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2014江苏高三数学一轮复习专项训练课件23


考查数列的综合应用
【例 1】? 若{an}满足
?1? a1=1,an+an+1=?4?n(n∈N*),设 ? ?


Sn=a1

+4a2+42a3+?+4n 1an,则 5S2-42a2=________;类比课 本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 5Sn-4nan =________.

解析 由条件可得 5S2-42a2=5(a1+4a2)-42a2=a1+4(a1+

1 a2)=1+4×4=2.

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在 Sn=a1+4a2+42a3+?+an 1an,①,两边同时乘以 4 得 4Sn=4a1+42a2+43a3+?+4n 1an-1+4nan,②,①+②得 5Sn=a1+4(a1+a2)+42(a2+a3)+?+4n 1(an-1+an)+4nan=1+ n-1+4nan,故 5Sn-4nan=n. 答案 2 n
- -



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a2k+1 a2k 【例 2】? 数列{an}满足 a1=1, =2, a =3(k≥1,k∈ a2k-1 2k N*),则 a3+a4=________,其前 n 项和 Sn=________. 解析 由条件分别求出 a3,a4,再求和,利用分组求和法求 Sn.由条件可得 a2=2,a3=6,a4=12,所以 a3+a4=6+12 =18.因为数列{an}相邻两项的和构成以 6 为公比的等比数 列,所以当 n 为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(an-1
? 3?1-6 ? ? ? ?

+an)=3+18+?+3×6 n 为奇数时,

-1=

1-6

3? = ?6 5?

? ? 当 -1?;

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Sn =a1 +(a2 +a3)+(a4 +a5)+?+(an - 1 +an)=3+8+48?+ 8×6 8??1-6 =1+ 1-6
? ? ? ?

8×6 -3 8 ?? ? ? = = 1 + 5 ?6 -1? , 故 Sn = 5

? ?3? ? ? ?,n=2k,k∈N* ?5?6 -1? ? ?8×6 -3 ,n=2k-1.k∈N* ? 5 ?

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答案

18

?3??6 -1?? * ? ?,n=2k,k∈N ?5 ? -3 ?8×6 ,n=2k-1.k∈N* 5 ?

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解题方法技巧:类比法的应用 一般数列的通项与求和方法是类比等差数列、等比数列的通项

公式、求和公式的推导,如等差数列通项公式的推导方法是累
加法,类比到an+1-an=f(n),都可以用累加法,其它如累乘法、 数列的错位相减法、裂项相消法等,也是由课本中一些基本的 知识、方法类比得到,所以理解课本决不能流于形式,这个过 程真的很重要.

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【突破训练1】 在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n,n∈N*,

则a8的值为________.
解析 根据累加法求 a8.由题意可得 a2 -a1 =2,a3 -a2 =

7×10 3,?,a8-a7=8,累加得 a8-a1=2+3+4+?+8= 2 =35,所以 a8=36. 答案 36

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【突破训练 2】 定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),设数列{an} F(n,1) ? ? ? a a 满足 an= ,设 Sn 为数列? n n+1?的前 n 项和,则 ? F(2,n) Sn________1(填“>”、“=”、“<”). 解析 1 1 1 由题意可得 an = n2 ,所以 anan+1 = =n- n(n+1)

?1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1 ? , 其前 n 项和 Sn=?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?=1- ? n+1 ? ? ? ? ? ?

1 <1. n+1 答案 <
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