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第2讲-3 直线的参数方程




直线的参数方程

课标解读 2.能用直线的参数方程解决简单问题.

1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义.

直线的参数方程
?x=x0+tcos α ? π 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α(α≠ )的直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 2 ?y=y0+tsin α

? → 其中参数 t 的几何意义是:|t|是直线 l 上任一点 M(x,y)到点 M0(x0,y0)的距离,即|t|=|M0M|.

1.若直线 l 的倾斜角 α=0,则直线 l 的参数方程是什么? ?x=x0+t, ? 【提示】 参数方程为? (t 为参数) ?y=y0. ? 2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义?
? ?x=x0+tcos α, 【提示】 过定点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t ?y=y0+tsin α, ? → 为参数),其中 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点,任意一点 M(x,y)为终点的有向线段M0M的 → 长度,即|t|=|M0M|. → ①当 t>0 时,M0M的方向向上; → ②当 t<0 时,M0M的方向向下;

③ 合



t



0







M





M0

重 .

直线的参数方程

?x=- 3+ 23t, 已知直线 l:? 1 ?y=2+2t,

(t 为参数).

(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若点 M(-3 3,0)在直线 l 上,求 t,并说明 t 的几何意义. 【思路探究】 将直线 l 的参数方程化为标准形式,求得倾斜角,利用参数的几何意义 求得 t. 【自主解答】 (1)由于直线 l: π x=- 3+tcos , 6 π (t 为参数)表示过点 M0(- 3,2)且斜率为 tan 的直线, 6 π y=2+tsin 6 π 故直线 l 的倾斜角 α= . 6 (2)由(1)知,直线 l 的单位方向向量 π π 3 1 e=(cos ,sin )=( , ). 6 6 2 2 ∵M0(- 3,2),M(-3 3,0), 3 1 → ∴M0M=(-2 3,-2)=-4( , )=-4e, 2 2 ∴点 M 对应的参数 t=-4, → → 几何意义为|M0M|=4,且M0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0 的左下方).

? ? ?

1.一条直线可以由定点 M0(x0,y0),倾斜角 α(0≤α<π)惟一确定,直线上的动点 M(x, ? ?x=x0+tcos α, y)的参数方程为? (t 为参数),这是直线参数方程的标准形式. ? ?y=y0+tsin α b 2.直线参数方程的形式不同,参数 t 的几何意义也不同,过定点 M0(x0,y0),斜率为 的 a ?x=x0+at, ? 直线的参数方程是? (a、b 为常数,t 为参数). ? ?y=y0+bt 5π 设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; ? ?x=2cos θ, (2)设此直线与曲线 C:? (θ 为参数)交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|. ?y=4sin θ ? 【解】 (1)直线 l 的参数方程为 3 π=-3- t, ?x=-3+tcos5 6 2 ? 5 t ?y=3+tsin6π=3+2.

(t 为参数)

(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去,得 4x2+y2-16=0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中,得 3 1 4(-3- t)2+(3+ t)2-16=0. 2 2 2 即 13t +4(3+12 3)t+116=0.

由 t 的几何意义,知 |PA|· |PB|=|t1· t2|, 116 故|PA|· |PB|=|t1· t2|= . 13 直线参数方程的简单应用 ? ?x=1+2t, 已知直线的参数方程为? (t 为参数),则该直线被圆 x2+y2=9 截得 ?y=2+t ? 的弦长是多少? 【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数 t 的几何意义,所以首先要把原参数方程 转化为标准形式 2 x=1+ t′, 5 再把此式代入圆的方程, 整理得到一个关于 t 的一元二次方程, 弦 1 y=2+ t′, 5

? ? ?

长即为方程两根之差的绝对值.
? ?x=1+2t, 【自主解答】 将参数方程? (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为 ?y=2+t ?

?x=1+ 5 t′, ? 1 ?y=2+ 5 t′

2

(t′为参数)

代入圆方程 x2+y2=9, 2 1 得(1+ t′)2+(2+ t′)2=9, 5 5 整理,有 5t′2+8t′-4 5=0. 由根与系数的关系,t′1+t′2=- t′1· t′2=-4. 根据参数 t′的几何意义. |t′1-t2′|= ?t′1+t′2?2-4t′1t′2= 12 5 故直线被圆截得的弦长为 . 5 12 5 . 5 8 , 5

1.在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.本题易错 的地方是:将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解,忽视了参数 t 的几何意义. 2.根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; t1+t2 (3)设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM= (由此可求|M2M|及中点坐标). 2 π 若将条件改为“直线 l 经过点 A(1,2),倾斜角为 ,圆 x2+y2=9 不变”,试求: 3 (1)直线 l 的参数方程; (2)直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交点到点 A 的距离之积.

【解】

?x=1+2, (1)直线 l 的参数方程为? 3 ?y=2+ 2 t
t 代入 x2+y2=9,得

t

(t 为参数).

?x=1+2, (2)将? 3 ?y=2+ 2 t

t2+(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数 t 的几何意义,得直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交点到点 A 的距离之积为|t1t2|=4. 参数方程与极坐标的综合问题

?x=3- 22t, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t

(t 为参数).在极

坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 【思路探究】 (1)利用公式可求. (2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程,求交点 A、B 的坐标,也可考虑利用 t 的几何意义求解. 【自主解答】 (1)由 ρ=2 5sin θ, 得 ρ2=2 5ρsin θ. ∴x2+y2-2 5y=0,即 x2+(y- 5)2=5. (2)法一 直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5. 与圆 C:x2+(y- 5)2=5 联立,消去 y,得 x2-3x+2=0, ?x=1 ?x=2, 解之得? 或? ?y=2+ 5 ?y=1+ 5. 不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5). 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2. 法二 将 l 的参数方程代入 x2+(y- 5)2=5,得(3- 即 t2-3 2t+4=0,(*) 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0. 故可设 t1,t2 是(*)式的两个实根. ∴t1+t2=3 2,且 t1t2=4. ∴t1>0,t2>0. 又直线 l 过点 P(3, 5), ∴由 t 的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=3 2. 1.第(2)问中,法二主要运用直线参数方程中参数 t 的几何意义,简化了计算. 2.本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程,然后去解决问题,这是考生在解决 参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路. 2 2 2 t) +( t)2=5, 2 2

? ?x=2cos φ (2012· 课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为 ?y=3sin φ ? 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的 π 顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3 (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π π 【解】 (1)由已知可得 A(2cos ,2sin ), 3 3 π π π π B(2cos ( + ),2sin( + )), 3 2 3 2 π π C(2cos ( +π),2sin( +π)), 3 3 π 3π π 3π D(2cos ( + ),2sin( + )), 3 2 3 2 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cos φ, 3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=(2cos φ-1)2+( 3-3sin φ)2+(- 3-2cos φ)2+(1-3sin φ)2+(-1-2cos φ)2+(- 3-3sin φ)2+( 3-2cos φ)2+(- 1-3sin φ)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1,∴S 的取值范围是[32,52].

(教材第 39 页习题 2.3 第 1 题) π 设直线 l 经过点 M0(1,5)、倾斜角为 . 3 (1)求直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 和直线 x-y-2 3=0 的交点到点 M0 的距离.
? ?x=2s+1, (2013· 湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1:? (s 为参 ?y=s ? ? ?x=at, 数)和直线 l2:? (t 为参数)平行,则常数 a 的值为________. ?y=2t-1 ? 【命题意图】 考查参数方程的理解、两直线的位置关系.将参数方程消去参数后得到 平面直角坐标系下的方程是考查转化与化归的能力, 由平面直角坐标系下的方程及两直线平 行得到 a 的值是考查运算求解能力. ?x=2s+1, ? 【解析】 由? 消去参数 s,得 x=2y+1. ? ?y=s ? ?x=at, 由? 消去参数 t,得 2x=ay+a. ?y=2t-1 ? ∵l1∥l2, 2 1 ∴ = ,∴a=4. a 2 【 答





4

?x=-2+tcos 60° , ? 1.直线? (t 为参数)的倾斜角 α 等于( ? ?y=3+tsin 60° A.30° B.60° C.-45° D.135°

)

【解析】 由直线的参数方程知倾斜角 α 等于 60° ,故选 B. 【答案】 B ? ?x=1+tcos α 2.直线? (α 为参数,0≤a<π)必过点( ) ?y=-2+tsin α ? A.(1,-2) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(2,-1) 【解析】 直线表示过点(1,-2)的直线. 【答案】 A

?x=-1- 22t 3.已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t

(t 为参数),则直线 l 的斜率为(

)

A.1 B.-1 2 2 C. D.- 2 2 【解析】 消去参数 t,得方程 x+y-1=0, ∴直线 l 的斜率 k=-1. 【答案】 B ?x=1-2t ? 4.(2013· 濮阳模拟)若直线? (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k= ? ?y=2+3t ________. ? ?x=1-2t 3 7 【解析】 将? 化为 y=- x+ , 2 2 ?y=2+3t ? 3 ∴斜率 k1=- , 2 显然 k=0 时,直线 4x+ky=1 与上述直线不垂直. 4 ∴k≠0,从而直线 4x+ky=1 的斜率 k2=- . k 4 3 依题意 k1k2=-1,即- ×(- )=-1, k 2 ∴k=-6. 【 答 案 】 6



(时间 40 分钟,满分 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( ) ? ?x=1+t, A.? (t 为参数) ? ?y=3+t
?x=1-t, ? B.? (t 为参数) ?y=5-2t ? ? ?x=-t, C.? (t 为参数) ?y=1-2t ?

?x=2+5 5t, D.? 5 ?y=5+ 5 t

2

(t 为参数)

【解析】 题目所给的直线的斜率为 2,选项 A 中直线斜率为 1,选项 D 中直线斜率为 1 ,所以可排除选项 A、D.而选项 B 中直线的普通方程为 2x-y+3=0,故选 C. 2 【答案】 C ? ?x=-1-t 2.(2013· 许昌模拟)极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图 ? ?y=2+t 形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线 【解析】 ∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ, 1 1 即 x2+y2=x,即(x- )2+y2= , 2 4 ∴ρ=cos θ 所表示的图形是圆. ?x=-1-t ? 由? (t 为参数)消参得:x+y=1,表示直线. ? ?y=2+t 【答案】 D x=3+4t ? ? 3.原点到直线? (t 为参数)的距离为( ) 3 y=- +3t ? 2 ? A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 消去 t,得 3x-4y-15=0, ∴原点到直线 3x-4y-15=0 的距离 |3×0-4×0-15| d= =3. 32+?-4?2 【答案】 C 1 x=1+ t 2 4.直线 ,(t 为参数)和圆 x2+y2=16 交于 A、B 两点,则 AB 的中点 3 y=-3 3+ t 2

? ? ?

坐标为( ) A.(3,-3) B.(- 3,3) C.( 3,-3) D.(3,- 3) t 3 【解析】 将 x=1+ ,y=-3 3+ t 代入圆方程, 2 2 t 3 得(1+ )2+(-3 3+ t)2=16, 2 2 ∴t2-8t+12=0,则 t1=2,t2=6, t1+t2 因此 AB 的中点 M 对应参数 t= =4, 2 1 3 ∴x=1+ ×4=3,y=-3 3+ ×4=- 3, 2 2 故 AB 中点 M 的坐标为(3,- 3). 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

? ?x=t, 5.(2013· 湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? (t 为参数)过椭圆 ?y=t-a, ? ? ?x=3cos φ, C:? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. ? ?y=2sin φ ?x=t, ? 【解析】 直线 l:? 消去参数 t 后得 y=x-a. ?y=t-a ? ? ?x=3cos φ, x2 y2 椭圆 C:? 消去参数 φ 后得 + =1. 9 4 ?y=2sin φ ? 又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3. 【答案】 3 6 . (2012· 广东高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

?x=1- 2 t, ?x= 5cos θ, π (θ 为参数,0≤θ≤ )和? ? 2 2 ?y= 5sin θ
2

?y=- 2 t

(t 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点

坐标为________. 【解析】 曲线 C1 和 C2 的普通方程分别为 ?x2+y2=5 ① ? ? (0≤x≤ 5,0≤y≤ 5) ? ② ?x-y=1
? ?x=2, 联立①②解得? ?y=1. ? ∴C1 与 C2 的交点坐标为(2,1). 【答案】 (2,1) 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) ?x=-3+t 7.化直线 l 的参数方程? ,(t 为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几 ?y=1+ 3t 何意义. ?x=-3+t, 【解】 由? 消去参数 t,得 ?y=1+ 3t

直线 l 的普通方程为 3x-y+3 3+1=0. π 故 k= 3=tan α,即 α= . 3 π 因此直线 l 的倾斜角为 . 3 ?x+3=t, 又? 得(x+3)2+(y-1)2=4t2, ?y-1= 3t. ∴|t|= ?x+3?2+?y-1?2 . 2

→ 故|t|是 t 对应点 M 到定点 M0(-3,1)的向量M0M的模的一半. 8.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x

?x= 22t+1, 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是? 2 ?y= 2 t,

(t 为参数)求直线

l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长. 【解】 由 ρ=4cos θ,得 ρ2=4ρcos θ. ∴直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 即(x-2)2+y2=4.

?x= 22t+1, 直线 l 的参数方程? 2 ?y= 2 t.
化为普通方程为 x-y-1=0.

(t 为参数)

曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为

1 2 = , 2 2 1 4- = 14. 2

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 2

? ?x=t+1, 9.(2013· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参 ?y=2t ?
2 ? ?x=2tan θ, ? 数),曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求 ?y=2tan θ ?

出它们的公共点的坐标.
? ?x=t+1, 【解】 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t+1,得 t=x-1,代 ?y=2t ? 入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x. ? ?y=2?x-1?, 1 联立方程组? 2 解得公共点的坐标为(2,2),( ,-1). 2 ?y =2x, ?

教师备选

?x=-1+ 22t 10.(2012· 沈阳模拟)已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 2 t

,(t 为参数),曲线 C 的

sin θ 极坐标方程是 ρ= , 以极点为原点, 极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系, 点 M(-1,0), 1-sin2θ 直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. (1)求直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求|MA|· |MB|的值.

【解】

?x=-1+ 22t (1)直线 l:? 2 ?y= 2 t

,(t 为参数)的直角坐标方程为 x-y+1=0,所以

π 极坐标方程为 2ρcos(θ+ )=-1, 4 sin θ 曲线 C:ρ= 即(ρcos θ)2=ρsin θ, 1-sin2θ 所以曲线的普通方程为 y=x2.

?x=-1+ 22t (2)将? 2 ?y= 2 t

,(t 为参数)

代入 y=x2 得 t2-3 2t+2=0, ∴t1t2=2,∴|MA|· |MB|=|t1t2|=2.


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