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2015年北京市各区高三理科数学分类汇编----函数与导数


2015 年北京高三理科数学试题分类汇编----函数与导数
2015 一模试题(理科) 2. (15 年延庆一模理)下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是( A. y ? ? )

1 x

B. y ? ln | x |

C. y ? sin x

D. y ? ?

r />? x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

(8) (15 年海淀一模理)某地区在六年内第 x 年的生产总值 y (单位:亿元)与 x 之间的 关系如图所示,则下列 四个时段中, 生产总值的年平均增长率 最高的是 ( ) ......
y

(A)第一年到第三年 (B)第二年到第四年 (C)第三年到第五年 (D)第四年到第六年

O

1

2

3

4

5

6

x

(8) (15 年东城一模理)已知函数 f ( x) ? 2mx2 ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任意 实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 (A) (0, 2) (C) (2,8) (B) (0,8) (D) (??, 0)
x x

1 2 ?1? ?1? 6.(15 年朝阳一模理)设 x1 , x2 , x3 均为实数,且 ? ? ? log 2 ( x1 ? 1) , ? ? ? log3 x2 , ? 3? ? 3?

?1? ? ? ? log 2 x3 则 ? 3?

x3

A. x1 ? x3 ? x2

B. x3 ? x2 ? x1

C.

x3 ? x1 ? x2

D. x2 ? x1 ? x3

? x 3 , x ? a, ? (14) (15 年海淀一模理) 设 f ( x) ? ? 2 若存在实数 b , 使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有 ? ? x , x ? a.
两个零点,则 a 的取值范围是 . 14. (15 年西城一模理)如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x ,其余棱长均为 1, 记四面体 ABCD 的体积为 F ( x ) ,则函数 F ( x ) 的单调增区间是____;最大值为____.

(13) (15 年东城一模理)已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 则 u 2 ? v 2 的最小值 (2, 0) 成中心对称.若 u , v 满足不等式组 ? ? f (u ? v ? 1) ? 0,
为 . (14) (15 年东城一模理) 已知 x ? R , 定义:A( x) 表示不小于 x 的最小整数. 如 A( 3) ? 2 ,

A(?1.2) ? ?1 .
若 A(2 x+1) ? 3 ,则 x 的取值范围是 若 x ? 0 且 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则 x 的取值范围是 ; .
2

12. (15 年丰台一模理) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f ( x) ? x ? 2 x , 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围 是____. 14. (15 年石景山一模理)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,都 存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四 个集合: ① M ? {( x, y )| y ?

1 }; x
x

② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

③ M ? {( x, y)| y ? e ? 2} ; 其中是“垂直对点集”的序号是

8. (15 年顺义一模理) 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数, 当 x ? 0 时, 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且当 x ? [0,1) 时,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,给出下列命题


f (2014) ? f (?2015) ? 0 ;

②函数 f ( x ) 在定义域上是周期为 2 的函数;

③直线 y ? x 与函数 f ( x ) 的图象有 2 个交点;④函数 f ( x ) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的是 A. ①,② B. ②,③

C. ①,④

D. ①,②,③,④

14. (15 年房山一模理)已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对 ?x ? R , 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立. 当 x1 ,x2 ?[0, 2] , 且 x1 ? x2 时, 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, x1 ? x2

给出下列命题: (1) f (2) ? 0 ; (2)直线 x ? ?4 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴; ( 3) 函数 y ? f ( x) 在 [?4, 4] 上有四个零点; (4) f ? 2015? ? f ?1? .其中所有正确命题的序号为

____ .
(10) (15 年东城一模理) 曲线 y ? sin x(0 ? x ? ?? 与 x 轴围成的封闭区域的面积为 9. (15 年丰台一模理)定积分 .

?

?

0

( x ? cos x)dx ? ____.

(18) (15 年海淀一模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) .

18. (15 年西城一模理) (本小题满分 13 分) 设 n ? N* ,函数 f ( x) ?

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ? 1 零点个数,并说明理由; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1的两侧,求 n 的所有可能取 值.

(18) (15 年东城一模理) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? x 的零点个数.

15. (15 年朝阳一模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x , x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)设 x ? m (m ? R ) 是函数 y ? f ( x) 图象的对称轴,求 sin 4m 的值.

18. (15 年朝阳一模理) (本小题满分 13 分)

x2 ? (a ? 1) x , a ? R . 2 (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ) 当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的零点个数.
已知函数 f ( x) ? a ln x ?

18.(15 年丰台一模理) (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值.

18. (15 年石景山一模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a ? 0) . x

18.(15 年顺义一模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a2 x2 ? ax ? ln x . (I)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)设 g ( x) ? a2 x2 ? f ( x) ,且函数 g ( x) 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? // l ,且 l ? 在

y 轴上的截距为 1.求证:无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方.

18. (15 年房山一模理) (本小题共 13 分)

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2 (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
已知 f ( x) ? ? (Ⅲ)若 f ( x ) 在 ?0, ??? 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

18.(15 年延庆一模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x 1 ( a 为常数)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 , 2 x?a

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [t , ??)(t ? Z ) 上有极值,求 t 的取值范围.

20.(15 年延庆一模理) (本小题满分 13 分) 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

?? 1, x ? M ,对于两个集合 M , N ,定义集合 ?1, x ? M

}. M ? N ? {x | f M ( x) ? f N ( x) ? ?1}. 已知 A ? {1,2,3,4,5,6} , B ? {1,3,9,27,81
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数, 求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B) 的最小值; (Ⅲ)求有多少个集合对 ( P, Q) 满足 P, Q ? ( A ? B) , 且 ( P ? A) ? (Q ? B) ? A ? B .

2015 二模试题(理科) (2) (15 年海淀二模理)设 a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 ,则( (A) b ? c ? a (B) c ? b ? a
4



(C) a ? b ? c
4

b?a?c (D )

(2) (15 年东侧二模理)设 a ? log 4 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,则 a , b , c 的大小关系是 (A) a ? c ? b (C) c ? b ? a 4. (15 年丰台二模理)函数 f ( x ) ? ? (A) 1 ? ?? (C) 1 ? ? (B) 1 ? (B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

? ? x ? 1, x ? 0, 的所有零点的和等于 2 cos x ? 1, ? 2 ? ? x ? 0 ? ?

3? 2 ? (D) 1 ? 2
,若对任意 ,都有

7. (15 年朝阳二模理)已知函数

成立,则实数 m 的取值范围是(

) .

7. (15 年昌平二模理)已知函数 y ? f ( x) ( x ?R)是奇函数,其部分图象如图所示,则在

(?2,0) 上与函数 f ( x) 的单调性相同的是(
A. y ? x2 ? 1 C. y ? ?
x ? ?e ( x ? 0) ?x ? ?e ( x ? 0)



y

B. y ? log2 x D. y ? cos x

1 O 2

x

13. (15 年朝阳二模理) 已知点 在函数 点, 点 , 则 , 中, 面积的最大_____. 的图像上,则数列 的通项公式为__________;设 O 为坐标原

2. (15 年昌平二模理) ? (2 x3 ? 1)dx等于
0

1

A. ?

1 2

B.

2 3

C. 1

D. 6

(6) (15 年海淀二模理)已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出 100 粒豆子, 记下落入阴影区域的豆子数.通过 10 次这样的试验, 算得落入阴影区域的豆 子的平均数约为 33,由此可估计 ( )

?

1

0

f ( x)dx 的值约为
3

y

(A)

99 100

(B)

3 10

(C)

9 10

(D)

10 11

O

1

x

(7) (15 年海淀二模理) 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? ( x ? 1) e 那么函数 f ( x ) 的极值点的个数是( (A)5 (B)4 ) (C)3 (D)2

3 x ?1

.

(7( )15 年东城二模理) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 x ? [?3,?1) 时, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2015) ? ( ) f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ,当 x ? [?1,3) 时,f ( x) ? x , (A) 336 (B) 355 (C) 1676 (D) 2015

14. (15 年西城二模理)如图, 正方形 ABCD 的边长为 2,O 为 AD 的中点, 射线 OP 从 OA 出 发,绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经 过的在正方形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三 个结论: 1 f (π) ? 3 ; ○ 3 2 π π π ○ 2 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 4 ; 2 2 2
π ○ 3 任 意 x1 , x2 ? ( , π) , 且 x1 ? x2 , 都 有 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0. x1 ? x2

其中所有正确结论的序号是_________.

3.直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 所围成的封闭图形的面积为( (A)

) (D)

22 3 1 ? ln x . x2

(B)

28 3

(C)

32 3

34 3

(18) (15 年海淀二模理) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线 y ?

ln x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1 . x

18. (15 年西城二模理) (本小题满分 13 分) 1? x 已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . 1 ? ax 2 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f ( x ) 的单调区间;
4 1

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对于任意的实数 x , 都有 | f ( x) |≤ m 成立.

(18) (15 年东城二模理) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? e? x . (Ⅰ)当 a ? e2 时,求 f ( x ) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .

19. (15 年朝阳二模理) (本小题共 14 分) 已知函数 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 . 的单调区间; 成立, 求 a 的取值范围; .

(Ⅱ) 若在区间(1,2)上存在不相等的实数 (Ⅲ)若函数 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,求证:

20.(15 年丰台二模理) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln ax ? 1 ( a ? 0 ). x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)如果关于 x 的方程 ln x ? 1 ? bx 有两解,写出 b 的取值范围(只需写出结论) ; (Ⅲ)证明:当 k ? N* 且 k ? 2 时, ln 20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)函数的定义域为 {x x ? 0}.

k 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ln k . 2 2 3 4 k

ln ax ? 1 , x ? ln ax 所以 f ?( x) ? . x2
因为 f ( x ) ?

1 . a 1 1 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增; a a 1 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( , ?? ) 上单调递减. a a 1 x? 所 以 当 时 a 1 f ( 最大值 ? x ) ? . f( ) a ???????? 6分 a 0 ? b ?1 l x? n ? ( Ⅱ ) 当 时 , 方 程
因为 a ? 0 ,所以当 f ?( x) ? 0 时, x ? 解. (Ⅲ)由(Ⅰ)得 ????????8 分



b 1 有x



ln x ? 1 1 ? 1 ,变形得 1 ? x ? ln ,当 x ? 1 等号成立.所以 x x

1?

1 ? ln 2 , 2 2 3 1 ? ? ln , 3 2
??

1?


k ?1 k ? ln , k k ?1
以 得 到 当

k ? N*



k?2





1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? ? ln k . ????????10 分 2 3 4 k ln x ? 1 ? 1 ,变形得 ln x ? x ? 1 ,当 x ? 1 等号成立.所以 由(Ⅰ)得 x

3 ? 2 4 ln ? 3 5 ln ? 4 ln

3 ?1 , 2 4 ?1 , 3 5 ?1 , 4

18.(15 年昌平二模理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R. (I)若函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (II) 在(I)的条件下,求函数 f ( x) 的单调区间; (III) 若 x ? 1时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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