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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

时间:2010-04-02


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题 第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
* 1. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 4 n ? N ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a21 ?

?

?

. . .

2

. 若集合 A ? x

?

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R 为空集,则实数 a 的取值范围是

?

3. 设 x 、 y 为实数, 2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x2 ? 4 x ? y 2 ? 2 y 的最小值是

x2 y 2 4. 设 F 、F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点, F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A 、B 以 1 a b
两点,且 ?AF1B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k ? 1 之间,则 k ? .

5. 已知长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的重叠部 1 分的体积等于 . .

6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ?? [log3 258] ?

7. 设方程 x2n?1 ? a2n x2n ? a2n?1 x2n?1 ? ?? ?a1x ? a0 ? 0 的根都是正数,且 a1 ? ? ? 2n ?1? ,则

a0 的最大值是

. 个棋盘格.

8. 2009 ?1911 的方格棋盘的一条对角线穿过

二、 解答题(本题满分 14 分) 求函数 f ? x ? ? sin x ? tan x ? cos x ? cot x 的值域.
4 4

1

三、解答题(本题满分 15 分)

如图, 抛物线 y 2 ? 2 x 及点 P ?1,1? , 过点 P 的不重合的直线 l1 、l2 与此抛物线分别交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
y C A P O D B x

四、解答题(本题满分 15 分) 设 a , b 是正数,且 a ? 1 , b ? 1 ,求证:

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . a 4 ? 1 b4 ? 1 64

2

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上 的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点共线.
A

D B

M P N

E

C

二、 (本题满分 50 分) 设 k , n 为给定的整数, n ? k ? 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和, 记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

3

三、 (本题满分 50 分) 设 M ? 2 1 ? 2 2 ? ? ? 2 s , n1 , n2 ,?, ns 是互不相同的正整数,求证:
n n n
n1 2 n2 2 ns 2

M ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? 2

?

?

M.

四、 (本题满分 50 分) 求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y ? 1 互素; (2) x2 ? x ? 1 ? y3 .

4


2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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