 2x- cos 2x-2 2× 2 2 2 2 2 sin 2x+ cos 2x- 2 2 2

π? ? =sin?2x+ ?- 2. 4? ? 2π 故该函数的最小正周期为 =π . 2 答案:π

? π π? 5.函数 y=- 3sin x+cos x 在?- , ?上的值域是________. ? 6 6?
解析:y=- 3sin x+cos x=2sin? π π π π 又∵- ≤x≤ ,∴0≤ -x≤ . 6 6 6 3 ∴0≤y≤ 3. 答案:[0, 3][

?π -x?. ? ?6 ?

?π π ? 2 6.求函数 f(x)=sin x+ 3sin xcos x 在区间? , ?上的最大值. ?4 2?
1-cos 2x 3 2 解:f(x)=sin x+ 3sin xcos x= + sin 2x 2 2 π? 1 ? =sin?2x- ?+ . 6? 2 ? ∵ π π π π 5 ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ π . 4 2 3 6 6
-2-

π? π π π ? 当 sin?2x- ?=1,即 2x- = ,此时 x= , 6? 6 2 3 ?

f(x) max=1+ = .

1 3 2 2

(时间:30 分钟 满分: 60 分) 知识点及角度 辅助角公式的应用 三角函数的实际应用 三角恒等变换的应用 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最小值和最大值分别是( A.-3,1 3 C.-3, 2 解析:f(x)=-2sin x+2sin x+1 1?2 3 ? =-2?sin x- ? + , 2? 2 ? ∴当 sin x=-1 时,f(x)min=-3; 1 3 当 sin x= 时,f(x)max= . 2 2 答案:C 3 ?π ? ?π ? ? 3π ? 则 sin θ +cos θ 的值是( 2. 已知 cos? +θ ?·cos? -θ ?= , θ ∈? ,π ?, ?4 ? ?4 ? 4 ? 4 ? A. 6 2 2 2 B.- D. 2 2 6 2 )
2

难易度及题号 基础 6 中档 3、4、5 稍难 7、8 10 1 2 9

)

B.-2,2 3 D.-2, 2

C.-

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 解析:cos? +θ ?cos? -θ ?=sin? -θ ?·cos? -θ ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?
1 ?π 3 ? 1 = sin? -2θ ?= cos 2θ = . 2 ?2 4 ? 2 ∴cos 2θ = 3 ?3π ? ?3π ? .∵θ ∈? ,π ?,∴2 θ ∈? ,2π ?, 4 2 ? ? ? 2 ?

-3-

1 ∴sin 2θ =- 且 sin θ +cos θ <0, 2 1 1 2 ∴(sin θ +cos θ ) =1+sin 2θ =1- = . 2 2 ∴sin θ +cos θ =- 答案:C 2 ?2 π ? 3.已知函数 f(x)=sin x+cos? x- ?,对任意实数 α ,β , 当 f(α )-f(β )取最大 6? 3 ?3 值时,|α -β |的最小值是( A.3π C. 4π 3 ) B. D. 3π 2 2π 3 2 .∴选 C. 2

2 2 ?2 π ? ?2 π ? ?2 π ? 解析:f(x)=sin x+cos? x- ?=sin x+sin? x+ ?= 3sin? x+ ?,又当 f(α ) 6? 3? 6? 3 3 ?3 ?3 ?3 -f(β )取最大值时,|α -β |的最小值是函数 f(x)的最小正周期的一半,而函数的最小正周 2π 期 T= =3π ,从而选 B. 2 3 答案:B

? π ? 值域为[- 2 4. 已知函数 f(x)=2asin x-2 3asin xcos x+a+b(a<0)的定义域是?0, ?, 2? ?
5,1],则 a、b 的值分别为( A.a=2,b=-5 C.a=-2,b=1 ) B.a=-2,b=2 D. a=1,b=-2

解析:f(x)=-a(cos 2x+ 3sin 2x)+2a+b π? ? =-2asin?2x+ ?+2a+b. 6? ? π ?π 7π ? ? π? 又∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 2? 6 ? 6 ?6 ? π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1.-5≤f(x)≤1,a<0, 6? 2 ?
?3a+b=-5, ? ∴? ?-2a+2a+b=1, ?

,∴?

?a=-2, ? ?b=1. ?

答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

-4-

→ → 5.设 θ ∈[0,2π ],OP1=(cos θ ,sin θ ),OP2=(3-cos θ ,4-sin θ ).则 P1、P2 两点间距离的取值范围是______. → → → 解析:∵P1P2=OP2-OP1=(3-2cos θ ,4-2sin θ ), → 2 2 2 ∴|P1P2| =(3-2cos θ ) +(4-2sin θ ) =29-12cos θ -16sin θ =29-20cos(θ +α ), → ∴3≤|P1P2|≤7. → 答案:3≤|P1P2|≤7 6.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为________. 解析:f(x)=(1+ 3tan x)cos x=?1+ π =cos x+ 3sin x=2sin(x+ ), 6 2π ∴周期 T= =2π . 1 答案:2π 7.关于函数 f(x)=cos 2x- 3sin xcos x,下列命题: ①若存在 x1,x2 当 x1-x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立;

? ?

3sin x? ?cos x cos x ?

? π π? ②f(x)在区间?- , ?上单调递增; ? 6 3? ?π ? ③函数 f(x)的图象关于点? ,0?成中心对称图形; ?12 ?
5π ④将函数 f(x)的图象向左平移 个单位后将与 y=2sin 2x 的图象重合. 12 其中正确的命题序号为______.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 解析:∵f(x)=2sin?

?π -2x?=2sin?2x+5π ? ? ? 6 ? ?6 ? ? ?

? 5π ? =2sin 2?x+ ?, 12 ? ?
∴周期 T=π ,①正确. π 5 π ∵函数在- +2kπ ≤2x+ π ≤ +2kπ (k∈Z)时单调递增, 2 6 2 π ? 2π ? 解之为?- +kπ ,- +kπ ?(k∈Z),②错误. 6 ? 3 ? 5π kπ 5π ∵对称中心的横坐标 2x+ =kπ ? x= - , 6 2 12

-5-

当 k=1 时,得③正确.应该是向右平移,④不正确. 答案:①③ 三、解答题 8.(10 分)设函数 f(x )=a·b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x).若

? π π? f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x. ?
3 3?
2

解:(1)由题设 f(x)=2cos x+ 3sin 2x π? ? =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π? ? 若 f(x)=1- 3,则 2sin?2x+ ?=- 3, 6? ? π? 3 ? 即 sin?2x+ ?=- . 6? 2 ?

? π π? ∵x∈?- , ?, ? 3 3?
π ? π 5π ? ∴2x+ ∈?- , ?. 6 ? 6 ? 2 π π π 从而 2x+ =- ,解得 x=- . 6 3 4 2π ? 5π ? x x 2? 2? 9.(10 分)设 a>0 为常数,已知函数 f(x)=cos ?x- ?+sin ?x- ?+asin cos 的最 3 ? 6 ? 2 2 ? ? 大值为 3,求 a 的值. 4π ? 5π ? ? ? 1+cos?2x- ? 1-cos?2x- ? 3 ? 3 ? ? ? 解:f(x)= + + 2 2 4π 4π ? 1? sin x=1+ ?cos 2xcos +sin 2xsin ? 3 3 ? 2 2?

a

5π 5π ? a 1? - ?cos 2xcos +sin 2xsin ?+ sin x 3 3 ? 2 2? 1? 1 ? 1?1 ? a =1+ ?- cos 2x?- ? cos 2x?+ sin x 2? 2 ? 2?2 ? 2 1 a =1- cos 2x+ sin x 2 2 1 a 2 =1- (1-2sin x)+ sin x 2 2

a 1 2 =sin x+ sin x+ 2 2

-6-

a?2 1 a ? =?sin x+ ? + - .∵a>0, 4? 2 16 ?
∴当 sin x=1 时,f(x)取最大值, 3 a 且 f(x)max= + . 2 2 3 a 由已知, + =3,∴a=3. 2 2 10.(12 分)如图,钢板材料 ABCD 的上沿为圆弧 AD,其所在圆 的圆心为 BC 的中点 O,AB、CD 都垂直于 BC,且 AB=CD =a,BC =b,现如何用这块钢板材料截一块矩形板(其中两个顶点在 A D 上,另两个顶点在 BC 上),使矩形的面积最大?请你设计截取方案,并说明理由. 解:

2

π? ? 如图,设∠AOB=θ ,∠NOB=α ?θ ≤α < ?, 2? ? 其中半径 AO=R=

a2+ b2, b

1 4

sin θ = ,cos θ = . R 2R 矩形 EFMN 的面积是

a

S=Rsin α (2Rcos α )=R2sin 2α (2θ ≤2α <π ),
π π 当 θ ≤ ,即 2θ ≤ 时,此时 2a≤b, 4 2

Smax=R2=a2+ b2,这时 α = .
π π 当 θ > ,即 2θ > 时,此时 2a>b, 4 2

1 4

π 4

a b Smax=R2sin 2θ =2R2sin θ cos θ =2R2· · =ab. R 2R
设计方案如下: π 当 2a≤b 时,取点 N 使∠NOB= ,再确定点 M、E、F,这样矩形 EFMN 的面积最大,为 4

a2+ b2;

1 4

-7-

当 2a>b 时,这时矩形 ABCD 就是所求,面积为 ab.

-8-


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