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异面直线及其夹角说课广水市一中数学组王伟


异面直线及其夹角

广水市一中

王伟

说课提纲
一、教材背景分析 二、教学目标分析 三、教学重点、难点分析 四、教法、学法分析

五、教学程序设计

一、教材背景分析
1.设计理念
新课程标准指出:“关注学生体验,感悟和 实践活动的要求。”具体

的说:强调的是过程, 强调学生探索新知的经历和获得新知的体验,学 生的学习是一种主动建构的过程,而不是被动接 受已定的知识,本节课就是基于建构主义理念和 最近发展区理论引导学生主动探究,强调学生的 主体意识,激发学生的求知欲望,培养学生分析 问题和解决问题的能力。

2.教学地位、作用

两条直线的位置关系是空间图形一种最简单、最基本的位置 关系。建立正确的空间观念,实现由平面图形向立体图形的拓广, 是学习立体几何的一个重点和难点,而异面直线的出现,使两条 直线的位置关系从平面拓广到了空间。 从知识结构上看,两条直线位置关系的判别,尤其是异面直 线的定义以及角的度量,是研究直线与平面、平面与平面有关问 题的基础。 从方法上看,空间两条直线,尤其是空间两条异面直线的空 间图形的画法、位置的判别、反证法的论证方法,对发展学生的 空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的。

3. 学情分析
?

?

?

认知分析:学生刚刚学习立体几何没多久,空间意识不够,还 没有解决空间问题的基本思路。 能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力,但在数学 的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 情感分析:多数学生对数学学习有一定的兴趣,能够积极参与 研究,但在合作交流意识方面,发展不够均衡,有待加强.

?

基于以上分析,在学法上,引导学生采用自主探 索与互相协作相结合的学习方式.让每一个学生都能参 与研究,并最终学会学习。

二、教学目标分析
根据教材分析和学生的认知特点,本节课设置的教学目标为:
1、知识目标: (1)理解并初步掌握异面直线的概念和一般画法. (2)理解并初步掌握异面直线所成的角的概念及初步运用. (3) 理解空间两直线的三种位置关系及其判定两直线位置关系的依据. (4)进一步熟悉反证法. 2、能力目标: (1)建立空间两条直线的位置关系的完整知识体系,初步形成“空间”意识. (2)培养把空间问题转化为平面问题的化归的数学思想. (3)进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力,注重培养学 生获取数学知识的能力,数学交流表达的能力和自主学习的内在发展能力。 3、个性品质目标: (1)通过让学生积极参与分析、探索,全身心投入课堂教学双边活动中, 培养学生的合作意识. (2)通过让学生体验成功,培养学生学习数学的自信心.

三、教学重点、难点分析
教学重点是异面直线的定义及判定定理,以及异 面直线所成的角。
对异面直线的概念不明确,就无法进一步研究异面直线 的性质,更不可能对异面直线所成的角作出正确的探求.

教学难点是正确辨认空间两条直线的位置关系,理 解异面直线所成的角的概念。
“异面直线所成的角”的概念是“角”的概念的再次扩展, 一直是教学中的难点,而学生在平面几何里已接触两条直 线的位置关系,在观念上已形成一种思维“定势”,克服 思维定势的影响,是学习立体几何不容忽视的难点。

四、教法、学法分析
根据建构主义的教学理论,从发展学生认识问题、探索问题、 研究问题的能力角度考虑,本节课准备采用“问题教学法”的 思想进行教学设计.即由教师作为“顾问、参谋、设计者”组织 教学,学生在问题解决的过程中,体验成功与失败,从而逐步 建立完善的认知结构. 本课涉及到的概念较多,在把握这些概念的内在联系上, 我把本课分成二组:以异面直线的“定义”、“判定”为一组, 在教学中以“定义”为关键;第二组是异面直线所成的角,在 教学中指出共面直线与异面直线在位置关系上是相互区别的, 但在度量关系上,以“平行线传递性公理”、“等角定理”为 依据,形成相互联系,使学生体验数学思维从平面向空间的拓 广和从空间向平面的转化,提高数学思维品质。

五、教学程序设计
1、创设问题情境,引入课题 2.异面直线的判定 3.异面直线的画法 4.空间两直线的位置关系 5.异面直线所成的角 6.课堂练习 7.本课小结 8.布置作业

1、创设问题情境,引入课题
教师提问:
1.在平面几何中两条不重合的直线的 位置关系有几种? 2.在空间两条相交直线和两条平行直 线有什么共同特点?

学生活动:
回答:有相交和平行两种情况. 回答:都可以确定一个平面.

3.在空间两条直线的位置关系有没有第三种情况?并用多媒体课件展示图①:将 两条相交直线中的一条从平面内向空间平行移动,和图②:将两条平行直线a、b 中的一条平行移动到空间,再旋转30°,然后提问运动变化前的两条直线和运动 ? a? 变化后的两条直线有什么不同特点?能不能有一个平面 存在,使得变化后的两 a 条直线a ?与b在 ? 内?
a

A

a
a

?

b
?

A b

a

a

?

b
?
b

图① 图② (让学生热烈讨论后回答,教师指出以后我们可以证明这个平面是不存在的,也就是说 a?与 b是不同在任何一个平面内的两条直线。板书课题“异面直线”及“异面直线”的定义.) [设计意图]: 用运动变化的观点引出异面直线的概念,创造了启发思维的情境,激发了学生的积极性.

练习:判断下列结论是否正确
1、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)直线BC与直线A1D1是异面直线 (2)直线BD与直线BB1是异面直线 (3)直线BD与直线B1D1是异面直线 2、如果直线a在平面内 ,直线b 平面 外,则直线a与直线b是异面直线.
D A B C

D'

C'

A'

B'

由学生自由发表自己的结论,相互争论,从而加深对异面直线概念的理解: 10 “不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此, 两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交,也不平行。要注意把握异面直线 的不共面性。 20 不能把异面直线误解为:①分别在不同平面内的两条直线是异面直线,②在某 一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线是异面直线。

[设计依据] 只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时,才能真正学好数学。

2.异面直线的判定
思考:如图所示,已知直线AB与平面α相交于点B,点A在α外,直线L在α内 但不过点B,试判断直线AB与直线L的位置关系?
A

l

B

?

这道题学生解决起来有一定的难度,教师 借此进一步培养学生解决问题的“正难则反” 的思路,引导学生用反证法去解决问题。之后, 启发学生由文字语言叙述,教师稍加整理后给 出异面直线的判定定理: 连结平面内一点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是异面直线。

[设计意图] 引导学生自行获取定理的证明、 表达,体现了在教师的主导下, 学生的主体作用的发挥。

3.异面直线的画法
画异面直线时,为了充分显示它们既不平行也不相交的特点,即 不共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性。

b b

?
a a

a

?
a

?

b

?

b

?

4.空间两直线的位置关系
平行 共面

空间两直线
不共面

相交 异面直线

有交点

相交 平行

空间两直线
无交点
异面

[设计意图] 完善学生的空间两条直线的位置关系的知识结构。

A与b是相交直线,a与c也是相交直线, 它们之间又有什么区别?
c

b a
“定量”研究相交直线,必须引入“角”的概 念

直线a与b, 直线a与c, 直线a与d

都是异面直线,它们有什么区别?
N b

c

d

a
M

5.异面直线所成的角
(1)展示概念产生的背景
教师紧接着说:既然有区别,说明仅用“异面”来描述异面 直线间的相对位置显然是不够的.在生产实际与数学问题中, 有时还需要进一步考虑它们的相对位置.这就给数学提出了一 个新任务:怎样刻划异面直线间的这种相对位置,或者说,引 进一个什么数学量来刻划这种相对位置.

[设计意图] 这样引入异面直线所成的角,揭示了异面直线所成 的角出现的背景,将数学家的思维活动暴露给学生,使学 生沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中,积极的思维 活动得以触发,从而能有效地帮助学生度过第15至25分钟 的这一段的大脑疲劳波谷区。

(2)引出异面直线所成的角

我们知道两条异面直线不相交,它们又确实存在角度关系,这就需要我们找到一个角 以它的大小来度量异面直线所成的角的大小.我们已经会求平面内两条相交直线所成的角, 如果能够将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,则问题就能解决。如何转化? (教师用两个棒针比划,通过平移异面与相交的位置关系可以相互转化,即空间问题 可以通过平移转化为平面问题,且由上节课的等角定理可知角平移后大小不变)

至此,教师让学生自己来概括得出新概念---------异面直线所成角的定义,其间,对 学生表述上的任何微小缺陷与不当之处,老师应诱导启发.在正式给出定义时要求语言简 练、准确,符合逻辑性和科学性。 【设计意图】

(1)让学生感知“角”是刻画异面直线位置关系的重要的几何元素; (2)给出异面直线所成的角的形成方式,培养学生的实践能力, 并明确“所成角”的形成必须经过“平移”方可得到。

异面直线所成的角的定义
直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o, 分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把直线a1和b1所 成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。 如果两条异面直线所成的角是直角,那么我 们就说两条直线互相垂直.两条异面直线a,b互相 垂直,仍记作 a⊥b.

b b b b b 1b 1b 1b 11 1b 1b 1b 1b 1b 1b 111 b 1 b b b b b b b b b b b b b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b 1b 1b 1b 1b 1b 11111 b 1 b b a a 11 11 b b a 1 1 1 a 1 b a 1 b a1 1 a 1 a a1 1 a 1 a 1 a o 1 a 1 a a 11 a 1 a a11 a 1 a a1 1 a

.

M

O是空间中的任意一点
b2

所成的锐角是否相等?

点 o常 取在两条 异面直线 中的一条 上
b

o1

.

a2

b1 a1

o
a

.

M

相交直线所成角的大 小,就是异面直线所成 角的大小 b

﹤0 90° 0°
o
a

异面直线 相交直线 a,b所 异面直线所成 ≤ 所成的角? 成的角? 的角的范围?

α

点o常取在两条异面直线中的一条上

(3)教师总结
(1)从角的发现过程和形成过程,让学生感受这个角,是客观存在的, 虽然 两条直线没有相交,但是客观上这个角度是存在的.当然这已经不是传统意义 上的“角”. (2)对“平移”的理解和认知,理解“平移”的“任意性”,平移不改变所 成角的大小,正因如此,我们在解题过程中经常采用“特殊化”的方法.
[设计意图]

这样引导学生“解剖”定义,使学生看到抽象的数学术语和 符号与现实存在的具体事物和现象之间的联系,了解整个定义的 结构,培养了学生思维的缜密性。至此,两异面直线所成角的概 念完全建立了,在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题 这一化归的数学思想方法。

6.课堂练习:
1.课本P.14 4 2. 补充练习: M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点,求MN与AD所成的角. 思路1:过M点作MG∥BC交CC1于G,MG、MN所成的锐角(或直角)为所求. 思路2:连BC1,则BC与BC1所成的角(锐角或直角)为所求.

思路3:连BC1、AD1,则AD与AD1所成的角(锐角或直角)为所求.

[设计意图] 这样设计至少有两个好处: 1、加深了学生对概念的理解; 2、再一次激起了学生思维的浪花.

7.本课小结
由学生先对本节课进行小结,教师补充完善: 1、异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 2、判断两条直线为异面直线时,可以用定义(此时常借助反证法)和 判定定理 3、异面直线所成的角,通过直线平行移动,转化为平面问题,研究两条 相交直线所成的锐角或直角 4、形成二个“意识”:(1)“空间” 意识,(2)“空间问题常常转化为 平面问题来解决”的意识。 5、对研究对象用三种语言(图形语言、文字语言、符号语言)进行描 述。

8.布置作业
课本 习题9.2 3-----7


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