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高中数学竞赛数列问题


高中数学竞赛数列问题
一、 二、 1. 高考数列知识及方法应用(见考纲) 二阶高次递推关系 因式分解降次。例:正项数列{an},满足 2
S n ? a n ? 1 ,求

an(化异为

同后高次) 2. 两边取对数降次。例:正项数列{an},a1=1,且 an·an+12 = 36,求 an



线性递推数列的特征方程法

定理 1:若数列{an}的递推关系为 an+2=λ1an+1+λ2an,则设特征方程 x2=λ1x+λ2, 且此方程有相异两根 x1,x2(x1≠x2) ,则必有 an=c1x1n+c2x2n , 其 中 c1 , c2 由 此 数 列 已 知 前 2 项 解 得 , 即
?a1 ? c1 x1 ? c 2 x 2 ? 2 2 ?a 2 ? c1 x1 ? c 2 x 2

或由 ?

?a 0 ? c1 ? c 2 ?a1 ? c1 x1 ? c 2 x 2

得到。 (见训练及考试题)

定理 2:若方程 x2=λ1x+λ2 有相等重根 x0,则有 an=(c1+c2n)x0n,其中 c1,c2 仍由定理 1 方程组解得。 例如.:1,已知.数列 ?a n ? 满足 a 1 通项公式 2,.数列 ?a n ? 中,设 a 1
? a 2 ? 1, a 3 ? 2 , 且 a n ? 1 ? ? a 2 ? 1, a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ? )

,求数列 ?a n ? 的

3 ? a n a n ?1 a n?2

( n ? 3 ) ,求数列

?a n ? 的通项公式
3,.数列 { a n } 满足: a 0
? 1, a n ? 1 ? 7an ? 45 a n ? 36
2

,n ? N.

2

证明: (1)对任意 n ? 4,已知.数列 ?a n ? 满足 a1

N ,an

为正整数;(2)求数列 { a n } 的通项公式。 都有 a n ? 2
? 4 a n ?1 ? 4 a n

? 1, a 2 ? 2, n ? N ?

,求数列

?a n ? 的通项公式

四、

特殊递推的不动点法 ( f(x)= x 的解称为 f(x)的不动点 )

定理 1:若数列{an}满足递推:an+1=a·an+b (a,b∈R) , 则 设 x=ax+b , 得 不 动 点 (an-x0) , 进而用构造法解得。 定理 2:若数列{an}满足递推: a n ? 1
ax ? b cx ? d x0 ? ? b a ?1

且 数 列 递 推 化 为 : an+1-x0=a

?

a ? an ? b ( ad ? bc ? 0), c ? an ? d

则设 x

?

,得不动点 x1,x2,
a n?1 ? x 1 a n?1 ? x 2 a ? x1c a n ? x1 ( ),再由构造 a ? x 2c a n ? x 2

若 x1≠x2,则原递推化为: 法解得。

?

若 x1=x2=x0,即有唯一不动点 x0 时,原递推可化为:
1 a n?1 ? x 0 ? 1 an ? x0 ? 2c a ? d

,再由构造法解得。

例如:1,在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),求该数列的通项 an 2,已知.数列 ?a n ? 满足: a 1 3,已知.数列 ?a n ? 满足: a 1
? 1, a n ? 1 ? 3an ? 8 2an ? 3 ? an ? 2 2an ? 3

,求该数列的通项 an

? 1, a n ? 1 ?

,求该数列的通项 an

五、 1.

递推构造法 若数列递推满足 an+1=k1an+k2·2n,注意构造变形为(an+1+A·2n+1)= k1

(an+A·2n) ,展开后与原递推相同,求出 A 得值,再化为等比数列解决。 2. 若数列递推满足 an+1=k1an+k2n2+k3n,注意构造变形为

(an+1+A(n+1)2+B(n+1)+c)= k1(an+An2+Bn+c) , 展开后与原递推相同而求出 A,B,C 的值,再化为等比数列解决。 3. 若数列为 an+1=-3an+2n - n 呢?

例如:1,求所有 a0∈R,使得由 an+1=2n-3an(n∈N)所确定得数列 a0,a1,a2,… 是递增的。 2,某运动会开了 n 天 ( n
1 7
? 1)

,共发出 m 枚奖牌:第一天发出 1 枚加上余
1 7

下的 ,第二天发出 2 枚加上余下的

;如此持续了 ( n ? 1) 天,第 n 天发出

n 枚. 该运动会开了________天,共发了____________枚奖牌.

后注:以上方法相辅相成,不可孤立理解,当条件不符合时不可随意应用。 例:若不知 a1,a2 的确定值,an+2=2an+1+3an 都不可以用特征方程法。 望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。

数列训练题 1. (2006 年广东卷)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里 用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形 的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒 乓球;第 2、3、4、…堆最底层(第一层) 分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一层开 始,每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以
f (3) ? f (n)

表示第 n 堆的乒乓球总数,则 .



f (n) ?

(答案用 n 表示)

2.

( 2006 年重庆卷)在数列{an}中,若 的通项

a1=1,an+1=2an+3

(n≥1),则该数列

an=_____.

3. (2006 年全国卷 II)函数 f(x)= (A)190

?|x-n|的最小值为
i=1

19

(

) (D)45
? a3 ? 15 ,

(B)171

(C)90

4. (2006 年全国卷 I)设 ? a n ? 是公差为正数的等差数列,若 a 1 ? a 2
a 1 a 2 a 3 ? 8 0 ,则 a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ?

A. 1 2 0

B. 1 0 5

C. 9 0

5.2006 年江西卷) ( 已知等差数列 n} {a 的前 n 项和为 A.100 B. 101 C.200 D.201
? 2

D. 7 5 ??? ? ???? ???? Sn, O B= a 1 O A+ a 2 0 0 O C 若 )
? 1?



且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( 6. (2006 年辽宁卷)在等比数列 ? a n ? 中, a 1 是等比数列,则 S n 等于 (A) 2 n ? 1 ? 2 =1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3) 记 bn=
1 an ? 1 an ? 2

,前 n 项和为 S n ,若数列 ? a n
?1



(B)

3n

(C)

2n

(D) 3 n

7.(2006 年山东卷)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中

,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+

2 3T n ? 1

=1.

8. 2 0 0 6 年 上海卷) ( 已知有穷数列 { 中常数 a >1. (1)求证:数列 {
2

a n } 共有 ? 1) S n

2k 项 (整数 k ≥2) 首项 a 1 =2. , 设 +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其

该数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ? 1 = ( a
a n } 是等比数列; b n } 满足 b n =

(2)若 a =2 2 k ? 1 ,数列 { 求数列 {

1 n

log

2

( a1 a 2 ? ? ? a n )( n

=1,2,┅,2 k ) ,

b n } 的通项公式; b n } 满足不等式| b 1 -
3 2

(3)若(2)中的数列 { |b2k -
3 2

|+| b 2 -

3 2

|+┅+| b 2 k ? 1 -

3 2

|+

|≤4,求 k 的值.

9. (2006 年全国卷 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) an}的通项公式. { (只须写出即可) 10. (2006 年上海春卷)已知数列 a 1 , a 2 , ? , a 30 ,其中 a 1 , a 2 , ? 公差为 d 2 的等差数列( d (1)若 a 20
? 40
?0

, a 10

是首项为 1,

公差为 1 的等差数列; a 10 , a 11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a 30 是 ). ,求 d ;

(2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次 类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作 为特例) ,并进行研究,你能 11. 2006 年广东卷) ( 已知公比为 q ( 0 无穷等比数列 { a 2 n } 各项的和为 得到什么样的结论?
? q ? 1)

的无穷等比数列 { a n } 各项的和为 9,

81 5

.

(Ⅰ)求数列 { a n } 的首项 a 1 和公比 q ; (Ⅱ)对给定的 k ( k
? 1, 2 , 3 ,? ? ?, n )

,设 T ( k ) 是首项为 a k ,公差为 2 a k
? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n

? 1 的等差数列.

求数列 T ( k ) 的前 10 项之和; (Ⅲ)设 b i 为数列 T
m ( m ? 1) ,使得
(i)

的第 i 项, S n

,求 S n ,并求正整数

n? ?

lim

Sn m

存在且不等于零.
? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ).
*

12. (2006 年福建卷)已知数列 ? a n ? 满足 a1 (I)求数列 ? a n ? 的通项公式;

(II)证明:

n 2

?

1 3

?

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

n 2

( n ? N ).
*

13. (2006 年安徽卷)数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知
a1 ? 1 2 , S n ? n a n ? n ? n ? 1 ? , n ? 1, 2 , ? ? ?
2

(Ⅰ)写出 S n 与 S n ? 1 的递推关系式 ? n (Ⅱ)设
fn ? x ? ? Sn n x
n ?1

? 2?

,并求 S n 关于 n 的表达式;

, bn ? f n

/

? p ? ? p ? R ? ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n

14. (2006 年全国卷 I)设数列 ? a n ? 的前 n 项的和
Sn ? 4 3 a n? 1 3 ?2
n ?1

?

2 3

,n

? 1, 2, 3, ???

(Ⅰ)求首项 a 1 与通项 a n ; (Ⅱ)设 T n
? 2
n

,n

Sn

? 1, 2, 3, ??? ,证明: ? T i ?
i ?1

n

3 2

15 . 2006 年 江 西 卷 ) 已 知 数 列 { an } 满 足 : a1 = (
( n ? 2, n ? N ) 2 a n - 1+ n - 1 3 n a n-1
?

3 2

, 且 an =

求数列{an}的通项公式;

数列竞赛训练题 1.数列 ?a n ? 中,设 a n
? 0 , a 1 ? 1 且 a n ? a n ?1 ? 3
2 6

,求数列 ?a n ? 的通项公式.

2.已知.数列 ?a n ? 满足 a 1

?

1 2

, a n ? a n ?1 ?

1 n
2

?1

(n ? 2)

,求数列 ?a n ? 的通项公式

3. 已知.数列 ?a n ? 满足 a 1 式

? a 2 ? 1, a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ? )

,求数列 ?a n ? 的通项公

4. 已知.数列 ?a n ? 满足 a 1

? 0 , a n ?1 ? 5 a n ?

24 a n ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式
2

5. 数列 ?a n ? 中,设 a 1 公式

? a 2 ? 1, 且 a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? 1) ,求数列 ?a n ? 的通项
n

6. 数列 ?a n ? 中,设 a 1

? a 2 ? 1, a 3 ? 2 , 且 a n ? 1 ?

3 ? a n a n ?1 a n?2

( n ? 3 ) ,求数列 ?a n ? 的通

项公



7.数列 ?a n ? 满足:a n

? a n ?1 ? a n ? 2 ( n ? 3 )

, 如果前 1492 项的和是 1985, 而前 1985

项的和为 1492,求该数列的前 2001 项之和.

8. 已知.数列 ?a n ? 满足 a n

?

1 ( n ? 1) n ? n n ?1

,求数列 ?a n ? 的前 n 项和.

参考答案 1. 2. 3. 4.
f (3) ?

10,
n ?1

f (n) ?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

an= 2
C B

?3

.

a1 ? a 2 ? a 3 ? 1 5 ? 3 a 2 ? 1 5 ? a 2 ? 5

, a1 a 2 a 3

? 80 ?

? a2

? d ? a2 ? a2 ? d

? ? 8 0 ,将

a2 ? 5

代入,得 d

?3

,从而 a1 1 ?

a 1 2 ? a 1 3 ? 3 a 1 2 ? 3 ? a 2 ? 1 0 d ? ? 3 ? ? 5 ? 3 0? ? 1 0 5



选 B。 5. 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 6. 【解析】因数列 ? a n ? 为等比,则 a n 则
( a n ? 1 ? 1) ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ? 1) ? a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? a n ? a n ? 2 ? a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1
2 2

? 2q

n ?1

,因数列 ? a n

? 1?

也是等比数列,

? a n (1 ? q ? 2 q ) ? 0 ? q ? 1
2

即 an

? 2

,所以 S n
2 ?1
n

? 2n
2 ?1
n

,故选择答案 C。
?1 ;

7.(2) T n

?3

, an

?3

9. 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,



Sn2-2Sn+1-anSn=0.


当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得

Sn-1Sn-2Sn+1=0

1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 由此猜想 Sn=

n

n+1

,n=1,2,3,….

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk=

k

k+1



1 k+1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn=

n

n+1

对所有正整数 n 都成立.

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an= 10. [解](1) a 10 (2) a 30
? 10 .
2

n-1 1 - = , n+1 n n(n+1)

n

n

n+1

,n=1,2,3,….
? d ? 3.

a 20 ? 10 ? 10 d ? 40 ,

? a 20 ? 10 d
2

? 10 1 ? d ? d

?

2

?

(d ? 0)



?? 1? a 30 ? 10 ? ? d ? ? 2? ?? ?

?

3? ? 4? ?

, 时, a 3 0 ? ? 7 .5,
??

当d ? ( ? ?,

0 ) ? ( 0, ? ? )

?.
, a 10

(3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a 1 , a 2 , ?

是首项为 1,公差

为 1 的等差数列, n ? 1 时, 当 数列 a 10 n , a 10 n ? 1 , ? , a 10 ( n ? 1 ) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a 10 ( n ? 1 ) 关于 d 的关系式,并求 a 10 ( n ? 1 ) 的取值范围.

研究的结论可以是:由 a 40 依次类推可得 当d 11.
?0

? a 30 ? 10 d

3

? 10 1 ? d ? d
n

?

2

? d

3

?,
d ? 1, d ? 1.

a 10 ( n ? 1 ) ? 10 1 ? d ? ? ? d

?

?

n ?1 ? 1? d ?10 ? , ? ? 1? d ?10 ( n ? 1 ), ?

时, a 10 ( n ? 1 ) 的取值范围为 ( 10 ,

? ?)

等.

解:

? a1 ? 9 ? a1 ? 3 ? ?1 ? q ? (Ⅰ)依题意可知, ? 2 ? ? 2 ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?
?2? an ? 3 ? ? ? ?3?
n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

, 所 以 数 列 T (2) 的 的 首 项 为

t1 ? a 2 ? 2

,公差

d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,
S 10 ? 10 ? 2 ? 1 2
i ?1

? 10 ? 9 ? 3 ? 155

,即数列 T ( 2 ) 的前 10 项之和为 155.
? ?i ? 1 ? ,
n

(Ⅲ)
Sn

bi

=ai

?2? ? ?i ? 1 ?? 2 a i ? 1 ? = ? 2 i ? 1 ?a i ? ?i ? 1 ? = 3 ? 2 i ? 1 ?? ? ?3?
n

n ?n ? 1? ?2? ? 45 ? ?18 n ? 27 ?? ? ? 2 ?3?

, lim

Sn n
m

n? ?

= lim

45 n
m

n? ?

18 n ? 27 ? 2 ? ? ? ? m n ?3?

?

n ?n ? 1? 2n
m

当 m=2 时, lim

Sn n
m

n? ?

=-

1 2

,当 m>2 时, lim

Sn n
m

n? ?

=0,所以 m=2

12. (I)解:? a n ? 1

? 2 a n ? 1( n ? N ),
*

? a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1),

? ? a n ? 1? 是以 a 1 ? 1 ? 2
? an ? 1 ? 2 .
n

为首项,2 为公比的等比数列。


?4

a n ? 2 ? 1( n ? N ).
2 *
1 2

(II)证法一:? 4 k ?1 4 k
( k1 ? k 2 ? ... ? k n ) ? n

?1

...4

k n ?1

? ( a n ? 1) n .
k

? 2

nkn

.

? 2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n ] ? n b n , 2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ? b n ? 1 ) ? ( n ? 1)] ? ( n ? 1) b n ? 1 .

① ②

②-①,得 2 ( b n ? 1 ? 1) ? 即 ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ③-④,得 即

( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ,

? 2 ? 0,

n b n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? 2 ? 0 . n b n ? 2 ? 2 n b n ? 1 ? n b n ? 0,

b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? b n ? 0,

? b n ? 2 ? b n ? 1 ? b n ? 1 ? b n ( n ? N ),
*

? ? bn ?

是等差数列。

证法二:同证法一,得
( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0

令n 设 b2

? 1, 得 b1 ? 2 .
? 2 ? d ( d ? R ), 下面用数学归纳法证明
? 1, 2

b n ? 2 ? ( n ? 1) d .

(1)当 n
k k ?1

时,等式成立。
? k (k ? 2)

(2)假设当 n
bk ?1 ? bk ?

时, b k

? 2 ? ( k ? 1) d , 那么
2 k ?1 ? 2 ? [( k ? 1) ? 1] d .

2 k ?1

?

k k ?1

[ 2 ? ( k ? 1) d ] ?

这就是说,当 n

? k ? 1 时,等式也成立。

根据(1)和(2) ,可知 b n
k

? 2 ? ( n ? 1) d

对任何 n ?

N

*

都成立。

? b n ? 1 ? b n ? d ,? ? b n ? 是等差数列。

(III)证明:?
a1 a2 a2 a3

ak a k ?1

?

2 ?1 2
k ?1

?1

?

2 ?1
k

2(2 ?
k

1 2

? )

1 2

, k ? 1, 2 , ..., n ,

?

?

? ... ?

an a n ?1

?

n 2

.

?

ak a k ?1

?

2 ?1
k

2

k ?1

?1

?

1 2

? 2(2

1
k ?1

? 1)

?

1 2

?

1 3 .2 ? 2 ? 2
k k

?

1 2

?

1

.

1
k

, k ? 1, 2 , ..., n ,

3 2

?
?

a1 a2
n 2

?
? 1 3

a2 a3
?

? ... ?
a1 a2
2

an a n ?1

?

n 2

?

1 1 1 1 n 1 1 n 1 ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , 3 2 2 2 2 3 2 2 3
? n 2 ( n ? N ).
*

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

13. 解:由 S n
2

? n a n ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ?
2

得: S n
n ?1 n Sn ?

? n ( S n ? S n ? 1 ) ? n ? n ? 1 ? ,即
2

( n ? 1) S n ? n S n ? 1 ? n ? n ? 1 ?

,所以
n n ?1

n n ?1

S n ?1 ? 1

,对 n
3 2

? 2

成立。
S 1 ? 1 相加得:



n ?1 n

Sn ?

n n ?1

S n ?1 ? 1 ,

S n ?1 ? 1 2

n ?1 n?2

S n ? 2 ? 1 ,…,

S2 ?

2 1

n ?1 n

S n ? 2 S 1 ? n ? 1 ,又 S 1 ? a 1 ? fn ? x ? ?
2

,所以 S n ,得 b n
n ?1

?
/

n

2

n ?1

,当 n
np
n

? 1 时,也成立。

(Ⅱ)由 而 Tn

Sn n

x
3

n ?1

?

n n ?1

x

n ?1

? fn

? p? ?



? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ( n ? 1) p
2 3 4

? np

n

, ,
? p (1 ? p )
n

p T n ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ( n ? 1) p ? n p
n

n ?1

(1 ? P ) T n ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3

n ?1

? p ? np
n

n ?1

1? p

? np

n ?1

14.解: (I)

a1 ? S 1 ?
4 3
n

4 3

a1 ?

1 3
4 3

?2 ?
2

2 3

,解得: a1
n?2

? 2
n ?1

a n ?1 ? S n ?1 ? S n ?

a n ?1 ?

an ?

1 3

?2

?2

n ?1

??

a n ?1 ? 2

? 4 ? an ? 2

n

?

所以数列 ? 所以: 得: a n (II)
Tn ? 2
n

an ? 2
n

? 是公比为 4 的等比数列
1

a n ? 2 ? ? a1 ? 2

?? 4

n ?1

? 4 ?2
n

n

(其中 n 为正整数)
1 3
2
n n

Sn ?
3 2

4 3
?

an ?

?2

n ?1

?

2 3

?

4 3

?4

n

?2

n

??

1 3

?2

n ?1

?

2 3

?

2 3

?2

n ?1

? 1? ? 2 ? 1?
n

?

Sn

?2
i

n ?1

? 1? ? 2 ? 1?

?

3 2

1 ? 1 ? ?? n ? n ?1 ? 2 ?1 2 ?1? ?

所以: 15.

?T
i ?1

n

?

3 2

1 ? 1 ? 3 ?? 1 ? n ?1 ?? 2 ?1 2 ?1? 2 ?

将条件变为:1- 项为 1-
1 a1

n an



1 n -1 n (1 - ),因此{1- 3 a n-1 an

}为一个等比数列,其首

= ,公比 ,从而 1-
3 3

1

1

n an



1 3
n

,据此得 an=

n?3
n

n

3 -1

(n?1)………


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