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《指数函数及其性质》第二课时课件

时间:2017-12-27


2.1.2指数函数的图像 及其性质

20 世纪 60 年代初的三年自然灾害以后,我国人 口增长出现高峰。1964年全国第二次人口普查数据 显示,当时总人口已接近 9 亿。通过计划生育政策 将人口平均增长率控制在 1%,那么经过50年后,我 国人口数最多为多少(精确到亿)?

解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿。 1964年底,我国人口约为9亿.经过1年(即1965年),人口数为: 9+9×1% = 9×(1+1%)(亿) 经过2年(即1966年),人口数为: 9×(1+1%)+9×(1+1%)×1% = 9×(1+1%)2(亿) 经过3年(即1967年),人口数为: 9×(1+1%)2+9×(1+1%)2×1% = 9×(1+1%)3(亿)

解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿。 所以,经过x年,人口数为: y= 9×(1+1%)x = 9×1.01x

当x=50时, y=9×1.0150≈15(亿)
所以经过50年后,我国的人口数最多为15亿。 y=9×1.0250≈24.3(亿) 如若不推行计划生育政策,

我们把形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为 指数型函数。

问题一:指数函数的定义理解(形式定义) 形如 函数称作指数函数;
?x

例1.判断下列函数中,哪些是指数函数?

(1) y ? 2

(2) y ??
x

x

(3) y ? 2 ?x (5) y ? ?
变式1.若函数 则a=?

(4) y ? 2

1 x

是指数函数,

归纳:指数函数
a>1
y

(a>0且a≠1 ) 的图像及性质
0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y

图 象
a>1 图 象 特 征

y=1 0

y=ax (a>1)

(0,1)
x

0<a<1 函 数 性 质

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?).

2.当x=0时,y=1
3.在R上是减 函数 4.当x>0时, 4.当x>0时,y>1; 0<y<1;当x<0 当x<0时,0<y<1. 时, y>1. 3.在R上是增 函数

利用指数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 与 1.53.2;(2)0.6-1.2 与 0.6-1.5;
?5?-2 (3)?8? 3 ? ?

与 1;

?4? (4)?5? ? ?



1 2

? 9 ?1 与?10?3 ? ?

.

[思路探究]
利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是 什么?

[ 边听边记]

(1)函数y=1.5x在R上是增函数,

∵2.5<3.2,∴1.52.5<1.53.2. (2)函数y=0.6x在R上是减函数, ∵-1.2>-1.5,∴0.6-1.2<0.6-1.5.
?5? 5 ?x (3)因为0< <1,所以函数y= ? ?8? 在定义域R内是减函数, 8 ? ? ?5? 2 ?5? ?5? 2 2 ? ?-3 ? ?0 ?-3 又因为- <0,所以?8? >?8? =1,所以? >1. ?8? 3 ? ? ? ? ? ?

比较幂值大小的三种类型及处理方法

比较下列各题中两个数的大小:
(1)30.8,30.7 (2)0.75-0.1,0.750.1

解:(1)底数3>1,所以指数函数y=3x为 增函数 。 因为0.8>0.7,所以30.8 >30.7 (2)底数0.75<1,所以指数函数y=0.75x为 减函数 。 因为-0.1<0.1,所以0.75-0.1> 0.750.1

比较下列各题中两个数的大小: (1)20.7,50.7 (3)22.7,0.72.7
y f(x)=5x y
f(x)=0.6x g(x)=0.7x

(2)0.6-0.5,0.8-0.5
(4)0.92.5,2.50.9
y
f(x)=2x

. . g(x)=2
o
0.7

x

. .
-0.5 o

. .

g(x)=0.9x y

f(x)=2.5x

g(x)=0.8x

. .
x

x

x

o

2.7

o 0.9

x 2.5

20.7<50.7

0.6-0.5>0.8-0.5

22.7>0.72.7

0.92.5<2.50.9

变式训练
如图曲线C1,C2,C3,C4 分别是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx,的图象,则a,b,c,d与1 的大小关系是 ?

b<a<1<d<c
指数函数图象与底数的关系

已知下列不等式,比较m、n的大小

(1)2m<2n
(3)am<an(0<a<1)

(2)0.3m<0.3n
(4)am>an (a>1)

解:(1)由于2>1,所以y=2x在R上是 增函数 。 因为2m<2n,所以m <n (2)底数0.3<1,所以y=0.3x在R上是 减函数 。 因为0.3m<0.3n,所以m>n

已知下列不等式,比较m、n的大小

(1)2m<2n
(3)am<an(0<a<1)

(2)0.3m<0.3n (4)am>an

解:(3)由于0<a<1 ,所以y=ax在R上是 减函数 。 因为am<an,所以m <n

解简单的指数不等式
?1? 2- (1)解不等式?3?x 2≤3 x; ? ?

(2)已知(a2+2a+3)x>(a2+2a+3)1 x,求 x 的取值范围.



? [思路探究] ? 1.未知数在什么位置? ? 2.如何转化为常规不等式?

?2 ? +2>1, a + 1 (2)∵a +2a+3= ?

2

? ? ?

∴y=(a2+2a+3)x在R上是增函数. 1 ∴x>1-x,解得x> . 2
? ? ? ? 1 ? ∴x的取值范围是 x?x>2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

解指数不等式应注意的问题

(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单
调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与 0<a<1两种情况讨论; (2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底 数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调

性求解.

2.如果a-3x<ax+8(a>0且a≠1),求x的取值范围.

解析: ①当a>1时,y=ax是增函数, 由a-3x<ax+8得-3x<x+8,解得x>-2. ②当0<a<1时,y=ax是减函数, 由a-3x<ax+8得-3x>x+8, 解得x<-2.

指数函数性质的综合应用问题
1 已知函数f(x)=a- x (x∈R). 2 +1 (1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为 增函数; (2)若f(x)为奇函数,求a的值; (3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5] 上的最小值.

? [思路探究]

? 已知奇偶性,如何求解析式中的参数?
[规范解答] 分 1 1 则 f(x1)-f(x2)=a- x1 -a+ x2 2 +1 2 +1 2x1-2x2 = . ?1 +2x1? ? 1 +2x2? ∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0. 3分 (1)证明:∵f(x)的定义域为 R,任取 x1<x2,1

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以不论a为何实数f(x)在(-∞,+∞)上总为增函数.5分 (2)∵f(x)在x∈R上为奇函数, ∴f(0)=0, 1 1 即a- 0 =0,解得a= . 2 2 +1 1 1 1 经检验,a= 时,f(x)= - x 是奇函数. 2 2 2 +1 7分 8分 9分

1 1 (3)由(2)知,f(x)= - x , 2 2 +1 由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)为增函数, ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1). 1 1 1 ∵f(1)= - = , 2 3 6 1 ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为 . 6 14分 12分

a 3.已知定义在R上的函数f(x)=2 + x,a为常数,若f(x)为 2
x

偶函数. (1)求a的值; (2)判断函数f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用单调性定义 给予证明; (3)求函数f(x)的值域.

解析: (1)由f(x)为偶函数,得 a 1 对任意实数x都有2 + x= x+a· 2x成立, 2 2
x

1 即2 (1-a)= x· (1-a), 2
x

∴1-a=0,∴a=1. 1 (2)由(1)知f(x)=2 + x,且f(x)在(0,+∞)上单调递增. 2
x

证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,

?1 1? 1 ? x2 1 ? x1 x2 则 f(x1) - f(x2) = 2 + 2x1 - ?2 +2x2? = (2 - 2 ) + ?2x1-2x2? ? ? ? ?
x1 x2 x1 ? 1 ? 2 - 2 ? x1 x2 x1 x2 ? x1 1 - + = (2 - 2 ) + 2x1· = (2 - 2 ) = (2 - x 1 x 2 x2 ? ? 2 2 ? ? x1 x2 2 -1 x2 2 )· x1+x2 , 2


(*)

当 x1<x2,且 x1,x2∈(0,+∞)时,2x1<2x2,2x1+x2>1, ∴(*)式小于 0, 从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.

1 (3)由(2)及f(x)为偶函数知f(x)=2 + x 在(-∞,0)上单调递 2
x

减, 1 令t=2 >0,则y=t+ (t>0), t
x

1 ∴函数y=t+ (t>0)在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增, t ∴函数f(x)的值域为[2,+∞).


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