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归纳推理和类比推理


归纳推理

世界近代三大数学难题之一

哥德巴赫猜想
1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小 于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除 的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。猜想 (a) 任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇 质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇 质数之和。

/>有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验 算,哥德巴赫猜想(a)都成立。

200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。 1920年,挪威的布朗证明了“9+9”。

1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

………

………

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的,称为陈氏定理(Chen?s Theorem).“任何 充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和, 而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个 结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。

数论中最著名的世界难题之一

费马猜想
1637年,法国数学家费马提出: “将一个立 方数分为两个立方数的和,一个四次幂分为两个 四次幂的和,或者一般地将一个高于二次的幂分 为两个同次的幂的和,这是不可能的.” 300多年来,这个问题吸引了很多优秀数学家, 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解, 德国也于1908年悬赏十万马克征解。 经过三百多年来历代数学家的不断努力,剑桥大 学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.

世界近代三大数学难题之一

四色猜想
1852年,弗南西斯· 格思里搞地图着色工作时, 发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可 以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上 不同的颜色。” 1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利 诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200 个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的 证明。 不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他 们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳) . 部分 个别

? 整体 ? 一般

归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法.
不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.

例1.已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1

an ? 1 ? an

(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.

an 分别把n=1,2,3,4代入 an ?1 ? 得: 1 ? an 1 1 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? 2 3 4 5

1 归纳: a n ? n

可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.

解法2、构造法

1 1 取倒数得: ? 1? an ?1 an

例2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两 条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将 圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段? 同时将圆分割成 11 部分?

(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分 割成 n
2

1 2 条线段?同时将圆分割成 2 ( n ? n ? 2) 部分?

f (2) ? f (1) ? 2

f (3) ? f (2) ? 3 f (4) ? f (3) ? 4
………

f (n) ? f (n ? 1) ? n 累加得: f ( n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? 4 ?

?n

例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?

2

1

3

n=1时,

f (1) ? 1

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 7
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 3 ?1 ? 3 ? f (2) ? 1 ? f (2)
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? f (3) ? 1 ? f (3) ? 15
n=1时, n=2时, n=3时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? 15 ? f (3) ? 1 ? f (3)
n=1时, n=2时, n=3时, 归纳:

f (n) ? 2 ? 1
n

n?1 ?1, f (n) ? ? ? 2 f (n ? 1) ? 1, n ? 2

例、数列{an}满足a1=1, an+1 =2an+1 ,求 通项公式an . 构造法 an+1 +1=2(an+1) 数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列

an ? 1 ? 2
n

n

an ? 2 ? 1

练习
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有

n ? n ? 1个点.
2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅 有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=

n>4时,f(n)=

f (3) ? f (2) ? 2 f (4) ? f (3) ? 3 f (5) ? f (4) ? 4

1 ( n ? 2)( n ? 1) .(用n表示) 2

5 ,当

f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 1 累加得: f (n) ? f (2) ? 2 ? 3 ? 4 ?

? ( n ? 1)

(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为:

设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与

②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或b≠d),
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.

小结
1.什么是归纳推理(简称归纳)? 部分 整体
个别

? ? 一般

2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).

并猜想Sn的表达式.

2 1.已知数列{an}的前n项和Sn , a1 ? ? , 且 3 1 Sn ? ? 2 ? an (n ? 2). 计算S1 , S2 , S3 , S4 , Sn

练习

2 3 4 5 计算得: S1 ? ? , S 2 ? ? , S 3 ? ? , S4 ? ? 3 4 5 6
猜想:

n?1 Sn ? ? n? 2

复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊

? ? 一般

2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).

1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明 了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发 明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些 已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 4.利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.

类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理.(简称:类比) 类比推理的几个特点
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测 正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础, 类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物 的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有 发现的功能.

利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

利用平面向量的性质类比得空间向量的性质
平面向量


空间向量
若a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) 则

a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 )则

① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ③ ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R) ④ a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ③ ? a ? (?a1 , ?a2 )(? ? R) ④

a ? b ? a1b1 ? a2b2

⑤ a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ⑤ a // b ? a ? ? b , a ? ? b , a ? ? b (? ? R) 1 1 2 2 3 3 ⑥ a ? b ? a b ? a b ? 0 ⑥a ? b ? a b ? a b ? a b ? 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 ⑦

| a |? a12 ? a22



| a |? a12 ? a22 ? a32

利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列

an ? an?1 ? d(n ? 2)

an : an?1 ? q (n ? 2)

an ? a1 ? (n ? 1)d
通项公式

an ? a1q n?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? am q

n? m

n(a1 ? an ) na ( q ? 1) ? 1 Sn ? ? 2 n S ? 前n项和 ? a1 (1 ? q ) n n( n ? 1) (q ? 1) ? ? na1 ? d 1 ? q ? 2

等差数列 中项

等比数列

任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ,为 a ? b 有等比中项 ,为 ? ab
2

下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质

下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq

an ? am ? 2a n? m
2

an ? am ? a
成等比数列

2 n? m 2

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m
成等差数列

例1.(2003年新课程)在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾 股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关 系,可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的 三个侧面 ABC 、 ACD 、 ADB 两两互相垂直, 2 2 2 2 则 S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ADB .
A

D

C

B

(2004广东,15)

S?PA?B? PA? ? PB? ? 由图(1)有面积关系: S?PAB PA ? PB

VP ? A?B?C ? PA? ? PB? ? PC ? ? 则由图(2)有体积关系: PA ? PB ? PC VP ? ABC
B? B

B?
A

B

C

P

C?
P A? 图(2) A

A?

图(1)

平面与空间中的余弦定理

平面:三角形ABC中,

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

A

空间:四面体A-BCD中, 设二面角B-AC-D,C-AD-B, B D-AB-C的大小依次为?1 , ?2 , ?3
D

C

S

2 ?BCD

?S

2 ?ABC

?S

2 ?ACD

?S

2 ?ABD

? 2 S ?ABC S ?ACD cos ?1

? 2 S?ACD S?ABD cos ? 2 ? 2 S?ABD S?ABC cos ? 3

例2:(2005年全国)计算机中常用的十六进位制 是逢16进1的计算制,采用数字0-9和字母A-F共 16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应 关系如下表;
十六进位

十进位
十六进位

0 0 8 8

1 1 9 9

2 2 A 10

3 3 B 11

4 4 C 12

5 5 D 13

6 6 E 14

7 7 F 15

十进位

例如用16进位制表示E+D=1B,则A×B =( A ) A.6E B.72 C.5F D.0B

归纳推理和类比推理的共同点
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为 合情推理.

作业 P93-94 A组 5. B组 1.


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