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07指数运算与指数函数


暑假培训教材 周
2015 年 8 月 5 日星期三

指数运算与指数函数
【技巧要点】 熟悉图像特点,数形结合 【基础知识】 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N .
n

?

>负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n



?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r ?s

(a ? 0, r, s ? R)

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r, s ? R)
s

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) . (二)指数函数及其性质
r

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6
6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)
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注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 , f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值 域 是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;

【典例分析】 1. (2014 秋?建瓯市校级月考)已知函数 f(x)=2 ﹣2 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.
x
﹣x

2. (2015?上海模拟) (文) 已知函数 f(x)= (1)当 a=b=1 时,求满足 f(x)≥3 的 x 的 取值范围; (2)若 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,求 y=f(x)的解析式; (3)若 y=f(x)的定义域为 R,判断其在 R 上的单调性并加以证明.
x

【基础训练】 1. (2012 秋?潮阳区校级期中) A . B a3 . 的分数指数幂表示为( C .
x



D 都不对 . )

2. (2014 秋?河南期末)已知函数 f(x)=5 ,若 f(a+b)=3,则 f(a)?f(b)等于( A 3 B 4 C 5 D 25 . . . . 3. (2014?埇桥区校级学业考试)已知集合 则 M∩N=( ) A {﹣1,1} .

,M={﹣1,1},

B {0} .

C {﹣1} .
x

D {﹣1,0} .
2

4. (2014?监利县校级模拟)已知集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={y|y=x ,x∈R}则( A A∩B={2,4} B A∩B={4, D A? B 16} C A=B . . . . 5. (2014?武鸣县校级模拟)函数 y=2 的值域是( ) A (0,+∞) B (﹣1,+∞) C (1,+∞) . . .
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x﹣1



D ( ,+∞) .

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6. (2015?贵阳二模)函数 y=a (a>0,a≠1)与 y=x 的图象如图,则下列不等式一定成立

x

b

的是(
a

) B a+b>0 . C ab>1 . D loga2>b .

A b >0 .

7. (2015?丰台区一模)已知奇函数 对应的图象如图所示,那么 g(x)=( )

如果 f(x)=a (a>0 且 a≠1)

x

A .

B .
x﹣1

C 2 .

﹣x

D ﹣2x . )

8. (2015?沈阳模拟)函数 y=a +2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点的坐标为( A (2,2) B (2,4) C (1,2) D (1,3) . . . .
2 x

9. (2014?齐齐哈尔三模) 已知全集 U=R, 集合 A={x|x ﹣3x﹣4>0}, B={x|2 <1}, 则 (?UA) ∩B 等于( ) A {x|﹣1<x< B {x|﹣1≤x<0} C {x|0<x<4} D {x|x>4} . 4} . . .

10. (2011?福建)已知函数 f(x)= ( ) A ﹣3 .

.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于

B ﹣1 .

C 1 .

D 3 .

【提高训练】

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1. (2014 秋?南关区校级期中)函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最 小值大 , (1)求 a 的值; (2)求 f(2)的值.

x

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