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棱柱、棱锥的体积

时间:2017-08-10


引入
瞧,这么宏伟壮观的金字塔呀! ——你们能求出它的体积吗?

看,这不是不复存在的世贸大厦吗? ——这两个棱柱的体积怎么求?

想知道吧? 让我们一起来学习今天的内容吧!

例如: 取一摞书放在桌面上,将它如图
那样改变一下形状,这时高度没有改变, 每页纸的面积也没有改变,因而这摞书的 体积与

变形前相等吗?。

祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个 几何体,被平行于这两个平面 的任何平面所截,如果截得的 两个截面的面积都相等,那么 这两个几何体的体积相等。
β S1 S2

夹在平行平面α、β间的两个几何 体,被平行于α、β的任何一个平 面所截,如果截面(阴影部分)的 面积S1=S2,那么这两个几何体的 体积一定相等。

祖暅

α

柱体的体积公式
设有底面积都等于S, 高都等于h的任意一个棱 柱、一个圆柱和一个长方 体,使它们的下底面在同 一个平面α内(右图)
s s

s

根据祖暅原理,可知它们的体积相等。由于长方体的体积等 于它的底面积乘于高,于是我们得到柱体的体积公式 V柱体=S?h 其中S是柱体的底面积,h是柱体的高

锥体的体积公式

为了求锥体的体积公式,我 们先研究等底等高的任意 两个锥体体积之间的关系!

设有底面积都等于S,高都等于h的两个锥体,使它们的底 面在同一个平面α内。 根据祖暅原理,可推导出定理。

定理: 等底面积等高的两个锥体的体积相等。
S1=S2
S1 S2

α

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥, 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三 棱柱的体积有什么关系?
A1 B1 C1 A1 B1 C1

A

C

A

C

B

B

对于一个任意的锥体,设它的底面积为S,高为h, 那么它的体积应等于一个底面积为S,高为h的三棱 锥的体积。

V三棱锥= ? ? S ? h
h

V圆锥= ? ? S ? h
h

S

S

定理: 如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是
那么它的体积是
V锥体= ? ? S ? h

例1:埃及的胡夫金字塔大约建于公 元前2580年,其形状为正四棱锥,金 字塔高约为146.6m底面边长约230.4m。 问:这座金字塔的侧面积和体积各是 A 多少?

C

B

例2:有一堆相同规格的六角螺毛坯共重5.8kg.已知底 面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径10mm, 问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3) 解:六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积

与一个圆柱的体积的差.
V正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3) P V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3)
O N

毛坯的体积
V=3.74×103-0.785×103

≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)
∴ 5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)

答:这堆毛坯约有250个。

小结
知识点:
1、理解掌握 锥体体积公式 和 柱体体积公式 。 2、了解例题中有关的面积与其投影面积关系

方法点和思想点:
1、研究三棱柱与三棱锥体积公式关系时所用的割 以及 其反面补 的方法。 2、研究过程中体现出从 一般到特殊 ,再从 特殊到一般 的 思想方法。

教育点:
实际问题提醒把我们应注意联系实际生活。

作业:


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