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最新人教版高中数学必修2第三章《直线的两点式方程、直线的一般式方程》典型例题

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拓展延伸 应用点一 两点式方程 【例 1】求经过点 A(2,1)与 B(6,-2)的直线的方程. 思路分析:利用直线的两点式方程求解. 解:因为直线过点 A(2,1),B(6,-2),所以直线的两点式方程为 3x+4y-10=0. y-1 x-2 = ,即 -2-1 6-2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2). 求 BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 应用点二 截距式方程 【例 2】已知直线 l 过点 P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,求直线的 方程. 思路分析:关键是求出斜率 k 或求出直线在两坐标轴上的截距,即寻找关于 k 的方程或 两截距的方程组. 解:方法一:显然,直线 l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为 y-3=k(x+2). 3 令 x=0,得 y=2k+3;令 y=0,得 x=- -2, k 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 ?3+2?=4,即(2k+3)?3+2?=± |2k+3|· ?k ? ?k ? 8. 2 3 ? 若(2k+3)? ? k+2?=8, 则整理得 4k2+4k+9=0,无解; 3 ? 若(2k+3)? ? k+2?=-8, 1 9 则整理得 4k2+20k+9=0,解之,得 k=- ,k=- . 2 2 1 9 ∴所求直线的方程为 y-3=- (x+2)或 y-3=- (x+2), 2 2 即 x+2y-4=0 或 9x+2y+12=0. 方法二:显然,直线在两坐标轴上的截距均不为零. x y 设所求直线的方程为 + =1. a b ∵点 P(-2,3)在直线上,∴ -2 3 + =1.① a b 又∵直线与坐标轴围成的面积为 4, 1 ∴ |a|· |b|=4,即|a|· |b|=8.② 2 ? ? ?3a-2b=8, ?3a-2b=-8, 由①②可得(1)? 或(2)? ?ab=8, ?ab=-8. ? ? ? ? ?a=-3, ?a=4, 解(1)得? 或? ?b=2 ? ? 4 ?b=-6, 且方程组(2)无解. x y x y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 2 4 -6 - 3 即 x+2y-4=0 或 9x+2y+12=0. 直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6,求直线 l 的方程. 应用点三 一般式方程 【例 3】已知直线 Ax+By+C=0 的斜率为 5,且 A-2B+3C=0,求直线的方程. A 思路分析:利用斜率- =5 和已知式子求出 B,C 的关系,代入直线方程消去未知系 B 数. 解:方法一:∵直线 Ax+By+C=0 的斜率为 5, A ∴B≠0,且- =5,即 A=-5B.① B 又∵A-2B+3C=0,② 7 由①②得,-5B-2B+3C=0,∴C= B.③ 3 7 把①③代入直线方程,得-5Bx+By+ B=0. 3 7 又∵B≠0,∴-5x+y+ =0. 3 故所求直线方程为 15x-3y-7=0. 1 ?-2?+C=0, 方法二:∵A-2B+3C=0,∴A· +B· ? 3? 3 1 2? ∴直线经过点? ?3,-3?. 1? 2 又∵斜率为 5,∴所求直线方程为 y+ =5? ?x-3?, 3 即 15x-3y-7=0. 设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定 m 的 值. (1)l 在 x 轴上的截距是-3; (2)l 的斜率是-1. y-

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