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简单的线性规划问题PPT


导学引领
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 2 x ? y ? 0平 行.

o

x

导学引领 2.作出下列不等式组的所表示的平面区域
<

br />? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

导学引领

y
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4) x-4y+3=0

C
5

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

-3

3 4
O

A

B
1 5 x=1

25 3

x
3x+5y-25=0

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

导学引领
把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

导学引领 y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先作出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域.
2.作直线l0 : 2 x ? y ? 0
3.作一组与直线l0平行的 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

C
5

3 4
-3
O

A B
1 5 x=1

25 3

x
3x+5y-25=0

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,t随之增大. 以经过点A(5,2)的 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小.

Zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ?
时,求z的最大值和最小值.

任何一个满足 不等式组的 (x,y) 可行解

线性规 划问题

可行域

所有的

概念
1. 由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x,y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程组成的不等 式组称为x,y 的线性约束条件。 2. 欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式 称为目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目标 函数。 3. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值问题称为线性规划问题。

4. 满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解。所有 可行解组成的集合称为可行域。
5. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优 解。

基础问题展示交流

?y ? x ? 1)求使 z ? 2 x ? y 的最大值,使x,y满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

2)求使 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使x,y满足约束条件

?5 x ? 3 y ? 15 ? ? y ? x ?1 ?x ? 5y ? 3 ?

基础问题展示交流
y y-x=0

5

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0

基 础 问 题 展 示 交 流

5x+3y=15 y
y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

-1

O
-1

1

A(-2,-1)

3 ? 5

3

5

Z max ? 17; Z min ? ?11

我们一起来总结
利用图解法解决线性规划问题的步骤:

画——画出线性约束条件所表示的可行域
移——在目标函数所表示的一组平行线(与目标函 数中z=0平行)中,利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线 求——根据观察的结论,先求交点的坐标,再 求出最优解 答——做出答案

我们一起来总结
? 一.

概念: ? 线性目标函数,线性约束条件,可行解,可 行域,最优解,最值 ? 二. 方法: ? 图解法

哈佛大学图书馆馆训
?

You ll have a dream if you have a nap
now, but your dream will never come true unless you study now.

,

?此刻打盹,你将做梦;而此刻学 习,你将圆梦。

能力提升展示交流
例1.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所 示:

规格类型 钢板类型

A规 格 第一种钢板 2 第二种钢板 1

B规 格 1 2

C规 格 1 3

今需要A ,B,C三种规格的成品分别15,18,27块, (1)试用数学关系和图形表示上述要求。

(2)各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三 种规格成品,且使所用钢板张数最少?

能力提升展示交流
解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板 y张,设使用钢板的总张数为Z,则 ?2 x ? y ? 15, ? x ? 2 y ? 18, ? ? ? x ? 3 y ? 27, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. 目标函数为 z = x + y

能力提升展示交流
y 16 2 x ? y ? 15 8 4 2

x ? 3 y ? 27
8

O 2

x ? 2 y ? 18

18

28

x

能力提升展示交流
y 16 2 x ? y ? 15 8 4 2

x ? 3 y ? 27
x

28 18 8 x ? y ? 11 O 2 x ? 2 y ? 18 x? y?4 x? y?0

能力提升展示交流
y 16 2 x ? y ? 15 8 4 2

直线 x ? y ? z经过 直线 x ? 3 y ? 27和 2 x ? y ? 15 的交点 18 39 ( , ), z取到最 5 5 57 小值 . 5

x ? 3 y ? 27

28 18 8 x ? y ? 11 O 2 x ? 2 y ? 18 x? y?4 x? y?0

x

能力提升展示交流
如何找整数时的最优解? y 16 2 x ? y ? 15 8 4 2

18 39 由于 , 不是整数, 5 5 而最优解中x, y必须是 整数, 所以可行域内点 18 39 ( , )不是最优解. 5 5

x ? 3 y ? 27

28 18 8 x ? y ? 11 O 2 x ? 2 y ? 18 x? y?4 x? y?0

x

能力提升展示交流 经过可行域内的整点
如何找整数时的最优解? y 16 2 x ? y ? 15 8 4 2

(横、纵坐标都是整数 的点)且与原点距离最 近的直线是x ? y ? 12, 经过的整点是(3,9)和 (4,8),它们是最优解.

x ? 3 y ? 27
x

28 18 8 x ? y ? 11 O 2 x ? 2 y ? 18 x? y?4 x? y?0

我们一起来总结 解线性规划应用题的一般步骤:
1. 建立线性约束条件和线性目标函数;

2.运用图解法,求出最优解; (实际问题需要整数解时,适当 调整,确定最优解.) 3.转化为实际问题的解,写出答案

华盛顿儿童博物馆的馆训:
I heart ,I forget,
I see , I remember,

I

do ,

I understand.

我听说了,我又忘记了, 我看见了,于是我记住了, 我动手做了,我才理解了。

?1.某工厂生产甲乙两种产品,已知生产

能力提升展示交流

甲种产品1吨,需矿石4吨,煤3吨,生 产乙种产品1吨,需矿石5吨,煤10吨, 每1吨甲种产品的利润是7万元,每1吨 乙种产品的利润是12万元。工厂在生 产两种产品的计划中,要求消耗矿石 不超过200吨,煤不超过300吨,则甲 乙两种产品各生产多少,才能使利润 总额达到最大?

能力提升展示交流
? 2.某工厂家具车间生产A,B型两类桌子,每张

桌子需要木工和漆工两道工序完成。已知木 工做一张A,B型桌子分别需要1h和2h,漆工油 漆一张A,B型桌子分别需要3h和1h;又知木工, 漆工每天工作时间分别不得超过8h和9h,而 工厂生产一张A,B型桌子可分别获利润2千元 和3千元。试问:工厂每天生产A,B型桌子各 多少张,才能获得最大利润?最大利润为多 少元?

Nothing is difficult in the world if you put your heart into it .

世上无难事,只怕有心人


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