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高二数文竞赛


神木中学 2015—2016 学年第二学期高二数学(文)竞赛试题

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1. 设常数 a ? R , 集合 A ? x | ? x ?1?? x ? a? ? 0 , B ? ?x | x ? a ?1 ? .若 A ? B ? R , 则 a 的取值范围为( A . ? ??,2?
2.已知函数 f

? x ? ? ln

?

?

) B. ? ??, 2? C. ? 2, ??? D. ? 2, ?? ? )

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2

?

A. ? 1

3.设 D、E、F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点,则 EB ? FC ? ( A. AD B.



1 AD 2


C.

BC

D.

1 BC 2

4.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA ? OB ? OC ? OD 等于( A. OM B.

2OM
)

C.

3OM

D. 4OM

5. sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ?

3 3 1 1 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2

6.要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象() 3?
(B)向右平移

(A)向左平移

?
12

个单位

?
12

个单位

(C)向左平移

? 个单位 3
? x 2 ? 1, x ? 0 ? cos x, x?0

(D)向右平移

? 个单位 3


7. 已知函数 f ( x) ? ?

,则下列结论正确的是 (

A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) 是周期函数

B. f ( x ) 是增函数 D. f ( x ) 的值域为 [?1, ??)

8. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范 围是 ( ) B. (1, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?1)

A. (2, ??)

??? ? ??? ? ??? ? 9.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么


??? ? ??? ? A. AO ? OD ??? ? ??? ? C. AO ? 3OD


??? ? ??? ? B. AO ? 2OD ??? ? ??? ? D. 2 AO ? OD

10.设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则





A. g (a) ? 0 ? f (b) B. f (b) ? 0 ? g (a) C. 0 ? g (a) ? f (b) D. f (b) ? g (a) ? 0 11. x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为





? ? ? ? ? ? ? ? ? 12.平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的
夹角,则 m ? ( A. ?2 B. ?1 ) C. 1 D. 2

A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.周期函数

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13.已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO ?
3

????

? ???? ? ??? ? ??? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

15.要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平 方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 元) 。(单位:

16.已知 ?ABC 中, a ? 2 ,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 的面积的 最大值为 16.若函数 f ( x ) ? x ? 6m x ? 3m 在(2, ? ? )上是增函数,则实数 m 的取值范围是
3

三、解答题
x x x 17.(10 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值

18.(12 分)已知函数

f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ?1.

(I)求 a ? 2时,讨论 f ? x ?的单调性; ; (II)若 x ??2, ???时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围.
? 3 ? 19.(14 分)已知向 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). 2 ? ? (1)当 a // b 时,求 2 cos 2 x ? sin 2 x 的值;

? ? ? ? ? ? f ( x ) ? ( a ? b ) ? b 在 ? ? , 0 ? 上的值域. (2)求
? 2 ?

20.(16 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

21.(18 分)设函数 f ( x) ? x ? kx ? x ?k ? R ? .
3 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .


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