江苏省盐城中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

江苏省盐城中学 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理）试题
（满分 160 分，考试时间 12 0 分钟） 一.填空题（共 14 题 ，每题 5 分，共 70 分） 1.命题:“ ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 ”的否定是 2.设 z ? 3 ? 2i （ i 是虚数单位） ，则 z = 3.函数 f ( x) ? lg(3 ?

2 x) 的定义域为 ▲ ▲ ．
i←i+1 开始

▲ ．

．

S←0 i←1 S←S+2
i-1

4.右图是一个算法的流程图，最后输出的 S ?
2 2

▲

．
S>100 Y 输出 S 结束 N

5.双曲线 E :

x y ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线 E 上， 9 16
▲ ． ▲ ．

且 PF 1 ? 3 ，则 PF2 ?

? ? ? ? 6. a ? (2, ?3, 3), b ? (?1,0,0) ，则 a, b 的夹角为

（第 4 题） 图） 7.甲乙两人比赛射击，两人的平均环数相同，甲所得环数的方差为 5，乙所得环数如下：5,6,9,10,5，那 么这两个人中成绩较为稳定的是 ▲ ．

8.从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取一个数 a ，从集合 ?2,3,4? 中随机选取一个数 b ，则 b ? a 的概率是 ▲ . ▲

9.圆锥筒的底面半径为 3cm ，其母线长为 5cm ，则这个圆锥筒的体积为

cm 3 ．
▲ 条件．

10.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3 x ? (a ? 1) y ? 7 ? 0 平行”的 （“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”）

11.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)...(n ? n) ? 2 ? 1? 3 ? ...(2n ? 1) ”从 n ? k 到 n ? k ? 1 左端需增乘的
n

代数式为

▲

．
2 2

12. 过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x ? y ? 1的两条切线，若两条切线的夹角是 60 ? ，则点 P 的坐 标是 ▲ ．

13. 如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m, n 的同侧，且 A 到

A B m

m, n

??? ? ???? 的距离分别为 1 ， 3．点 B, C 分别在 m, n 上， AB ? AC ? 5 ，则

??? ? ???? AB ? AC 的最大值是

▲

．

C

n

1

14 ． 设 函 数 f ( x) ? ?

?2x ,x ? 0 ? ， 若 对 任 意 的 y ? (2, ??) ， 都 存 在 唯 一 的 x ? R ， 满 足 ? ?log2 x, x ? 0
▲ ．

f ( f ( x)) ? 2a 2 y 2 ? ay ，则正实数 a 的最小值 是
二.解答题（共 6 题，共 90 分） 15.（本题满 分 14 分）

在三角形 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知向量 m ? ( , cos A),

??

1 2

? ?? ? 3 n ? (sin A, ? ) 且 m ? n ． 2
（1）求角 A 的大小； （2）若 b ? 7, c ? 8 ，求 ?ABC 的面积 ．

16． （本题满分 14 分） 如图， 平行四边形 ABCD 中，BD ? CD ， 正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直， H 是 BE 的中点， G 是 AE , DF 的交点. （1）求证： GH // 平面 CDE ； （2）求证： BD ? 平面 CDE .

17． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a . （1）当 a ? ?10 时，求 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程； （2）若 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 18，求它在该区间上的最小值．

2

18.（本小题满分 16 分） 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30m 的围墙．现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形 AEB （ ?AEB ? 90? ） ，如图 1 所示，其中 AE ? EB ? 30m ； 方案② 多边形为等腰梯形 AEFB （ AB ? EF ） ，设 ?BAE ? ? ，如图 2 所示， 其中

AE ? EF ? BF ? 10m ．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

A E 图1
19.（本小题满分 16 分）

B

A E 图2 F

B

在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 ( 2,0) ，且经过点 a 2 b2

(

2 7 ，点 B 为 ,? ) ，过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴，点 M 为直线 l 上的动点（点 M 与点 A 不重合） 2 2
y M P

椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P． （1） 求椭圆 C 的方程； （2） 求证： AP ? OM ； （3） 试问 OP ? OM 是否为定值？若是定值，请求出该定值； 若不是，请说明理由．

??? ? ???? ?

A

O

B

x

20.（本小 题满分 16 分） 已知首项为 1 的正项数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an ?
2 2

5 an ?1an , n ? N ? ， Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和。 2

3 , a3 ? x, a4 ? 4 ，求 x 的取值范围； 2 1 ? （2）设数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列，若 S n ? S n ?1 ? 2 S n , n ? N ，求 q 的取值范围； 2
（1）若 a2 ? （3）若 a1 , a2 ,?, ak (k ? 3) 成等差数列，且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 120 ，求正整数 k 的最小值，以及 k 取最
3

小值时相应数列 a1 , a2 ,?, ak .

4

江苏盐城中学 2015—2016 学年度第二学期 高二年 级期中数学（理）答题纸 一、填空题(14*5 分) 1、 ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 2、 13 4、127

3、 ? ??, 5、9

? ?

3? ? 2?

6、

2? 3

7、乙

8、

2 5

9、 12? 11、 4k ? 2

10、充分不必要

12、

?
1 4

2, 2

?

13、

21 4

14、

二、解答题（共 90 分） 15、 （14 分） 解：(1)由 m ? n 得

??

?

1 3 sin A ? cos A ? 0 2 2

? tan A ? 3 ,所以 A ?
(2) S ?

?
3

-----------

7分

1 1 3 bc sin A ? ? 7 ? 8 ? ? 14 3 2 2 2

---------

14 分

5

16、 （14 分）证明：⑴ G 是 AE , DF 的交点，∴ G 是 AE 中点， 又 H 是 BE 的中点， ∴ ?EAB 中， GH // AB ， ? AB // CD ，∴ GH // CD ，

--------------------3 分

又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE -----------7 分 ⑵平面 ADEF ? 平面 ABCD ，交线为 AD ， ∵ ED ? AD ， ED ? 平面ADEF ∴ ED ? 平面 ABCD ， ∴ ED ? BD ， 又∵ BD ? CD ， CD ? ED ? D ------------10 分

BD ? 平面CDE

----------------14 分

6

17、 （14 分） 解： （1） f ?( x ) ＝－3x ＋6x＋9, 切线的斜率为 9，
2

所以 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为

y ? 12 ? 9( x ? 2)

，

即

9x ? y ? 6 ? 0
--------6 分

.

2 （2）令 f ?( x ) ＝－3x ＋6x＋9=0,得 x ? 3 （舍）或 x ? ?1

当 x ? (?2, ?1) 时， f ?( x) ? 0 ，所以 f ( x ) 在 x ? (?2, ?1) 时 单调递减， 当 x ? (?1, 2) 时 f ?( x) ? 0 ， 所以 f ( x ) 在 x ? (?1, 2) 时单调 递增， 又 f (?2) ＝ 2 ? a ， f (2) ＝ 22 ? a ， 所以 f (2) > f (?2) ． 因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值 和最小值，

? 22 ? a ? 18 ，解得 a ? ?4 ．
--------12 分
3 2 故 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? 4 ，因此 f (?1) ? ?9

即函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最小值为-9. ． --------14 分

7

18、 （16 分） 解：设方案①②中多边形苗圃的面积分别为 S1, S2 ， 方案①中，设 AE ? x ，则 S1 ? 当 x ? 15 时，最大值为

1 1 225 x(30 ? x) ? ? ( x ? 15) 2 ? 2 2 2
-----6 分

225 2

方案②中，设 ?BAE ? ? , 则 S2 ? 100sin ? (1 ? cos? ) ? ? ? 0,

? ?

??

?， 2?

1 S2' ? 100(2cos2 ? ? cos? ?1) ? 0 得， cos ? ? （ cos ? ? ?1 舍去） 2

? ? ?? ?? ? ? 0, ? ，?? ? . 3 ? 2?
当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? ， S2 ? 0 ； ? ? ? , ? S2 ? 0 3? ?3 2?
时， ? S2 ?max ? 75 3 .----14 分

?当 ? ?
因为

?
3

225 ? ? 75 3 ，所以选用方案②，且 ?BAE ? , 2 3 225 2 m ， 75 3m2 ，建苗圃时用方 答：方案①②苗圃的最大面积为 2
案②，且 ?BAE ?

?

3

. .

----16 分

8

19、 （16 分）解（1）右焦点为 F2 ( 2,0) ，则左焦点为 F1 (? 2,0) 且 经过点 P (

2 7 ,? )， 2 2
2 2

? 2? ? 7? 5 ? PF1 ? ? ?? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ?

,

? 2? ? 7? 3 ? PF2 ? ? ? 2? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ?
所以 2a ? 4 ，即 a ? 2 ，又因为 c ?

2

2

2 ，所以 b2 ? 2
--------- 4 分

x2 y 2 ? ?1 ? 椭圆方程为 4 2

(2)设直线 BM 的斜率为 k ，则直线 BM 的方程为 y ? k ( x ? 2)

x2 y 2 ? ? 1 中得： 设 P( x1 , y1 ) ，将 y ? k ( x ? 2) 代入椭圆的方程 4 2
(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0
解之得 x1 ?

4k 2 ? 2 , x2 ? 2 ， 2k 2 ? 1
?4k 4k 2 ? 2 ?4k P ( , ) ，从而 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? y1 ? k ( x1 ? 2) ?

令 x ? ?2, 得 y ? ?4k ，? M (?2, ?4k ) ， OM ? (?2, ?4k ) 又

???? ?

??? ? 4k 2 ? 2 ?4k 8k 2 ?4k AP ? ( 2 ? 2, 2 ) ? ( 2 , 2 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ??? ? ???? ? ?16k 2 ?16k 2 ? AP ? OM ? 2 ? ?0 2k ? 1 2 k 2 ? 1
即 AP ? OM . (3) ? OP ? OM ? ( -------10 分

??? ? ???? ?

4k 2 ? 2 ?4k ) ? (?2) ? ( 2 ) ? (?4k ) ? 4 为 定 值 . 2 2k ? 1 2k ? 1
-------- 16 分

9

5 an ?1an , n ? N ? ， 2 1 3 x 所以 an ? an ?1 ? 2an ，解得 ? x ? 3, ? 4 ? 2 x ，所以 x ? (2,3) 2 4 2
20、 （16 分）解（1）? an ?1 ? an ?
2 2

- ------ 4 分 （2）? an ? an ?1 ? 2an 而且数列 ?an ? 是等比数列， a1 ? 1

1 2

1 ? q n ?1 ? q n ? 2q n ?1 2

1 ? n?1 ?q ( q ? ) ? 0 ， ?? 2 ?q n?1 (q ? 2) ? 0 ?

， ? q ? ( , 2)

1 2

------6 分

1 ? 又? S n ? S n ?1 ? 2 S n , n ? N ，而当 q ? 1, S2 ? 2S1 ，不满足题意 2
当 q ? 1 时，

1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn ? ? ? 2? 2 1? q 1? q 1? q

n ? ? 1 ?q ( q ? 2) ? ?1 ?q ( q ? 2) ? ?1 ① 当 q ? ( ,1) 时，? ? n ，? ? 2 ? ? ?q (2q ? 1) ? 1 ?q (2q ? 1) ? 1

解得 q ? ( ,1) ② q ? (1, 2) 时，? ? 综上， q ? ( ,1) .

1 2

-------- 9 分

?q n ( q ? 2) ? ?1 ?q (q ? 2) ? ?1 ? ? ，? ? ，无解 n ? ? ?q (2q ? 1) ? 1 ?q (2q ? 1) ? 1
- ------- 11 分

1 2

(3) ? an ? an ?1 ? 2an , 且 a1 , a2 ,?, ak (k ? 3) 成等差数列， a1 ? 1

1 2

?

1 （ n ? 1, 2,?k ? 1 ） ?1 ? (n ? 1)d ? ? 1 ? nd ? 2 ?1 ? (n ? 1)d ? ， 2
------- 13 分

?d (n ? 1) ? ?1 1 ， d ? (? ,1) ?? k ?d (2 ? n) ? 1
又 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 120 ，

d 2 d d d k ? (a1 ? )k ? k 2 ? (1 ? )k ? 120 2 2 2 2 240 ? 2k 1 ?d ? 2 ? (? ,1) ，解得 k ? (15, 239), k ? N * k ?k k 13 所以 k 的最小值为 16，此时公差为 d ? . ------- 16 分 15
即 Sk ?

ak ? 1 ? (k ? 1) ?

15 15k ? 2 ? ----13 13

- 16 分

10