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专题十四:几何证明选讲2013-2016高考数学全国卷(理)


1、 (2016 全国 I 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图, △ OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心, OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与 ⊙O 相切;

(II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

【答案】(I)见解析(

II)见解析

考点:四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 2、 (2015 全国 I 卷 22 题) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,AB 是 ? O 的直径,AC 是 ? O 的切线,BC 交 ? O 于 E

(I)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线;

(Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)60°

考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 3、 (2014 全国 I 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 【解析】 :.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以

? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
所以 ? D= ? E? ……………5 分
N

(Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC? 知 , MN⊥BC? 所以 O 在 MN 上,又 AD 不 是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E? ? ? 形. ……………10 分

4、 (2013 全国 I 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆 上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求

△BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE= 90 ,由勾股定理可得DB=DC.
0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG= 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG= 60 ,∠ABE=∠BCE=∠CBE= 30 ,
o
o

3 . 2

∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于

3 . 2

5、 (2016 全国 II 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点 作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB ? 1 ,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

【解析】 (Ⅰ)证明:∵ DF ? CE ∴ Rt△DEF ∽ Rt△CED ∴ ?GDF ? ?DEF ? ?BCF
DF CF ? DG BC

∵ DE ? DG , CD ? BC ∴
DF CF ? DG BC

∴ △GDF ∽△BCF ∴ ?CFB ? ?DFG ∴ ?GFB ? ?GFC ? ?CFB ? ?GFC ? ?DFG ? ?DFC ? 90? ∴ ?GFB ? ?GCB ? 180? . ∴B,C,G,F 四点共圆. (Ⅱ)∵E 为 AD 中点, AB ? 1 , ∴ DG ? CG ? DE ?
1 , 2

∴在 Rt△ GFC 中, GF ? GC , 连接 GB , Rt△BCG≌Rt△BFG ,

1 1 1 ∴ S四边形BCGF ? 2S△BCG =2 ? ?1? = . 2 2 2
6、 (2015 全国 II 卷 22 题) (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底 边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点。 (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。

7、 (2014 全国 II 卷 22 题) (本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 ? O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 ? O 相交 于点 B, C, PC=2PA, D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 ? O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2 【答案】 (1) 无 【KS5U 解析】 (1) (2)无

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠ PAB = ∠DEB =β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+∠BCE = ∠PAB+∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB +∠DBE ∴ β + α = β +∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

? AD ? DE = BD ? DC, PA2 = PB ? PC, PD = DC = PA, ∴BD ? DC = (PA- PB)PA= PB ? PC - PB? PA = PB( ? PC - PA) PB ? PA = PB ? 2 PB = PB2
8、 (2013 全国 II 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆。 D B E A F C

(1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。

9、 (2013 全国 III 卷 22 题) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
AB 的中点为 P ,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点. 如图,⊙O 中 ?

(I)若 ?PFB ? 2?PCD ,求 ?PCD 的大小; (II)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ,证明 OG ? CD .

【答案】 (Ⅰ) 60 ? ; (Ⅱ)见解析.

考点:1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆.


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