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高中数学竞赛数列问题

时间:2013-05-20


高中数学竞赛数列问题
一、 二、 高考数列知识及方法应用(见考纲) 二阶高次递推关系

1.因式分解降次。例:正项数列{an},满足 2 S n ? a n ? 1 ,求 an(化异为同 后高次) 2.两边取对数降次。例:正项数列{an},a1=1,且 an·an+12 = 36,求 an 三、 线性递推数列的特征方程法 定理 1: 若数列{an}的递推关系为 an+2=λ1an+1+λ2an,则设特征方程 x2=λ1x+λ2, 且此方程有相异两根 x1,x2(x1≠x2) ,则必有 n n an=c1x1 +c2x2 , 其 中 c1 , c2 由 此 数 列 已 知 前 2 项 解 得 , 即
?a 1 ? c1 x 1 ? c 2 x 2 ? 2 2 ?a 2 ? c1 x 1 ? c 2 x 2

?a 0 ? c1 ? c 2 或由 ? 得到。 (见训练及考试题) ?a 1 ? c1 x 1 ? c 2 x 2
定理 2:若方程 x2=λ1x+λ2 有相等重根 x0,则有 an=(c1+c2n)x0n,其中 c1,c2 仍由定理 1 方程组解得。 例如.:1,已知.数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的 通项公式 2,.数列 ?an ? 中,设 a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2, 且 an?1 ?

3 ? an an?1 (n ? 3) ,求数列 an?2

?an ?的通项公式
3,.数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?
2 7an ? 45an ? 36

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)求数列 {an } 的通项公式。 4,已知 .数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, n ? N? 都有 an?2 ? 4an?1 ? 4an ,求数列

?an ?的通项公式
四、 特殊递推的不动点法 ( f(x)= x 的解称为 f(x)的不动点 ) 定理 1:若数列{an}满足递推:an+1=a·an+b (a,b∈R) , 则设 x=ax+b, 得不动点 x 0 ?
?b 且数列递推化为: an+1-x0=a (an-x0) , a ?1

进而用构造法解得。 定理 2:若数列{an}满足递推: a n?1 ?

a ? an ? b , (ad ? bc ? 0 ) c ? an ? d

则设 x ?

ax ? b ,得不动点 x1,x2, cx ? d

若 x1≠x2,则原递推化为: 法解得。

a n ? 1 ? x1 a ? x1 c a n ? x1 ,再由构造 ? ( ) a n?1 ? x 2 a ? x 2 c a n ? x 2

若 x1=x2=x0,即有唯一不动点 x0 时,原递推可化为:

1 1 2c ,再由构造法解得。 ? ? a n?1 ? x 0 a n ? x 0 a ? d
例如:1,在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),求该数列的通项 an 2,已知.数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 3,已知.数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ?
3an ? 8 ,求该数列的通项 an 2an ? 3 ?an ? 2 ,求该数列的通项 an 2an ? 3

五、 递推构造法 1.若数列递推满足 an+1=k1an+k2· 2n, 注意构造变形为 (an+1+A· 2n+1) = k( 2n) , 1 an+A· 展开后与原递推相同,求出 A 得值,再化为等比数列解决。 2.若数列递推满足 an+1=k1an+k2n2+k3n,注意构造变形为 (an+1+A(n+1)2+B(n+1)+c)= k1(an+An2+Bn+c) , 展开后与原递推相同而求出 A,B,C 的值,再化为等比数列解决。 3.若数列为 an+1=-3an+2n - n 呢? 例如:1,求所有 a0∈R,使得由 an+1=2n-3an(n∈N)所确定得数列 a0,a1,a2,… 是递增的。 2,某运动会开了 n 天 (n ? 1) ,共发出 m 枚奖牌:第一天发出 1 枚加上余
1 1 下的 ,第二天发出 2 枚加上余下的 ;如此持续了 (n ? 1) 天,第 n 天发出 7 7 n 枚. 该运动会开了________天,共发了____________枚奖牌.

后注:以上方法相辅相成,不可孤立理解,当条件不符合时不可随意应用。 例:若不知 a1,a2 的确定值,an+2=2an+1+3an 都不可以用特征方程法。 望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。

数列训练题 1. (2006 年广东卷)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用 同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一 个乒乓球;第 2、3、4、…堆最底层(第一 层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一 层开始,每层的小球自然垒放在下一层之 上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数, 则 f (3) ? ; f ( n) ? (答案用 n 表示) .

( 2006 年重庆卷)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数 列的通项 an=_____. 19 3. (2006 年全国卷 II)函数 f(x)= ?|x-n|的最小值为 ( ) i=1 (A)190 (B)171 (C)90 (D)45 4. (2006 年全国卷 I )设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 2.

a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 ??? ? ???? ??? ? 5. (2006 年江西卷) 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 OB =a1 OA +a 200 OC , 且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( ) A.100 B. 101 C.200 D.201 6. (2006 年辽宁卷)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也
是等比数列,则 Sn 等于 (A) 2n?1 ? 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3n ? 1 7. (2006 年山东卷) 已知 a1=2, 点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, 其中=1, 2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 1 1 2 (3) 记 bn= ? ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. an an ? 2 3Tn ? 1 8. (2 0 0 6 年 上海卷) 已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项 (整数 k ≥2) , 首项 a1 =2. 设 该数列的前 n 项和为 S n ,且 a n?1 = (a ? 1)S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其 中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列;

1 ,数列 { bn } 满足 bn = log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n )( n =1,2,┅,2 k ) , n 求数列 { bn } 的通项公式; 3 3 3 (3) 若 (2) 中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - |+| b2 - |+┅+| b2k ?1 - | 2 2 2 3 +| b2 k - |≤4,求 k 的值. 2 9. (2006 年全国卷 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式. (只须写出即可) 10. (2006 年上海春卷)已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列; a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是 公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ). (1)若 a20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围;

(2)若 a =2

2 2 k ?1

(3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次 类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作 为特例) ,并进行研究,你能 得到什么样的结论? 11. (2006 年广东卷) 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {an } 各项的和为 9, 81 无穷等比数列 {a 2 n } 各项的和为 . 5 (Ⅰ)求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q ; (Ⅱ)对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak , 公差为 2a k ? 1的等差数列. 求数列 T ( k ) 的前 10 项之和; ( Ⅲ ) 设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n ,并求正整数
m(m ? 1) ,使得 S lim n 存在且不等于零. n ?? m 12. (2006 年福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ).

(I)求数列 ?an ? 的通项公式;
a n 1 a a n (II)证明: ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

13. (2006 年安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知
1 a1 ? , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2 (Ⅰ)写出 Sn 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式; S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn n 14. (2006 年全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和

(Ⅱ)设 f n ? x ? ?

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 3 2n ? ?,证明: ? Ti ? , n ? 1, 2,3,? 2 Sn i ?1

15 .( 2006 年 江 西 卷 ) 已 知 数 列 { an } 满 足 : a1 =
3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n- 1 求数列{an}的通项公式;

3 , 且 an = 2

数列竞赛训练题
2 6 1.数列 ?an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an an ? 的通项公式. ?1 ? 3 ,求数列 ?

2.已知.数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ? a n ?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 2 n ?1

3. 已知.数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公 式

2 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式 4. 已知.数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, a n ?1 ? 5a n ? 24 a n

5. 数列 ?an ? 中,设 a1 ? a2 ? 1, 且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 n (n ? 1) ,求数列 ?an ? 的通项 公式

6. 数列 ?an ? 中,设 a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2, 且 an?1 ? 项公 式

3 ? an an?1 (n ? 3) ,求数列 ?an ? 的通 an?2

7.数列 ?an ? 满足:an ? an?1 ? an?2 (n ? 3) ,如果前 1492 项的和是 1985,而前 1985 项的和为 1492,求该数列的前 2001 项之和.

8. 已知.数列 ?an ? 满足 an ?

1 (n ? 1) n ? n n ? 1

,求数列 ?an ? 的前 n 项和.

参考答案 1. 2. 3. 4.
f (3) ? 10, f (n) ?
n(n ? 1)( n ? 2) 6

an= 2n?1 ? 3 .
C B a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? 3a2 ? 15 ? a2 ? 5 , a1a2 a3 ? 80 ? ? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80 ,将
a2 ? 5 代入,得 d ? 3 ,从而 a11 ? a12 ? a13 ? 3a12 ? 3? a 2 ?10d? ? 3 ?? 5 ? 30? ? 105。

选 B。 5. 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 6. 【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1? 也是等比数列, 则 (an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1

? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1 即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。
7.(2) Tn ? 32 ?1 , an ? 32 ?1 ? 1 ; 9. 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 2 (Ⅱ)由题设(Sn-1) -an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0.
n n

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 由此猜想 Sn=

n n+1

,n=1,2,3,….

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. n+1 n n-1 1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , n+1 n n(n+1) 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an=

k k+1



1 k+1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

n

n n+1

,n=1,2,3,….

10. [解](1) a10 ? 10. a20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 . (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10?1 ? d ? d 2 ? (d ? 0) ,
a 30
2 ?? 1? 3? ? 10? ? d ? ? ? ? , 2? 4? ? ?? ?

(3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 (n?1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10 ( n?1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n?1) 的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40 ? a30 ? 10d 3 ? 10?1 ? d ? d 2 ? d 3 ? , 依次类推可得
a10( n?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d

当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? .

?

n

?

? 1 ? d n?1 ?10 ? , d ? 1, ?? 1? d ? d ? 1. ?10(n ? 1),

当 d ? 0 时, a10( n?1) 的取值范围为 (10, ? ? ) 等. 11.

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 q? ? a 1 ? 81 ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q

? 2? ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , an ? 3 ? ? ? , 所以数列 T ( 2) 的的首项为 t1 ? a2 ? 2 , 公差 ? 3? d ? 2a2 ? 1 ? 3 , 1 S10 ? 10 ? 2 ? ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2

n?1

? 2? (Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? ?i ? 1? , ? 3? n n Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? n?n ? 1? , lim m = lim m ? Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ? ? ? m n?? n ?? n 2 n n 2n m ? 3? ?3? Sn Sn 1 当 m=2 时, lim m =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 n ?? n n ? ? 2 n
12. (I)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

i ?1

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。


? an ? 1 ? 2n.
an ? 22 ?1(n ? N * ).
(II)证法一:? 4k1 ?14k2 ?1...4kn ?1 ? (an ? 1)kn .
? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn . ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

① ②

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ③-④,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),
证法二:同证法一,得 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明

bn ? 2 ? (n ? 1)d .

(1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

?bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。
(III)证明:?

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ?1)d 对任何 n ? N * 都成立。 bk ?1 ?

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 a a a n ? 1 ? 2 ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2

13. 解:由 Sn ? n2an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2

(n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 Sn ? Sn ?1 ? 1 , Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 1 ,…, S 2 ? S1 ? 1 相加得: 由 n n ?1 n ?1 n?2 2 1 2 n ?1 1 n Sn ? 2S1 ? n ? 1 ,又 S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 n 2 n ?1 S n n ?1 x ,得 bn ? fn/ ? p ? ? npn 。 (Ⅱ)由 f n ? x ? ? n x n ?1 ? n n ?1 而 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn ,

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? P)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3 n ?1

? p ? np
n

n ?1

p(1 ? p n ) ? ? np n?1 1? p

4 1 2 a1 ? S1 ? a1 ? ? 22 ? 3 3 3 ,解得: a1 ? 2 14.解: (I) 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 n ?an ? 2 ?

所以数列 所以:

an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1
n

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

4 1 2 4 1 2 2 Sn ? an ? ? 2n?1 ? ? ? 4n ? 2n ? ? ? 2n?1 ? ? ? 2n?1 ? 1?? 2n ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 (II)

Tn ?

2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n?1 ? ?? n ? n?1 ? n Sn 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以: 15.

?T ? 2 ? ? ?2
i ?1 i

n

3 ? 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? 1 ?1 2 ?1 ? 2

将条件变为:1- 为 1-

1 n-1 n n =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项 1- ) 3 a n-1 an an

1 1 1 n ? 3n 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1)……… 3 3 3 3 -1 a1 an


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