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高中数学人教A版必修1课件:对数运算及对数函数习题课

时间:2017-10-22


对数运算及对数函数习题课

-1-

1.能利用对数的概念和运算性质化简求值. 2.能借助对数函数的性质研究复杂函数的性质.

1

2

3

1.对数式与指数式的互化关系: 当 a>0,且 a ≠1 时,ab=N?b=logaN. 【做一做 1】

若 log1 = ?5, 则a=
2

.

解析 :∵log1 = ?5,
2

∴a=

1 -5 2

= 25=32.

答案 :32

1

2

3

2.对数的运算性质 : 如果 a>0,且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)=logaM+loga N;
(2)log

= logaM-logaN;
1 5-lg 5

(3)logaMn=nloga M(n∈R). 【做一做 2】 计算:4lg 2+3lg 解析 :原式=lg 24 + lg 5 答案 :4
3

=

.

1 -lg 5

= lg 24+lg 54=lg 104=4.

1

2

3

3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
a>1 图 象 定义域:{x|x>0} 值域:{y|y∈R} 性 当 x=1 时,y= 0,即图象恒过定点(1,0) 质 当 x>1 时,y> 0;当 0<x<1 当 x>1 时,y< 0;当 0<x<1 时,y<0 时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 0<a<1

1

2

3

【做一做 3】已知函数 f(x)=logax(a>0,且 a ≠1)的图象过点(2,-1), 则当 x∈
-1

1 ,4 2

时, f(x)的值域为
1 , 2

.

解析 :由已知 ,得 loga2=-1,

∴a =2,∴a= ∴f(x)=log 1 .
1
2

∴当 x∈ 2 ,4 时,f(x)=log1 为减函数, ∴f(4)≤f(x)≤
2

1 2

2

,
1
2

∴log 1 4≤f(x)≤log1 2 , 即-2≤f(x)≤1, ∴f(x)在 x∈ 2 ,4 上的值域为[-2,1].
答案 :[-2,1]
1

1.利用对数函数的单调性比较大小 剖析:(1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单调性进行判 断; (2)若底数为同一字母,则可根据对数函数的单调性对底数进行分 类讨论; (3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数的图象或换底公式 化为同底数,再作比较; (4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值-1,0,1等与其作比较.

2.与对数函数有关的函数值域的求法 剖析:充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法. 对于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤 如下: (1)分解成y=logau,u=f(x)这两个函数; (2)求f(x)的定义域; (3)求u的取值范围; (4)利用y=logau的单调性求解. 注意事项:(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个 字母),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论. (2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数 函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

对数的运算

【例 1】 计算:

2lg2+lg3
1 1+1 lg0 . 36+ 2 3lg8

= ________.

lg4+lg3 解析 :原式 = 1+lg0.6+lg2 lg12 lg12 = = = 1. lg(10×0.6×2) lg12

答案 :1

反思解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常用方法 有: (1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积,再展开; (2)将同底数的对数的和、差、倍合并; (3)不同底的对数式用换底公式化为同底.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 计算:(log43+log83)(log32+log92)-log 1 32.
2 5 1 1 1 解:原式 = 2 3 + 2 3 · 3 2 + 3 2 + log224 2 3 2 5 3 5 5 3 5 5 5 5 log23 × log32 + = × × log23 ×log32 + = + = . 6 2 4 6 2 4 4 4 2

4

=

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

对数函数图象变换

【例 2】 画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域、 值域以及单调区间: (1)y=log3(x-2);(2)y=|log 1 |.
2

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)函数 y=log3(x-2)的图象如图 ①所示 ,其定义域为(2,+∞),值 域为 R,在区间 (2,+∞)内是增函数 . log1 ,0 < ≤ 1, 2 (2)y=|log1 | = 其图象如图②所示 ,其定义域 2 log2 , > 1, 为 (0,+∞),值域为 [0,+∞),在 (0,1]上是减函数 ,在 (1,+∞)内是增函数 .

图①

图②

题型一

题型二

题型三

题型四

反思1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为正实数)的图象可由函数 y=f(x)的图象变换得到. 将y=f(x)的图象向左或向右平移a个单位可得到函数y=f(x±a)的 图象,再向上或向下平移b个单位可得到函数y=f(x±a)±b的图象 (记忆口诀:左加右减,上加下减). 2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y=f(|x-a|) 的图象是关于x=a对称的轴对称图形,也可以由y=f(x)的图象平移对 称得到y=f(|x-a|)的图象;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在x轴上 方相同,在x轴下方关于x轴对称. 3.y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,y=f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是( )

解析 :由 lg a+lg b=0,得 lg(ab)=0,所以 ab=1,故 a= , 所以当0<b<1 时 ,a>1;当 b>1 时 ,0<a<1. 又因为函数 y=-logbx 与函数 y=logbx 的图象关于 x 轴对称 , 利用这些信息可知选项 B 符合 0<b<1,且 a>1 的情况 . 答案 :B

1

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

对数型函数单调性的讨论

【例 3】 已知 f(x)=loga(a-ax)(a>1). (1)求 f(x)的定义域和值域; (2)判断并证明 f(x)的单调性 . 解 :(1)由 a>1,a-ax>0,即 a>ax,得 x<1.故 f(x)的定义域为 (-∞,1).由 0<a-ax<a,可知 loga(a-ax)<logaa=1.故函数 f(x)的值域为(-∞,1). (2)f(x)在(-∞,1)内为减函数 . 证明如下 :任取 1>x1>x2,

∵a>1,∴ 1 > 2 , ∴a? 1 < ? 2 , ∴loga(a? 1 )<loga(a? 2 ),
即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在 (-∞,1)内为减函数.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思1.对数型函数的单调性可用单调性定义判断. 2.关于形如y=logaf(x)一类函数的单调性,有以下结论:函数 y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性,当a>1时相同,当 0<a<1时相反. 研究此类型的函数单调性,首先要考虑函数的定义域,即“定义域 优先”.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 求函数 y=log2(3-2x)的单调区间. 解 :由 3-2x>0,解得函数 y=log2(3-2x)的定义域是 设u=3-2x,x∈ -∞,
3 2 3 2 3 -∞, 2

.

, ∵u=3-2x 在 -∞,
3 -∞, 2

内是减函数,且 y=log2u 在

(0,+∞)内单调递增,

∴函数 y=log2(3-2x) 在

内是减函数.
3 -∞, 2

∴函数 y=log2(3-2x)的单调减区间是

.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

对数型函数的奇偶性问题

【例4】 已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明; (3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.

题型一

题型二

题型三

题型四

+ 1 > 0, 解:(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则 解得-1<x<1,故所 1- > 0, 求定义域为(-1,1).
(2)f(x)为奇函数.证明如下: 由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数. (3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数, 所以由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x),即 x+1>1-x,解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范围是(0,1).

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 4】 若函数 f(x)=log2 则实数 a 的值为 .

1+ 的图象关于原点对称 , -

解析 :由图象关于原点对称可知函数 f(x)为奇函数 ,所以 f(-x)+f(x)=0, 即 log2
1- 1+ + log2 + -

= 0,

1-2 1-2 所以 log2 2 2 = 0, 即 2 2 = 1, 即a2=1, - - 1+ 又 > 0, 所以a=1.经检验 ,a=1 符合题意 . -

答案 :1


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