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基本不等式常见题型训练


必修 5 基本不等式基本题型训练
一、选择题 1 1. [2013· 常州质检]已知 f (x)=x+ -2(x<0),则 f (x)有( x A. 最大值为 0 C. 最大值为-4 答案:C 解析:∵x<0,∴-x>0, 1 1 ∴x+ -2=-(-x+ )-2≤-2 x -x 当且仅当-x= 1 ?-x?· -2=-4, -x B. 最小值为 0

D. 最小值为-4 )

1 ,即 x=-1 时,等号成立. -x )

2. [2013· 长沙质检]若 0<x<1,则当 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为( A. C. 1 3 3 4 B. D. 1 2 2 3

答案:D 解析:∵0<x<1, 1 ∴f (x)=x(4-3x)= · 3x(4-3x) 3 1 3x+4-3x 2 4 ≤ ×( )= , 3 2 3 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取得“=”,故选 D. 3 x2 +2x+2 3. 函数 y= (x>-1)的图象最低点的坐标为( x+1 A. (1,2) C. (1,1) 答案:D 解析:y= 当 x+1= ?x+1?2 +1 1 =x+1+ ≥2, x+1 x+1 B. (1,-2) D. (0,2) )

1 ,即 x=0 时,y 最小值为 2,故选 D 项. x+1 )

1 1 4. 已知 m=a+ (a>2),n=( )x2 -2(x<0),则 m,n 之间的大小关系是( a- 2 2 A. m>n B. m<n

1

C. m=n 答案:A 解析:∵a>2,x<0, 1 ∴m=(a-2)+ +2 a-2 ≥2 1 ?a-2?· +2=4, a-2
2 2

D. m≤n

n=22-x <2 =4,∴m>n,故选 A. 5. [2013· 商丘模拟]若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则 9x+3y 的最小值为( A. 12 C. 3 2 答案:D 解析:依题意得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2,9x+3y=32 x+3y≥2 32 x×3y=2 32 x+ y= 2 32 =6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9x+3y 的最小值是 6,选 D. a b 6. 已知 a,b 为正实数且 ab=1,若不等式(x+y)( + )>m 对任意正实数 x,y 恒成立, x y 则实数 m 的取值范围是( A. [4,+∞) C. (-∞,4] 答案:D a b ay bx ay 解析:因为(x+y)( + )=a+b+ + ≥a+b+2≥2 ab+2=4,当且仅当 a=b, = x y x y x bx 时等号成立,即 a=b,x=y 时等号成立,故只要 m<4 即可,正确选项为 D. y 二、填空题 7. [2013· 金版原创]规定记号“?”表示一种运算, 即 a?b= ab+a+b(a, b 为正实数). 若 k ?x 1?k =3,则 k 的值为________,此时函数 f (x)= 的最小值为________. x 答案:1 3 ) B. (-∞,1] D. (-∞,4) B. 2 3 D. 6 )

解析:1?k = k+1+k =3, 即 k + k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍), ∴k =1. 1?x x+x+1 1 f (x)= = =1+ x+ x x x ≥1+2=3,
2

当且仅当 x=

1 x

即 x=1 时等号成立.

8. [2013· 西安质检]函数 f (x)=1+loga x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx 1 1 +ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 答案:2 解析:由题知,函数图象恒过点 A (1,1),且点 A 在直线 mx+ny-2=0 上,所以 m+n 1 1 1 1 1 1 n m 1 =2,其中 mn>0,所以 + = ( + )(m+n)= (2+ + )≥ ×(2+2)=2,当且仅当 m=n m n 2m n 2 m n 2 =1 时取得最小值,故所求的最小值为 2. 9. [2013· 鹤岗模拟]若 a, b,c>0 ,且 a2 +ab +ac+bc= 4,则 2a +b+ c 的最小值为 ________. 答案:4 解析:由已知得 a +ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4, 则 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 ?a+b??a+c?=4, ∴2a+b+c 的最小值为 4. 三、解答题 10. [2013· 梅州质检]已知 lg(3x)+lgy= lg(x+y+1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解:由 lg(3x)+lgy= lg(x+y+1) x>0 ? ? 得?y>0 ? ?3xy=x+y+1 (1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2 xy +1, ∴3xy-2 xy -1≥0, 即 3( xy )2 -2 xy -1≥0, ∴(3 xy +1)( xy -1)≥0, ∴ xy ≥1,∴xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0, x+y 2 ∴x+y+1=3xy≤3· ( ), 2
2

3

∴3(x+y)2 -4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0, ∴x+y≥2, 当且仅当 x=y=1 时取等号, ∴x+y 的最小值为 2. 11. [2013· 房山区模拟]已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1) + + ≥8; a b ab 1 1 (2)(1+ )(1+ )≥9. a b 1 1 1 1 1 a+b 1 1 证明:(1) + + = + + =2( + ), a b ab a b ab a b ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴ + = + =2+ + ≥2+2=4, a b a b b a 1 1 1 1 ∴ + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 (2)方法一 ∵a>0,b>0,a+b=1,

a+b 1 b ∴1+ =1+ =2+ , a a a 1 a 同理,1+ =2+ , b b 1 1 ∴(1+ )(1+ ) a b b a =(2+ )(2+ ) a b b a =5+2( + )≥5+4=9. a b 1 1 1 ∴(1+ )(1+ )≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 方法二 1 1 1 1 1 1 1 1 (1+ )(1+ )=1+ + + . 由(1)知, + + ≥8, a b a b ab a b ab

1 1 1 1 1 故(1+ )(1+ )=1+ + + ≥9. a b a b ab 12. [2013· 三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、 舒适的生活环境, 计划建一个正八边形的休闲小区, 它的主体 造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面 积为 200 m2 的十字型区域.现计划在正方形 MNPQ 上建一花 坛,造价为 4200 元/m ,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)
2

4

铺花岗岩地坪,造价为 210 元/m2 ,再在四个空角上铺草坪,造价为 80 元/m2 . (1)设总造价为 S 元,AD 的长为 x m,试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)计划至少投入多少元,才能建造这个休闲小区. 解:(1)设 DQ=y, 则 x2 +4xy=200,y= 200-x2 . 4x

1 2 2 S=4200x +210×4xy+80×4× y 2 =38000+4000x2 + 400000 (0<x<10 2). 2 x

400000 2 (2)S=38000+4000x + 2 x ≥38000+2 16×10 =118000, 400000 当且仅当 4000x2 = 2 ,即 x= 10时,Smin =118000(元), x 即计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区.
8

11. 某种商品原来每件售价为 25 元,年销售量 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售 的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行 1 全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x 2 -600)万元 6 1 作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费 5 用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销 售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 11.【解】 (1)设每件定价为 x 元,依题意得 x -25 (8- ×0.2)x ≥25×8, 1 整理得 x2 -65x +1 000≤0, 解得 25≤x ≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 1 (2)依题意,不等式 ax ≥25×8+50+ (x 2 -600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x >25 时,a≥ + x + 有解, x 6 5 150 1 150 1 ∵ + x ≥2 · x =10(当且仅当 x =30 时,等号成立), x 6 x 6 ∴a≥10.2. ∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售 收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.
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