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2.3.1双曲线及其标准方程(学案)


2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1. 掌握双曲线的定义; 2. 掌握双曲线的标准方程。 学习过程 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习 2:在椭圆的标准方程 的椭圆方程。 一、新课导学 (预习教材

x2 y 2 ? ? 1 中,a,b,c 有何关系?若 a=5,b=3,则 c=?写出符合 a 2

b2

找出疑惑之处)

问题 1 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样? 如图 ,定点 F1 , F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管, 点 M 移动时, MF ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线;由 MF ? MF2 是同一常数,可 1 1

以画出另一支。 新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 双曲线。 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 , 等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做

两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的



反思:设常数为 2a,为什么 2a ? F F2 ? 1

2a ? F1F2 时,轨迹是



2a ? F1F2 ,轨迹是



试试:点 A(1,0),B(-1,0),若 AC ? BC ? 1,则点 C 的轨迹
是 新知 2:双曲线的标准方程: 。

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴),其 2 a b

焦点坐标为 F (?c,0), F2 (c,0) 。 1

思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?
二、 典型例题 , 双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的

例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F (?5,0), F2 (5,0) 1 绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。

变式:已知双曲线 离为 练习 1

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距 16 9


求适合下列的双曲线的标准方程:

(1)焦点在 x 轴上,a=4,b=3. (2)焦点为(0,-6)(0,6),且经过点(2,-5).

例 2 已知 A,B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比 B 地晚 2s,且声速为 340m/s,求 炮弹爆炸点的轨迹方程。

变式:如果 A,B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

练习:点 A、B 的坐标分别是(-5,0)(5,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们斜率之积 是

4 ,试求点 M 的轨迹方程,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状。 9

小结: 1、 双曲线的定义; 2、双曲线的标准方程。

一、选择题( 5分 ? 4 )_____、_____、_____、_____ 1、已知点 A(0,-5)、B(0,5), PA ? PB ? 2a ,当 a=3 或 5 时,P 点的轨迹为( A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 直线 D.双曲线的一支或一条射线 2、双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 )

C.双曲线的一支或一条

?

6, 0 ,那么实数 k 的值为(
D.1 )

?



A.-25

B.25

C.-1

3、双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0) , F2 (3,0) ,若 a=2,则 b=(

A.5

B.13

C.

5

D.

13

4、点 P 是双曲线左支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 PF1 ? PF2 =( 10 2
B. ?2 10



A. 2 10

C. 2 10或 ? 2 10

D.无法确定

二、填空题(5 分×4)

7、若双曲线

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? 2 ? 1 有相同的焦点,则 a 的值为 16 a 4 a
2 2



8、双曲线 4 x ? y ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,那么点 P 到另一个焦 点的距离等于 。

三、解答题( 15分 ? 4 )

2 2 10、求与两个定圆 C1 : ? x ? 3? ? y ? 1和C2 : ? x ? 3? ? y ? 9 同时都外切的动圆的圆心的 2 2

轨迹方程。

11、若 F1 , F2 是双曲线 求△ F PF2 的面积。 1

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是双曲线上的点,且 PF PF2 ? 32 ,试 1 9 16

12、圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一个定点,P 是圆上任意一点。线段 AP 的垂直平分线 L 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是什么?为什么?


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