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江苏省启东中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题.doc

时间:2016-10-14


江苏省启东中学 2016-2017 学年度第一学期第一次月考

高三(理科)数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . ..

1.已知 x ??0,1, x? ,则实数 x 的值是 ▲ .
2

2.命题“ ?x

? R,x ? 0 ”的否定是▲.
2

3.已知向量 a ? (1, m), b=(3, ?2) ,且 (a + b) ? b ,则 m ? ▲. 4.函数 f ( x) ?
1 (log 2 x)2 ? 1

?

?

? ?

?

定义域



.

5.将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) ? 1 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的 4

函数解析式为 ▲ . 6.已知集合 A= x x ? 5 ,集合 B= x x ? a ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”充分不 必要条件,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 7. 函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ,若对于 x ? [a, a ? 1] 恒有 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围 8.已知 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 5 tan B ? ▲ .

?

?

?

?



.

6ac ,则 sin B 的值是 a ? c 2 ? b2
2

D .

C . E .

9.设 ? 为锐角,若 sin(? ?

?
6

)?

3 ? ,则 cos(2? ? ) ? ▲. 5 6
A .
(第 题 ) . .10 . . . .

10.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, ?ADC ? 90? ,AB = 3, AD = 2,E 为 BC 中点,若·= 3,则· = ▲ .

B .

11.已知函数 f ( x) 在定义域 [2 ? a,3] 上是偶函数,在 [0,3] 上单调递减,并且

a f (?m 2 ? ) ? f (?m 2 ? 2m ? 2) ,则 m 的取值范围是 ▲ . 5
12.已知函数 f ( x) ?
x x?2 ? kx 2 (k ? R ) 有两个零点,则 k 的取值范围



.

13.若曲线 y ? a ln x 与曲线 y ?
x

1 2 t x 在它们的公共点 P ? s, t ? 处具有公共切线,则 ? ▲. 2e s

14. 设函数 f ( x) ? e (2x ?1) ? ax ? a , 其中 a ? 1 , 若存在唯一的整数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? 0 ,

则 a 的取值范围是▲. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)已知命题 ?x ??x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x 2 ? x ? m ? 0 成立是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 M . (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求 a 的取 值范围.

? 16.(本小题满分14分)在 ? ABC 中,三个内角分别为 A,B,C ,已知 sin(A ? ) ? 2cos A . 6
(1)求角A的值;

? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B) ? ,求 sin B . 3 5

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

?2 x ? m (其中 m, n 为参数). 2 x ?1 ? n

(1)当 m ? n ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数; (2)如果 f ( x) 是奇函数,求实数 m, n 的值; (3)已知 m ? 0, n ? 0 ,在(2)的条件下,求不等式 f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 的解集.

1 4

3 18.(本小题满分 16 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos C= . 10 9 (1) 若·= ,求 c 的最小值; 2
2B? (2) 设向量 x=(2sin B,- 3),y=? ?cos2B,1-2sin 2 ?,且 x∥y,求 sin(B-A)的值.

19. (本小题满分 16 分)如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD,其
?ABC ? 2π . 中 BMN 是半径为 1 百米的扇形, 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路: 3

在弧 MN 上选一点 P(异于 M、N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ.问:点 P
? 与 PQ 及 QD 的总长最小?并说明理由. 选择在何处时,才能使得修建的小路 MP

A . P .

D . Q .

M .

B .

N . (第 19 题) ... . ..

C .

20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 1 x 2 , g ? x ? ? a ln x . 2 (1)若曲线 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线的方程为 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若对任意两个不等的正数 x1 ,x2 ,都有 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? ? x0 ? ?
h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2恒 x1 ? x2

1 ? g x ? g ? x 成立,求实数 a 的取 ? 0? ? 0? f ? ? x0 ?

值范围.

江苏省启东中学 2017 届高三第一次调研测试 理科数学答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.答案:-1 2. 答案: ?x ? R, x 2 ? 0 3. 答案: m ? 8

1 4. 答案: (2, ??) ? (0, ) 2
5.答案: y ? sin(2 x ? 6.答案: a ? 5 7. 答案: ? 8.答案: 9.答案:
2 ?a?0 2

?
3

) 也可 y ? cos(2 x ? ) .
6

?

3 5

24 25
2 ) , = 2

10.以 A 点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 设 CD=x,则 =(3,0) ,=(x, 2)由·= 3 解得 x=1.所以=(2, (-2, 2) ,所以· =??

11.因为函数 f ( x) 在定义域 [2 ? a,3] 上是偶函数,所以 2 ? a ? 3 ? 0 ,所以 a ? 5 .所以

a f (?m 2 ? ) ? f (?m 2 ? 2m ? 2) ,即 f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) ,所以函数 f ( x) 在 5

[?3,0] 上 单 调 递 减 , 而 ? m2 ?1 ? 0,?m2 ? 2m ? 2 ? ?(m ?1)2 ?1 ? 0 , 所 以 由

? ? 3 ? ?m 2 ? 1 ? 0 ? 1 2 f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) 得, ? ? 3 ? ? m ? 2m ? 2 ? 0 ,解得 1 ? 2 ? m ? 2 ?? m 2 ? 1 ? ? m 2 ? 2 m ? 2 ?
12. 0 ? a ? 1 或 a ? 0 .

13.对曲线 y ? a ln x 求导可得 y? ?

a x 1 ,对曲线 y ? x2 求导可得 y? ? ,因为它们在公共点 x e 2e

P ? s, t ? 处具有公共切线, 所以
代入,所以 a ? 1 .所以 t ?

a s 1 ? , 即 s 2 ? ea , 又 t ? a lns ? s 2 , 即 2ea lns ? s 2 , 将 s 2 ? ea 2e s e

t e 1 , s ? e ,即 ? . 2 s 2e

14.解析:设 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题知存在唯一的整数 x0,使得 g(x0)在直线 y=ax 1 1 -a 的下方. 因为 g′(x)=ex(2x+1), 所以当 x<- 时, g′(x)<0, 当 x>- 时, g′(x)>0, 2 2 1 1 所以当 x=- 时,[g(x)]min=-2e- ,当 x=0 时,g(0)=-1,g(1)=3e>0,直线 y=ax- 2 2 3 - a 恒过(1,0),且斜率为 a,故-a>g(0)=-1,且 g(-1)=-3e 1≥-a-a,解得 ≤a<1. 2e

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤.
1 ? ? 15.(1) M ? ?m | ? ? m ? 2 ? .................................................................................5 分 4 ? ?

1 9 (2)分 a ? 1 ………7 分.当 a ? 1 时得 a ? ? ????..9 分.当 a ? 1 得 a ? ?..11 分 4 4
综上所述: a ?

9 1 或 a ? ? ???????????..14 分. 4 4

? 3 1 sin A ? cos A ? 2 cos A ,即 sin A ? 3 cos A ,因为 16.解:.因为 sin(A ? ) ? 2cos A ,得 2 2 6 ? A ? ? 0, ? ? ,且 cos A ? 0 ,所以 tan A ? 3 ,所以 A ? .…………4 分 3
(1)因为 sin 2 C ? cos 2 C ? 1 , cos C ?
6 3 , C ? ? 0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3

3 a c a sin A 3 ? ? 2 ? ,即 2a ? 3c ? 0 .…………7 分 由正弦定理知 ,即 ? c sin C sin A sinC 3 2 3

? ? ? ?? (2)因为 B ? (0, ) ,所以 A ? B ? ? B ? ? 0, ? , 3 3 ? 3?
2 2 因为 sin ( A ? B) ? cos ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

3 ,…………10 分 5
4 3 ?3 .……14 分 10

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ? ? ? sin A cos( A ? B ) ? cos A sin( A ? B ) ?

1 ? ?1 ?2 ? 1 1 ?2 x ? 1 1 ? ? , f (?1) ? 2 17. 1) f ( x ) ? x ?1 ,∴ f (1) ? 2 ? , 2 ?1 5 2 ?1 2 4
∵ f (?1) ? ? f (1) ,∴ f ( x) 不是奇函数????????????4 分 (2)∵ f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) ,



?2? x ? m ?2 x ? m ? 对定义域内任意实数 x 成立, 2? x ?1 ? n 2 x ?1 ? n

化简整理得关于 x 的恒等式 (2m ? n) ? 22 x ? (2mn ? 4) ? 2x ? (2m ? n) ? 0 , ∴?

? 2m ? n ? 0 ?m ? ?1 ?m ? 1 ,即 ? 或? ????????????8 分 ?2mn ? 4 ? 0 ? n ? ?2 ? n ? 2

(注:少一解扣 1 分) (3)由题意得 m ? 1, n ? 2 ,∴ f ( x) ?

?2 x ? 1 1 2 ? (?1 ? x ) ,易判断 f ( x) 在 R 上 x ?1 2 ?2 2 2 ?1
1 4 1 4
1 x , ∴2 ?3 , 4

递减, ∵ f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 , ∴ f ( f ( x)) ? ? f ( ) ? f (? ) , ∴ f ( x) ? ?

1 4

∴ x ? log2 3 ,即所求不等式的解集为 (??,log2 3) ?????????..14 分
9 9 18.解:(1) ∵·= ,∴ abcosC= ,∴ ab=15…………………..3 分 2 2 3 ∴ c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab· =21(当且仅当 a=b 时取等号). 10 ∵ c>0,∴ c≥ 21,…………………………………………………………..5 分 ∴ c 的最小值为 21…………………………………………………….7 分
2B? (2) ∵x∥y,∴ 2sin B? ?1-2sin 2 ?+ 3cos2B=0,

2sinBcosB+ 3cos2B=0,即 sin 2B+ 3cos2B=0, 2π 5 π π 5π ∴ tan2B=- 3,∴ 2B= 或 ,∴ B= 或 ……………………10 分 3 3 3 6 π 3 3 ∵ cos C= < ,∴ C> , 10 2 6 5π π ∴ B= (舍去),∴ B= ……………………………………………..12 分 6 3 ∴ sin(B-A)=sin[B-(π-B-C)] π π π =sin?C- ?=sinCcos -cos Csin 3 3 3? ?



91-3 3 91 1 3 3 × - × = …………………………………………..16 分 10 2 10 2 20

19.连接 BP , 过 P 作 PP 1 ? BC 垂足为 P 1 , 过 Q 作 QQ 1 ? BC 垂足为 Q 1
? ? 2π ? ? 设 ?PBP 0 ? ? ? 2π , MP 1 ?? 3 3

?

?

…………………2 分

若 0 ? ? ? ? ,在 Rt ?PBP 1 中, PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? , 则 PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? ? 2? , 则 PP 1 ? sin? , BP 1 ? cos(? ? ? ) ? ? cos? , 2 3
A . P . D . Q .

M .

? PQ ? 2 ? cos? ? 3 sin ? …………………………4 分 3
在 Rt ?QBQ1 中, QQ1 ? PP CQ1 ? 3 sin ?,CQ ? 2 3 sin ? 1 ? sin ?, 3 3
B . N . (第 19 题) ... . .. C .

DQ ? 2 ? 2 3 sin ? …………………………6 分 3
所以总路径长
f (? ) ? 2? ? ? ? 4 ? cos? ? 3 sin? (0 ? ? ? 2? ), ……………………10 分 3 3 f ' (? ) ? sin? ? 3 cos? ? 1 ? 2 sin( ? ? ? ) ? 1 ………………12 分 3

令 f ' ?? ? ? 0 , ? ?

π 2

当 0 ? ? ? π 时, f ' ?? ? ? 0 2 当 π ? ? ? 2π 时, f ' ?? ? ? 0 …………………………14 分 2 3 所以当 ? ?

π 时,总路径最短. 2

答:当 BP ? BC 时,总路径最短. ……16 分 20.解: (1)由 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x ,得 y ? ? x ? a , 2 x 由题意, 1 ? a ? 3 ,所以 a ? ?2 .????????????3 分 (2) h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x , 2 因为对任意两个不等的正数 x1 ,x2 ,都有
h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2, x1 ? x2

设 x1 ? x2 ,则 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ,即 h ? x1 ? ? 2x1 ? h ? x2 ? ? 2x2 恒成立,

问题等价于函数 F ? x ? ? h ? x ? ? 2x ,即 F ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x ? 2 x 在 ? 0, ?? ? 为增函数.?6 分 2 所以 F ? ? x ? ? x ? a ? 2≥0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,即 a≥2 x ? x 2 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, x 所以 a≥ 2 x ? x2

?

?

max

? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? .???????????8 分

(3)不等式 f ? ? x0 ? ?

1 ? g x ? g ? x 等价于 x ? 1 ? a ln x ? a , ? 0? ? 0? 0 0 x0 x0 f ? ? x0 ?

整理得 x0 ? a ln x0 ? 1 ? a ? 0 . x0 设 m ? x ? ? x ? a ln x ? 1 ? a ,由题意知,在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 m ? x0 ? ? 0 .???10 分 x 由 m? ? x ? ? 1 ? a ? 1 ?2a ? x x

x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1 ? a)( x ? 1) . ? x2 x2

因为 x ? 0 ,所以 x ? 1 ? 0 ,即令 m? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ? a . ①当 1 ? a ≤ 1 ,即 a ≤ 0 时, m ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 只需 m ?1? ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 .??????????????????12 分 ②当 1 ? 1 ? a ≤ e ,即 0 ? a ≤ e ? 1 时, m ? x ? 在 x ? 1 ? a 处取最小值. 令 m ?1 ? a ? ? 1 ? a ? a ln(1 ? a) ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? a ln(a ? 1) ,可得 a ? 1 ? 1 ? ln(a ? 1) . a 考查式子 t ? 1 ? ln t , t ?1 因为 1 ? t ≤ e ,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立.?????14 分 ③当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, m ? x ? 在 ?1,e? 上单调递减,
2 只需 m ? e ? ? e ? a ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? e ? 1 . e e ?1

2 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? ? e ? 1 , ?? .??????????16 分

? e ?1 ?


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