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正方体中的组合数问题


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2 0 0 1年 第 2期 

中学 数 学 月 刊 

? 3 7?  

集 
六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六  六 


锦 

个 不 等

式 的 简 证 

米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 

正 方 体 中 的 组 合 数 问题 
曾玉 良 ( 江 苏省 通 州 市教 师 进 修 学校 2 2 6 3 0 0 )  
六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六  六 六 六 六 六 六 

梁 开 华  ( 上 海晋 元 高级 中 学  2 0 0 3 3 3 )  
米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 

上 海 胡 炯 涛 先 生 在 他 的 新 著 《中 学 数 学 

本 文 初 步 归 纳 了 正 方 体 中 比较 典 型 的与 

教育纵横谈 》 第 1 0 2页 上介 绍 了 如 下 不 等 式 :  
已知 Ⅱ >0 , b >O , Ⅱ十6 —1 , 求证 :  


组 合 数 相 关 的 问题 , 特 介 绍 如下 .  
( 1 ) 正 方 体 的  1 2条 棱 中 任 取 两  种 相 交 的情 形 , 有  C5 ? C   一1 8种 平 行  的情 形 , 有 C}   一C5 C; 一Cj? C   一2 4种 异 面  的情 形 . 其中C ; 是 指 有 公 共 顶 点 的 三 条 棱 任  取 两条 ; C  对 应 8个 顶 点 . C5? C j 是 指 左 右 

有 C  ?C; 一2 4   √ n 十 丢 十 √ 6 十 丢 ≤ 2 .   ①  条,

陕西安振平 先生在《 中学 数 学 月 刊 》 第 十 

期 中得 出 了 不 等 式 ① 的下 界 的 加 强 结 果 :  
+  <

√ 计 吉 + √ ¨ 吉 ≤ 2 .  
② 

现给出不等式② 的一个简证.  
证 明  ‘ . ‘ Ⅱ 十 6= 1,  
? . .

水平、 前后水平 、 上 下 垂 直 这 三 种 情 形 的 棱 各 
有 四条 且 从 中任 取 两 条 .  



√ n 十   1 - 十 , \ / 。 十   1 )  
厂 



2 + 2 √  + 寺?  

而 Ⅱ > 0, 6 > 0.  

由1 = “ + 6 ≥2 ̄ / ,  知 0 < n 6 ≤÷.  


’ 2 十   可 < ( √ n + 丢 十 √ 6 十 吉 )   ≤ 4 .  
湖北 程 贤清 , 云南 段 志强 ,  
图 2  

开 方 后 即可 得 不 等 式 ⑦ .  

编者注

山 东  王 福 宗 , 陕 西  曾 卫 鹏 、 高敏 , 湖 北  甘志 国, 四 川  熊 福 州 、 张云华 、 林 明成 , 江 苏 
窦 宝泉 , 广东   李 勇 等 读 者 也 来 信 指 出 上  述 不 等 式 的类 似 简 证 .  

( 2 ) 正方 体 的 8个 顶 点 中任 取 4个 , 能 够  形成 三棱锥 的有 C   一6 —4 —2 —5 8种 情 形 .  

其中 6 , 4 , 2分 别 表 示 三 类 4个 点 共 面 的情 
形. 上 下 左 右 前 后 是 正 方 体 的 6个 表 面 ; 4是 

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3 8?  

中学 数 学 月 刊 
1 厂2奄 黾  
有 2个 , 1, l, l,  

2 0 0 1年 第 2期 
.  
.  

指 两 点 形 成 的 线 取 自上 、 下 底 面 的平 行 棱 ; 2   是 指 两 点 形 成 的 线 取 自侧 棱 , 这 样 的 三 棱 锥 

.  



.  
,  

.  

共有 5 8个 . 同时我们 可知 , 4个 点 共 面 有 1 2  
种情 形. 而 8个 点 中 任 取 5个 点 , 可形成 C  
?

√  ,  

有 2 4个 ; 1 , 1 ,  
个.  

,  

,  

,  

有 2 4  

C i   =4 8个 四 棱 锥 . 因 为 4个 点 共 面 以后 ,   ( 3 ) 5 8个 三 棱 锥 中 , 有 六条棱 为 l , l , 1 ,  

另 外 4个 点 每 个 点 都 可 成 为 四棱 锥 的顶 点 .  

( 4 ) 由 正 方 体 的 八 个 顶 点 为 顶 点 可 组 成  的三棱 锥 , 仅 有 4种 模 型 . 其道 理也很 清楚 .   三 棱 锥 的 6条 棱 长取 自于 正 方 体 的棱 、 面 的 

√ 2, √ 2, √ 2的 正 棱 锥 8个 ( 侧 棱 为 1对  应 8个 顶 点 ) ; 有 ^ /2 ,   2.  /2.   2,  

对角线与 体的对角线. 即 1 . v /2,  ̄ /   3. 如果 
是 正 四面体 , 当 然 只 能 是  2 . 、  2 ,' /2,   2,   2,   2; 如 果 是 正 三棱 锥 , 当 然 只 

√ 2.   2的 正 四 面 体 2个 ( 取 4个 点 形 成 一  个正 四面 体 ) .  

能是 l , l , l ,  

,  

,  

; 如果 、 , 百 参 

与, 当然 只能是 一个 , 这 时 1与  2互 分 , 只 
能是 1 , l , 1 ,  
.  

.  

.  

或 1 , 1 ,  

,  



.  

.  

.  

.  

幽 3  

有 1 , 1 , 1 ,   2,   2,   3的 三 棱 锥 2 4  

个. 其 中 以两个 点形 成侧 棱 ( 当 然 共 4条 侧  棱) 为标记 , 而 两 条 棱 取 自上 下 面 有 虚 、 实 线  两个 走 向; 又 有 两 条 棱 各 取 上 面 或 下 面 也 有  虚 实 线 两 个 走 向. 即 C{ C   C   =2 4个 .  

画 
图 5  

四棱 锥 的模 型 比较 简 明 , 仅两种模型 , 这 
里不赘述.  
‘ r ‘ r ‘ r ‘ r ‘ r — _ ‘ ’ r ‘ r ‘ r ‘ r   r ‘ r ‘ r ‘ 丫。 ‘  —丫—丫—丫 ‘ ■—r  



个 不 等 式 的 纯 几 何 证 法 

田正 平  ( 杭 州 师 范 学 院  3 1 0 0 3 6 )  
图  i  
’ ● ’ ’ r ’ r  ’ r ’ r ’ r ’ ’ r ’ r ’ _ ’ r  r ’ r ’ r ’『 -   ’ _ 1 — r  ’ r ’ r 

同理 , 有 1 , 1 ,  
即C  ? C: 一2 4个 .  

,  

.  

,  

的 

在 数 学 奥林 匹 克 问 题 ( 载《 中等 数学 》   2 0 0 0年 第 5期 第 4 9页 ) 中 有 一 道 几 何 不 等 
式题 :  

三棱 锥 2 , 1 个 , 其 中点 和 两 个 为 1的棱 相 对 ,   综上所述 , 以 正 方 体 八 个顶 点 为 顶 点 , 组  成 的三棱 锥 中, 棱 长分 别为 1 , 1 , 1 , ̄ /2.  

在 钝 角 △ AB C中,   ‘ , 1为 钝 角 . h  为 边  “上 的 高. 求证 : “ +, 』 . . >  +  ,  


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