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四川省南充市龙门中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


四川南充龙门中学 2013-2014 学年度上期高中 2015 级期中考试 数 学 试 题(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.直线 2x+1=0 的倾斜角为( A.不存在 B. π 4 ) C. π 2 ) 3π D. 4

2.过两点(-1,1)和(0,3)的直线

在 x 轴上的截距为( 3 A.- 2 C.3
2 2

B.

3 2

D. -3

x y 3.设 P 是椭圆 + =1 上的点.若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 25 16 A.4 B.5
2 2

C.8

D.10 )

4.过点(0,1)的直线与 x +y =4 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为( A.2 C.3 B.2 3 D.2 5

5.平面内一动点 M 到两定点 F1、F2 距离之和为常数 2a,则点 M 的轨迹为( A.椭圆
2 2

)

B.圆

C. 椭圆或线段或不存在

D.不存在

6.已知圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值 范围是( ) 1 B.(0, ) 4 1 D.[- ,+∞) 4
2 2

1 A.(-∞, ] 4 1 C.(- ,0) 4

7.动点 A 在圆 x +y =1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3) +y =4 C.(2x-3) +4y =1
2 2 2 2 2 2

)

B.(x-3) +y =1 3 2 2 1 D.(x+ ) +y = 2 2 )

2

2

8.若点 P(1,1)为圆(x-3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 C.x+2y-3=0 9.已知椭圆 B.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0 +

=1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2

x2

y2

)

1

A.4 C.7

B.5 D.8

10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 → → OP·FP的最大值为( A.2 C.6 ) B.3 D.8

x2 y2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若直线 Ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+1=0 互相平行,则 A 的值为
2 2 2 2

.

12.已知两圆 x +y =10 和(x-1) +(y-3) =20 相交于 A、B 两点,则直线 AB 的方程 是 . 13.若实数 x、y 满足(x-2) +y =3,则
2 2

y 的最大值为 x

.

14. 在一椭圆中以焦点 F1,F2 为直径两端点的圆,恰好过短轴的两 顶点,则此椭圆的离心率 e 等于 15.如图,平面中的两条直线 l1 和 l2 相交于点 O. 对于平面上任意一点 M,若 p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离, 则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标” 根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答题应写出必要的解答过程或演算步骤) 16. (本题满分 10 分) 求圆心为(1,1),且与直线 x+y=4 相切的圆的标准方程.

17. (本题满分 12 分) 求经过 7x+8y=38 及 3x-2y=0 的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.

18. (本题满分 12 分)

? 12? 椭圆的焦距为 6,且经过点 P ?4, ?,求焦点在 x 轴上椭圆的标准方程. 5 ? ?

2

19. (本题满分 13 分) 已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l :(2 m+1)x+(m+1)y-7 m-4=0. (Ⅰ) 证明:不论 m 为何实数,直线 l 与圆恒交于两点; (Ⅱ) 求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.
2 2

20. (本题满分 14 分) 2 2 如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且 |MD|=

4 |PD|. 5

(Ⅰ) 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的长度. 5

21. (本题满分 14 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

3 ,左、右 2

两个焦点分别为 F1,F2 过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线与椭圆 C 相交于 M,N 两点,且|MN| =1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; → → (Ⅱ)设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足PA·AB=m-4(m∈R),试求点 P 的轨迹方程,使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上.

3

南充龙门中学 2013-2014 学年度上期高中 2015 级期中考试 数学(理科)参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 D 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 3 12. x+3y=0 13.

3

14.

2 2

15.

4

三. 解答题(本大题共 6 个小题, 10+12+12+13+14+14=75 分) |1+1-4| 16. 解: 半径为 = 2, 2 2 2 ∴ 圆的方程是(x-1) +(y-1) =2. 17. 解:易得交点坐标为(2,3) 设所求直线为 7x+8y-38+λ (3x-2y)=0, 38 38 即(7+3λ )x+(8-2λ )y-38=0,令 x=0,y= ,令 y=0,x= , 8-2λ 7+3λ 38 38 1 由已知, = ,∴λ = ,即所求直线方程为 x+y-5=0. 8-2λ 7+3λ 5 又直线方程不含直线 3x-2y=0, 当直线过原点时,在两轴上的截距也相等,3x-2y=0 亦为所求.
2 2 ,n ? 0 , m? n 18. 解:设椭圆的方程为 mx ? ny ? 1 , (m ? 0 将点 P1,P2 的坐标代入椭圆方程得到:



?6 m ? n ? 1 1 1 ,解得 m ? , n ? ? 3 9 ?3m ? 2n ? 1

故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 9 3

19. (1)证明:直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)= 0. ?2x+y-7=0, ?x=3, ? ? 由? 得 ? 所以直线 l 过定点(3,1). ? ? ?x+y-4=0 ?y=1. 2 2 而(3-1) +(1-2) <25,即点(3,1)在圆内部,所以直线 l 与圆恒交于两点. 1 5 (2)解: 过圆心(1,2)与点(3,1)的直线 l1 的方程为 y=- x+ .被圆 C 截得的弦长最小时 2 2 直线 l 必与直线 l1 垂直, 所以直线 l 的斜率 k1=2, 所以直线 l 的方程为 y-1=2(x-3), 即 2x-y-5=0. 20.解: (1)设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是 ( xP , yP ) , 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= 因为 P 在圆 x +y =25 上, 所以 x ? (
2
2 2

4 5 |PD|,所以 xP=x,且 yP= y. 5 4

5 2 x2 y 2 x2 y 2 y ) ? 25 ,整理得 ? ? 1 ,即 C 的方程是 ? ?1. 4 25 16 25 16 4 4 的直线方程是 y= (x-3), 5 5
4

(2)过点(3,0)且斜率为

设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y=

4 x2 y 2 ? ? 1 得: (x-3)代入 C 的方程 5 25 16

2 x 2 ( x ? 3)2 ? ? 1 ,化简得 x -3x-8=0, 25 25

所以 x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 ,所以线段 AB 的长度是: , x2 ? 2 2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?
即所截线段的长度是

16 41 41 )( x1 ? x2 ) 2 ? ? 41 ? , 25 25 5

41 . 5

21.解:(1)∵MF2⊥x 轴, 1 1 ∴|MF2|= ,由椭圆的定义得,|MF1|+ =2a, 2 2 1 1 2 1 2 2 2 ∵|MF1| =(2c) + ,∴(2a- ) =4c + , 4 2 4 由 e=
2

3 3 2 2 得c= a, 2 4
2

∴4a -2a=3a ,∴a>0,∴a=2, 1 2 2 2 2 ∴b =a -c = a =1, 4 ∴所求椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1), → → 设点 P 的坐标为(x,y),则PA=(-2-x,-y),AB=(2,-1), → → 由PA·AB=m-4 得-4-2x+y=m-4,∴点 P 的轨迹方程为 y=2x+m. 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B′(x1,y1),则由轴对称对的性质可得

x2

2

y1+1 1 y1-1 x1 -4-4m 2m- 3 =- , =2· +m,解得 x1= ,y1= , x1 2 2 2 5 5
∵点 B′(x1,y1)在椭圆上, -4-4m 2 2m-3 2 ∴( ) +4( ) =4, 5 5 3 2 整理得 2m -m-3=0,解得 m=-1 或 m= , 2 3 ∴点 P 的轨迹方程为 y=2x-1 或 y=2x+ . 2

5


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