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2015-2016学年高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案 新人教A版必修4


第一章 1.5

三角函数三角函数

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

1.了解函数 y=Asin(ω x+φ )的实际意义,理解 φ ,ω ,A 对函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象的影响. 2.会用“五点法”作出函数 y=Asin(ω x+φ )及函数 y=Acos(ω x+φ )的图象. 3 .理

解并掌握通过对函数 y= sin x 的图象进行平移变换及伸缩变换得到函数 y =

Asin(ω x+φ )的图象的方法.

基 础 梳 理 一、ω 、φ 、A 对 y =Asin(ω x+φ )的图象的作用 1.y=sin(x+φ )的图象与 y=sin x 图象的关系.

y=sin(x+φ )的图象可以看作是把 y=sin x 的图象向左(φ >0)或向右(φ <0)平移|φ |
个长度单位而得到. 2.y=sin(ω x+φ )的图象与 y=sin(x+φ )图象的关系.

y=sin (ω x+φ )的图象可以看作是把 y=sin(x+φ )的图象上所有点的横坐标缩短
1 (ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的 倍,纵坐标不变而得到. ω 3.y=Asin(ω x+φ )的图象与 y=s in(ω x+φ )图象的关系.

y=Asin(ω x+φ )的图象可以看作是把 y=sin(ω x+φ )的图象上所有点的纵坐标伸
长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍,横坐标不变而得到. 4.y=sin x 的图象与 y=Asin(ω x+φ )图象的关系. 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象,可以看作是用下面的方法得 到的:先画出 y=sin x 的图象,再把正弦曲线向左(右)平移|φ |个长度单位,得 到函数 y
1

1 =sin(x+φ )的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 ω

y=sin(ω x+φ )的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变,这时
的曲线就是函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. 思考应用 1.由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=sin(ω x+φ )图象,有几种途径?这几种 途径有何不同? 解析:由 y=sin x 的图象变换出 y=sin(ω x+φ )的图象一般有两个途径,只有区别 开这两个途径,才能灵活进行图象变换. 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sin x 的图象向左(φ >0)或向右(φ <0)平移|φ |个单位,再将图象上各点的 1 横坐标变为原来的 (ω >0)倍,便得 y=sin(ω x+φ )的图象. ω 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 1 先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 (ω >0)倍,再沿 x 轴向左(φ >0) ω |φ | 或向右(φ <0)平移 个单位,便得 y=sin(ω x+φ )的图象. ω 两者最大的区别就是平移单位的不同. 二、“五点法”作图 用“五点法”画函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象. 2π (1)确定函数的最小正周期 T= ; ω (2)令 ω x+φ 分别等于 0, φ - ω 0 0 π 3π ,π , ,2π 确定这五个关键点,列表如下: 2 2 π -φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π -φ ω 2π 0

x

π -φ 2 ω π 2

ω x+φ

y
这五个点为:

A

π -φ 2 φ ? ? ?π -φ ? - , 0 P1? ?,P2 ω ,A,P3? ω ,0?, ? ω ? ? ? 3π -φ 2 ?2π -φ ,0?. P4 ,-A,P5? ? ω ? ω ?
2

其中,P1,P3,P5 均为零点(图象与 x 轴的交点),P2 是最大值点,P4 是最小值点,这五 个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点. (3)描点, 画出函数在一个周期内的图象, 再向左、 右无限扩展, 就得到函数 y=Asin(ω x +φ )(A>0,ω >0)的图象. 思考应用 2.研究函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的性质及其利用五点法作函数的图象的主 要数学思想方法是什么? 解析:整体代换的数学思想方法,即把 ω x+φ 看成一个整体.把函数 y=Asin(ω x+ φ )(A>0,ω >0)的性质问题转化为 y=sin x 的性质和图象问题去处理. 三、函数 y=Asin(ω x+φ )的性质 1.y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单调递增区间由 2kπ - π π ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2

π 3π (k∈Z)求得,单调减区间由 2kπ + ≤ω x+φ ≤2kπ + (k∈Z)求得. 2 2 2.y=Asin(ω x+φ )的图象的对称轴方程由 ω x+φ =kπ + π (k∈Z)求得,即 x= 2

kπ + -φ

π 2 ω

(k∈Z);对称中心横坐标由 ω x+φ =kπ (k∈Z)求得,即 x=

kπ -φ
ω

(k∈Z),

得对称中心坐标为?

?kπ -φ ,0?(k∈Z). ? ? ω ?

π 3.当 φ =kπ + (k∈Z)时,函数 y=Asin(ω x+φ )是偶函数; 2 当 φ =kπ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ω x+φ )是奇函数; π 当 φ ≠kπ + 且 φ ≠kπ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ω x+φ )是非奇非偶函数; 2 4.在物理学中,y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0),x∈[0,+∞)表示简谐运动的运动方 程,这时参数 A,ω ,φ 有如下物 理意义: (1)A 称为简谐运动的振幅,它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离. 2π (2)T= 称为简谐运动的周期, 它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间[即 ω 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的最小正周期]. 1 ω (3)f= = 称为简谐运动的频率, 它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次 T 2π 数. (4)ω x+φ 叫做相位,当 x=0 时的相位 φ 称为初相. 思考应用
3

3.y=Asin(ω x+φ ),x∈[1,+∞)中,A<0,ω <0 时,物理意义变化了吗? 2π 解析:振幅应为-A,周期为 T= ,φ 不是初相,应先用诱导公式化为正数后,再 -ω π? π? π ? ? 确定初相 φ .如 y=-sin?2x- ?的初相 φ ≠- ,因为 A=-1<0,y=-sin?2x- ?= 3 3? 3 ? ? ? π ?? 2π ? 2π ? ? ? sin?π +?2x- ??=sin?2x+ ?,初相为 φ = . 3 3 3 ? ? ?? ? ?

自 测 自 评 π? ? 1.函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是(B) 6? ? A. π 2 B.π C.2π D.4π

π? 2π 2π ? 解析:由周期公式 T= ,又 w=2,所以函数 f(x)=cos?2x- ?的周期 T= =π . 6? ω 2 ? 故选 B. 2.把函数 y=cos x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 两倍,然后把图象向左平移 π 个单位,则所得图象表示的函数的解析式为(B) 4

A.y=2sin 2x B.y=-2sin 2x π? ? C.y=2cos?2x+ ? 4? ?

?x π ? D.y=2cos? + ? ?2 4 ?

解析:把函数 y=cos x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,所得图象表示的 函数的解析式为 y=cos 2x,再把纵坐标扩大到原来的两倍,所得图象表示的函数的解析式 π 为 y=2cos 2x,然后把图象向左平移 个单位,所得图象表示的函数的解析式为 y=2cos 4

? π? 2?x+ ?? y=-2sin 2x.故选 B. 4? ?
π ? π? 3.把 y=sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin?x+ ?的图象;再把所得 3? 3 ?

?1 π ? 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 而纵坐标保持不变, 得到函数 y=sin? x+ ? 3? ?2
的图象. π π ? π? 解析:向左平移 个单位,即以 x+ 代 x,得到函数 y=sin?x+ ?,再把所得图象 3? 3 3 ?

4

1 ?1 π ? 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,即以 x 代 x,得到函数:y=sin? x+ ?. 3? 2 ?2 9π 4.已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,-π ≤φ ≤π )的图象如图所示,则 φ = . 10

T 3π 5 π 5π 4 解析:由图 可知, =2π - = ,∴T= ,∴ω = , 2 4 4 2 5

?4 ? 得 函 数 y = sin ? x+φ ? (-π ≤φ <π ?5 ?

) , 把 点 (2 π

, 1) 代 入 上 式 , 有 1 =

9π ?4 ? sin? ×2π +φ ?,且-π ≤φ <π ,∴φ = . 10 ?5 ?

基 础 提 升 π 1.函数 y=3sin(2x+ )的最小正周期为________. 4 答案:π 2. (2015·新课标全国高考Ⅰ卷)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图像如图所示, 则 f(x) 的单调递减区间为(D)

5

1 3? 1 3? ? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4 4 4? ? ? ? 3? 1 3? ? 1 ? C.?k- ,k+ ?,k∈Z D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4? 4 4? ? 4 ? 1 π ω +φ = ? ?4 2 π? π ? 解析: 由五点作图知, , 解得 ω =π , φ= , 所以 f(x)=cos?π x+ ?, ?5 4? 4 ? 3π ω +φ = ? ?4 2 令 2k π < π x + π 1 3 <2k π + π , k ∈ Z ,解得 2k - < x < 2k + , k ∈ Z ,故单调减区间为 4 4 4

?2k-1,2k+3?,k∈Z,故选 D. ? ? 4 4? ?
π? ? 3.函数 y=cos?2x+ ?的图象的一个对称中心是(C) 3? ? A.? C.?

?5π ,1? B.?π ,-1? ? ?3 ? ? 6 ? ? ? ?π ,0? D.?π ,0? ? ?24 ? ?12 ? ? ?

1 4.用“五点法”作 y=2sin x 的图象时,描出的五点的横坐标应该是(C) 2 π 3π A.0, ,π , ,2π 2 2 C.0,π ,2π ,3π ,4π B.0, π π 3π , , ,π 4 2 4

π π π 2π D.0, , , , 6 3 2 3

1 1 π 3π 解析:y=2sin x 五个关键点的横坐标由 x=0, ,π , ,2π ,即 x=0,π ,2 2 2 2 2 π ,3π ,4π .

6

?1 π ? 5.函数 y=3sin? x- ?的振幅、相位、初相分别是________________________. 4? ?2
1 π π 答案:3, x- ,- 2 4 4 6.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< 数 f(x)的解析式为(D) π )的部分图象如图所示.则函 2

?1 π ? A.f(x)=2sin? x+ ? 6? ?2 ?1 π ? B.f(x)=2sin? x- ? 6? ?2
π? ? C.f(x)=2sin?2x- ? 6? ? π? ? D.f(x)=2sin?2x+ ? 6? ?

T 5π π π 2π 解析:显然有 A=2,且周期有 = - = ? T=π ,由 T= =π ,得 ω =2,∴ 4 12 6 4 ω f(x)=2sin(2x+φ ),
π π π π 由图象得 2× +φ = ,|φ |< ,得 φ = , 6 2 2 6 π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?,故选 D. 6? ? 巩 固 提 高 π? π ? 7.将函数 y=3sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数(B) 3? 2 ? A.在区间? B.在区间?

?π ,7π ?上单调递减 ? ?12 12 ? ?π ,7π ?上单调递增 ? ?12 12 ?

? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3?

7

? π π? D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?
π? π ? 解析:将函数 y=3sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数解 3 2 ? ? 析式为

y=3sin?2x-

? ?

2π ? 2π ? π 2π π ? , 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ , k∈Z, 即 y=3sin?2x- ?的 3 ? 3 ? 2 3 2 ? ?

7π ?π ? 增区间为? +kπ , +kπ ?,k∈Z,令 k=0,则可知 B 正确。 12 ?12 ? 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的性质. π 8.如果函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 6 对称,那么 φ 的最小值为(A) A. C. 5 π 12 11 π 12 11 B. π 6 D.以上都不对

π 解析: y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位得 y=sin2(x-φ )的图象. 又关于 x= 对 6 π π 5 ?π ? 称,则 2? -φ ?=kπ + (k∈Z),2φ =-kπ - ,取 k=- 1,得 φ = π . 2 6 12 ?6 ? π? ? ?7π ? 9.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?|φ |< ?的图象如图所示,则 f? ?=________. 2? ? ? 12 ?

2 ? 5π π ? 2π 2π π 解析:由图象知最小正周期 T= ×? - ?= = ,故 ω =3,又 x= 时,f(x) 4? 3 3 ? 4 ω 4 π π ? π ? =0,即 2sin?3× +φ ?=0,又|φ |< ,∴φ = , 4 2 4 ? ? ∴f?

?7π ?=2sin?3×7π +π ?=0. ? ? ? 12 4 ? ? 12 ? ?
8

答案:0 π? ? ? π? 10.已知函数 y=asin?2x+ ?+b 在 x∈?0, ?上的值域为[-5,1],求 a,b 的值. 6? 2? ? ? π? ? 分析: 先由 x 的范围确定 sin?2x+ ?的范围,再根据 a 的符号,讨论 a,b 的取值. 6? ?

? π? 解析:∵x∈?0, ?, 2? ?
π ?π 7 ? ∴2x+ ∈? , π ?, 6 ?6 6 ? π? ? 1 ? ? sin?2x+ ?∈?- ,1?. 6? ? 2 ? ?

a+b=1, ? ? 当 a>0 时,? a - +b=-5, ? ? 2
解得?
? ?a=4, ?b=-3. ?

1 ? ?- a+b=1, 当 a<0 时,? 2 ? ?a+b=-5, 解得?
? ?a=-4, ? ?b=-1.

∴a,b 的取值分别是 4,-3 或-4,-1.

1.图象的平移、伸缩变换问题. 要得到 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的图象,可由以下变换得到:将 y=sin x 的 图象向左(φ >0)或向右(φ <0)平移|φ |个长度单位, 再把所得图象上各点的横坐标变为原来 1 的 倍(纵坐标不变), 又把所得图象上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变), 最后把 ω 所得图象上各点向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个长度单位,这时的曲线就是函数 y =

Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的图象.
2.由图象确定函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式. 由图象确定函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式,主要从三个方面考虑:

9

(1)A 的确定:根据图象的最高点(或最低点)确定 A.需要注意:如果函数的最大值、最 小值不是互为相反数,说明解析式的形式为 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)若设最大值 为 m ,最小值为 n,则 A+k=m,-A+k=n,从而 A=

m-n
2

,k=

m+n
2

.

2π (2)ω 的确定:结合图象先求周期 T,然后由 T= 确定 ω . |ω | (3)φ 的确定:若能求出离原点近的图象上最高点(或最低点)的横坐标 x0,令 ω x0+φ 3π ? π? = ?或ω x0+φ = ?,即可求出 φ . 2 ? 2?

10


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