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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课件理

时间:2017-03-24


第7节 圆锥曲线的综合问题

最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关 系的思想方法.

2.了解圆锥曲线的简单 应用. 3.理解数形结合的思想.

第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系

知识链条完善
考点专项突破 解题规范夯实

知识链条完善

把散落的知识连起来

【教材导读】 若直线和圆锥曲线只有一个公共点,则直线和圆锥曲线相切吗? 提示:不一定相切,如图(1)、(2)所示.

即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点;与抛物线对

称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点,但此时它们的位置关系是
相交而不是相切.

知识梳理
1.直线和圆锥曲线的位置关系 已知直线 l:ax+by+c=0,圆锥曲线 M:f(x,y)=0.

?ax ? by ? c ? 0, 联立方程组 ? 消去 y,整理得 Ax2+Bx+C=0. ? f ( x, y) ? 0,
(1)若 A=0 且 B≠0,则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点. ①当曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的 渐近线 平行;

②当曲线为抛物线时,直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合. (2)若A≠0,则Δ =B2-4AC.

①当Δ >0时,直线和圆锥曲线M有 两个不同的
③当Δ <0时,直线和圆锥曲线M 没有 公共点.

公共点;

②当Δ =0时,直线和圆锥曲线M相切,只有 一个 公共点;

2.直线被圆锥曲线截得的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]
1 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] (k 为直线斜率). 2 k 3.直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法

= (1 ?

(1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用弦长公 式计算弦长. (2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标,弦中点

坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.
(3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略 判别式,判别式 大于零 是检验所求参数的值是否有意义的依据.

【重要结论】 1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论

(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切
线和一条与对称轴平行或重合的直线; (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切

线和一条与对称轴平行或重合的直线;
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与 对称轴平行或重合的直线.

3.直线与双曲线位置关系的有关结论 (1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交

点,两条切线和两条与渐近线平行的直线;
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,一条切线 和两条与渐近线平行的直线;

(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,两条与渐
近线平行的直线.

夯基自测
x2 y 2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 9 4

A )

(A)相交 (C)相离

(B)相切 (D)不确定

解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1, 显然直线恒过点A(1,1),而点A在椭圆内, 故直线和椭圆总相交.

x2 y 2 2.双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k, a b

则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( D (A)k>(C)k>
b a

)

(B)k< (D)-

b a

b b 或 k<a a

b b <k< a a
b b <k< . a a

解析:由双曲线渐近线的几何意义知-

3.过抛物线 y=2x2 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 等于 (

D )
(B)2

(A)-2

1 2
2

(C)-4

(D)-

1 16

解析:由 y=2x 得 x = 与 y=2x 交于 A(2

1 1 1 y,故抛物线的焦点坐标为 F(0, ),取直线 y= ,则其 2 8 8

1 1 1 1 1 1 1 , ),B( , ),所以 x1x2=(- )? =- . 4 8 4 8 4 4 16

4.已知圆 C 的圆心在抛物线 y =4x 上,且与直线 x+1=0 相切,则圆 C 必过定点 (

2

A )

(A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1)

解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,而动圆C与直线x+1=0相切, 即圆心C到准线的距离等于圆的半径r,故圆C过焦点F(1,0).

x2 y 2 5.(2015 河南二模)过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 A,B 两 25 16

点,F 是椭圆的一个焦点,则△ABF 面积的最大值是
x2 y 2 解析: + =1,a=5,b=4,c=3, 25 16

.

如图,S△ABF=S△OBF+S△AOF, 则当直线与 y 轴重合时,面积最大, 故最大面积为
1 ?3?8=12. 2

答案:12

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】 (1)若过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,则这样 的直线有( (A)1 条 ) (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

解析:(1)满足题意的直线共有3条;直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的 直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).故选C.

(2)(2016 兰州检测)若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点,则过点(m,n)的直
x2 y 2 线与椭圆 + =1 的交点个数为( 9 4

2

2

)

(A)至多一个 (C)1

(B)2 (D)0

解析:(2)因为直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,
5 2 m 2 n2 m 2 4 ? m 2 所以 >2,所以 m +n <4.所以 + < + =1m <1, 2 2 36 4 9 4 9 m ?n

4

2

2

x2 y 2 所以点(m,n)在椭圆 + =1 的内部, 9 4 x2 y 2 所以过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点有 2 个.故选 B. 9 4

反思归纳 用方法

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常

(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消 去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交 点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.

【即时训练】 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( (A)((C)(15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3

) (B)(0, (D)(15 ) 3 15 ,-1) 3

? ? y ? kx ? 2, 2 2 解析:由 ? 2 得 (1-k )x -4kx-10=0, 2 ? ?x ? y ? 6

设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),
?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 4(1 ? k ) ? (?10) ? 0, ? 15 则 ? x ? x ? 4k ? 0, 解得<k<-1.故选 D. 1 2 3 ? 1? k2 ? ?10 ? x1 x2 ? ? 0, 2 1? k ?

考点二 弦长问题
【例 2】 (2015 高考湖南卷)已知抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:
y 2 x2 + 2 =1(a>b>0)的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 ,过点 F 的直 2 a b ???? ???? 线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且 AC 与 BD 同向.
2

(1)求 C2 的方程;
解:(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1), 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a -b =1, ①
2 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 ,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y, 2 2

由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± 6 , 所以
9 6 + =1, 4 a 2 b2
2 2

3 ), 2



y 2 x2 联立①②得 a =9,b =8,故 C2 的方程为 + =1. 9 8

(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
解:(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3),D(x4,y4). ???? ???? ???? ???? 因为 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,所以 AC = BD , 从而 x3-x1=x4-x2, 即 x1-x2=x3-x4, 2 2 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4. ③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
? ? y ? kx ? 1, 由? 2 得 x2-4kx-4=0, ? ?x ? 4 y

而 x1,x2 是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k, x1x2=-4, ④

? y ? kx ? 1, ? 2 2 由 ? x2 y 2 得(9+8k )x +16kx-64=0, ?1 ? ? 9 ?8

而 x3,x4 是这个方程的两根,所以 x3+x4=x3x4=64 , 9 ? 8k 2
2

16k , 9 ? 8k 2



162 k 2 4 ? 64 将④⑤代入③得 16(k +1)= + , (9 ? 8k 2 )2 9 ? 8k 2

162 ? 9(k 2 ? 1) 6 2 2 即 16(k +1)= , 所以 (9+8k ) =16 ? 9, 解得 k= ± , (9 ? 8k 2 )2 4
2

即直线 l 的斜率为 ±

6 . 4

反思归纳

求弦长的方法

(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优

化解题过程.
(2)点距法:将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标, 再运用两点间距离公式求弦长.

(3)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元
二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然 后进行整体代入弦长公式求解.

x2 y 2 【即时训练】 设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率 a b

为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率;
解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= 为 y=x+c,其中 c= a 2 ? b 2 .
? y ? x ? c, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 y 2 消去 y,化简得 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

4 a,l 的方程 3

?2a 2c a 2 (c 2 ? b 2 ) (a +b )x +2a cx+a (c -b )=0,则 x1+x2= 2 ,x1x2= . a ? b2 a 2 ? b2
2 2 2 2 2 2 2

4 4ab2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2 |x2-x1|= 2[( x1 ? x2 ) ? 4x1x2 ] ,即 a= 2 , 2 3 a ?b
2

c 2 a 2 ? b2 故 a =2b ,所以 E 的离心率 e= = = . a 2 a
2 2

(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.
解:(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知
x1 ? x2 2c c ?a 2 c x0= = 2 =,y . 0=x0+c= 2 2 3 3 a ?b

由|PA|=|PB|,得 kPN=-1,即
x2 y 2 的方程为 + =1. 18 9

y0 ? 1 =-1,得 c=3,从而 a=3 2 ,b=3.故椭圆 E x0

考点三 中点弦问题
x2 y 2 【例 3】(1)(2016 武汉调研)已知椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0), a b

过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(
x2 y 2 x2 y 2 (A) + =1 (B) + =1 45 36 36 27 x2 y2 x2 y 2 (C) + =1 (D) + =1 27 18 18 9

)

2 2 x12 y12 x2 y2 解析:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 + 2 =1, 2 + 2 =1,两式作差并化简变形 a b a b

y1 ? y2 y ?y b 2 ( x1 ? x2 ) 0 ? (?1) 1 2 2 得 =- 2 ,而 1 2 = = ,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 a =2b , 3 ?1 2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 )
x2 y 2 又因为 a -b =c =9,于是 a =18,b =9.所以 E 的方程为 + =1. 18 9
2 2 2 2 2

答案: (1)D

y2 (2)已知双曲线 x - =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在 3
2

抛物线 y2=18x 上,则实数 m 的值为
解析:(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),

.

? 2 y12 ? 1, ① ? x1 ? 3 ? 2 ? 2 y2 1 ? 1, ② 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1),显然 x1≠x2. 则 ? x2 ? 3 3 ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ③ ? ? y1 ? y2 ? yx0 , ④

所以

y2 ? y1 y ?y y ? 2 1 =3,即 kMN? 0 =3,因为 M,N 关于直线 y=x+m 对称, x2 ? x1 x2 ? x1 x0

所以 kMN=-1,所以 y0=-3x0,又因为 y0=x0+m, 所以 P(m 3m 9 m , ),代入抛物线方程得 m2=18?(- ),解得 m=0 或-8,经检验都符合. 4 4 4 16

答案: (2)0或-8

反思归纳

处理中点弦问题常用的求解方法
y1 ? y2 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线 x1 ? x2

(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减, 式中含有 x1+x2,y1+y2,

的斜率,借用中点坐标公式即可求得斜率.

(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为
一元二次方程后由根与系数的关系求解.

【即时训练】 (1)(2016 江西九校联考)设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 AB 的中点 M 作准线的垂线与抛物线交于 点 P,若|PF|=
3 ,则弦长|AB|为( 2

2

)

(A)2 (B)3 (C)5 (D)6

解析:(1)抛物线 C 的焦点 F(1,0),准线为 x=-1,由题意可知直线 AB 的斜率存在且不为 0, 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
? ? y ? k ( x ? 1), 由? 2 消去 y 得, y ? 4 x ? ?

2k 2 ? 4 k x -(2k +4)x+k =0,x1+x2= ,x1x2=1. k2
2 2 2 2

设点 P 的坐标为(x0,y0),
y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2k 1 2 1 2 1 1 2 2k 2 ? 4 可得 y0= = = (k? -2k)= ,x = , 可得 P( , ), y 0= 0 2 2 4 2 k k2 k2 k k2

因为|PF|=

1 4 3 3 ,所以 (1 ? 2 )2 ? 2 = , 2 2 k k

解得 k2=2,因此 x1+x2=4, 根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=4+2=6.

答案: (1)D

x2 y 2 (2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是 36 9

.

解析:(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2 x12 y12 x2 y2 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9

两式相减得

y1 ? y2 x ?x =- 1 2 . x1 ? x2 4( y1 ? y2 )

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以
y1 ? y2 1 1 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 2 x1 ? x2

即 x+2y-8=0.

答案: (2)x+2y-8=0

备选例题
【例 1】如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线 于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是
解析: 如图,分别过点 A,B 作准线的垂线 AE,BD, 分别交准线于点 E,D, 则|BF|=|BD|,因为|BC|=2|BF|, 所以|BC|=2|BD|,所以∠BCD=30°,又|AE|=|AF|=3, 所以|AC|=6,即点 F 是 AC 的中点,根据题意得 p= 所以抛物线的方程是 y =3x.
2

.

3 , 2

答案:y2=3x

【例 2】 (2014 高考辽宁卷)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一
x2 y 2 个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).双曲线 C1: 2 - 2 =1 过点 P a b

2

2

且离心率为 3 .

(1)求 C1 的方程;

解:(1)设切点坐标为(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线斜率为y-y0=-

x0 ,切线方程为 y0

x0 (x-x0),即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面 y0 4 4 8 1 ? ? = . 2 x0 y0 x0 y0

积为 S=

由 x 02 + y 02 =4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2 时,x0y0 有最大值,即 S 有最小值,
2 ?2 ? ? 1, ? 2 2 因此点 P 的坐标为( 2 , 2 ).由题意知 ? a b ?a 2 ? b 2 ? 3a 2 , ?

y2 解得 a =1,b =2,故 C1 的方程为 x - =1. 2
2 2 2

(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B 两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
解:(2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3 ,0),( 3 ,0),
x2 y2 由此设 C2 的方程为 + =1,其中 b1>0. 3 ? b12 b12

由 P( 2 , 2 )在 C2 上,得

2 2 2 b + =1, 解得 1 =3, 2 2 3 ? b1 b1

x2 y 2 因此 C2 的方程为 + =1.显然,l 不是直线 y=0. 6 3

设 l 的方程为 x=my+ 3 ,点 A(x1,y1),B(x2,y2),
? x ? my ? 3, ? 由 ? x2 y 2 得(m2+2)y2+2 3 my-3=0. ?1 ? ? 3 ?6

? 2 3m y1 ? y2 ? ? 2 ,① ? ? m ? 2 又 y1,y2 是方程的根,因此 ? ? y y ? ?3 , ② 1 2 ? m2 ? 2 ?

由 x1=my1+ 3 ,x2=my2+ 3 得
? 4 3 , ③ ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? m ?2 ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m . ④ 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因 AP =( 2 -x1, 2 -y1), BP =( 2 -x2, 2 -y2),由题意知 AP ? BP =0,

所以 x1x2- 2 (x1+x2)+y1y2- 2 (y1+y2)+4=0, ⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6 m+4 6 -11=0, 解得 m= x-(

3 6 6 -1 或 m=+1.因此直线 l 的方程为 2 2

3 6 6 -1)y- 3 =0 或 x+( -1)y- 3 =0. 2 2

解题规范夯实

把典型问题的解决程序化

直线与圆锥曲线的综合应用

x2 y 2 【典例】 (2015 高考新课标全国卷Ⅱ)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离 a b

心率为

2 ,点(2, 2 )在 C 上. 2

(1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

审题点拨 关键点 离心率 e=
2 ,点(2, 2 )在 C 上 2

所获信息 确定 a,b,c 关系

l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 直线 l 斜率、截距不为 0 l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中 联立方程组、利用根与系数关系和中 点为 M 点坐标公式 解题突破:利用已知,先求出 a,b 得到 C 的方程;设出直线方程,联立方程,利 用根与系数关系,得到 AB 的中点坐标,利用斜率公式求得定值

满分展示:
2 2 4 a 2 ? b2 (1)由题意有 = , 2 + 2 =1,………………………………2 分 b 2 a a

解得 a =8,b =4,……………………………………………………………4 分
x2 y 2 所以 C 的方程为 + =1.………………………………………………5 分 8 4

2

2

(2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).……6 分
x2 y 2 将 y=kx+b 代入 + =1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 8 4

故 xM =

x1 ? x2 ?2kb b = 2 ,yM=k?xM+b= 2 .…………………………9 分 2 2k ? 1 2k ? 1

于是直线 OM 的斜率 kOM=

yM 1 1 =,即 kOM?k=- .…………………11 分 2k 2 xM

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. ……………………………………………………………………………12 分

答题模板:第一步:由题意列出关于a,b的关系式;

第二步:求出a,b进而写出椭圆方程;
第三步:设出直线方程并与椭圆方程联立; 第四步:利用根与系数的关系,求出点M的坐标进而求得OM斜率; 第五步:得出kOM与l斜率乘积为定值.


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导与练重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题三理

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