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数学理卷·2014届安徽省泗县双语中学高三12月月考(2013.12)


(理科 考试时间 120 分钟 总分 150 分)
一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1.满足 M ? {a1 , a2 , a3 , a4 } 且 M ? {a1 , a2 , a3 } = {a1 , a2 } 的集合 M 的个数是( A 1 B 2 C 3 D 4 ) )

2. 设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x

) = 2 x - 4( x ? 0 ) ,则不等式 f ( x - 2 ) >0 的解集为( A. x x <0 或 x > 4} C. x x <0 或 x > 6}

{ {

B. x x < - 2 或 x > 4} D. x x < - 2 或 x > 2} )

{

{

3.已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM × PN =12,则点 P 的轨迹方程为( A.

x2 + y2 = 1 16

B. x 2 + y 2 = 16 D. x 2 + y 2 = 8

C. y 2 - x 2 = 8 4.已知函数 f ( x ) = A.

ax 2 + 4 ax + 4的定义域为 R,则实数 a的取值范围为 (
C.

)

( 0.1]

B. (-?, 0] ? [1, +?)

(-?,0) ? (1, +? )


D.

[0,1]

5.已知命题 p “任意 x > 0 , ln x ? x - 1 ” ,则 ?p 为( A 存在 x > 0 , ln x ? x - 1 C 任意 x ? 0 , ln x > x - 1

B 存在 x > 0 , ln x > x - 1 D 任意 x > 0 , ln x > x - 1
*

6. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Sn + an = 2n(n ? N ) , 且 则下列数列中一定是等比数列的是 ( A



{ an }

B.

{an - 1}

C.

{an - 2}

D.

{an + 2}

7. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ) = í A -1 B 0 8.下列命题中正确的是( A. y = x + C 1 )

ìlog 2 (1 - x ), x ? 0 ,则 f (2009) 的值为 ? f ( x - 1) - f ( x - 2), x > 0
D 2.

1 的最小值是 2 x 4 2 C. y = sin x + 的最小值是 4 sin 2 x
9. 已知 cos( x -

B. y = 2 - 3 x -

4 ( x > 0 ) 的最大值是 2 - 4 3 x 4 D. y = 2 - 3 x - ( x < 0 ) 的最小值是 2 - 4 3 x

p 3 p )=,则 cos x + cos( x - ) = 6 3 3

第 1 页 共 8 页

A. -

2 3 3

B. ±

2 3 3 r

C. - 1

D. ± 1

10 .已知 m > 0, n > 0 , 向量 a = (1,1) , 向量 b = ( m, n - 3) , a ^ a + b , 且 则 A.9 B.16 C.18 D.8

r

r

(

r r

)

1 4 + 的最小值为 ( m n



2013—2014 上学期高三数学试题答题卷
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题(每小题 5 分 共 25 分)
11.直线直线 l1:x+3y-7=0、l2:kx- y-2=0 若这两条直线互相垂直,则 k 的值等于______ 12. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的表面积为_______

a b x -1 2 = ad - bc f ( x) = c d - x x + 3 在 (-?, m) 上单调递减,则实数 m 的取值范围是 ,若函数 13.定义运算
_______

14.已知 x, y 满足约束条件 15. 出下列命题

ì x2 + y 2 ? 4 ? íx - y + 2 ? 0 ? y?0 ?

,则目标函数 z = 2 x + y 的最大值是___________

y = f ( x) ①若 y = f ( x) 是奇函数,则 的图象关于 y 轴对称;
②若函数 f(x)对任意 x ? R 满足 f ( x) × f ( x + 4) = 1 ,则 8 是函数 f(x)的一个周期; ③若

log m 3 < log n 3 < 0 ,则 0 < m < n < 1 ;

④若 f ( x) = e

x-a



[1, +? ) 上是增函数,则 a ? 1 。

其中正确命题的序号是___________.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x - 3 y = 0 上,且被直线 y = x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程。

17. (本小题满分 12 分) 在 DABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2bc cos A = a - (b + c ) .
2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a = 4 3 , DABC 的面积为 4 3 ;求 b, c .

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a =

r

(

r r r 2 3 cos x, 0 , b = ( 0,sin x ) ,记函数 f ( x ) = a + b + 3 sin 2 x .求:

)

(

)

(I)函数 f ( x ) 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ( x ) 的单调递增区间.

19 。 (小题满分 13 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、 BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值.

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20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = e x

1 2 x - ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x = 0 处的切线方程为 y = 2 x + b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

21.(本小题满分 13 分) 且 数列 {bn } 满足 b1 = 1 , 且点 P (bn , bn +1 ) ( n ? N * ) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n = 2 an - 2 ( n ? N * ) , 在直线 y = x + 2 上. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an × bn } 的前 n 项和 Dn ; (Ⅲ)设 cn = an × sin 2

np np - bn × cos 2 ( n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2

第 4 页 共 8 页


BABDB 11. 3 CCBCA 13.小于等于-2 14. 2 5 15. 1 2 4



17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理得
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A

……………2 分

代入 2bc cos A = a 2 - (b + c ) 2 得 4bc cos A = -2bc ,……………4 分 1 2p ∴ cos A = - , ∵ 0 < A < p ,∴ A = ………………6 分 2 3

(18)解: (Ⅰ) f ( x) = (a + b) + 3 sin 2 x
2

…………………………3 分 = 1 + 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = cos 2 x + 3 sin 2 x + 2 π ………………………… 5 分 = 2 sin(2 x + ) + 2 , 6 2π (k ? Z) 当且仅当 2 x + π = 2kπ + 3π ,即 x = kπ + 时, f ( x ) min = 0 , 3 6 2 2 ì ü 此时 x 的集合是 í x | x = kπ + π, k ? Z? . …………………………… 8 分 3 ? ?

19 【解析】方法一:(1)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°, AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0). 不妨令 P(0,0,t),∵ PF =(1,1,-t), DF =(1,-1,0),
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uur

uuu r

∴ PF · DF =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0, 即 PF⊥FD. …………………………………4 分 (2)存在.设平面 PFD 的一个法向量为 n=(x,y,z),结合(1),

uur

uuu r

uur ìx+y-tz=0 ìn × PF = 0 ? ? ,得í 由 í uuu r ? ?x-y=0 ?n × DF = 0 ?



t t t 令 z=1,解得:x=y= .∴n=( , ,1). 2 2 2

uuu r 1 t t t 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ·n=0,即(- )× +0× +m×1=m- =0, 2 2 2 4
1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. …………………………………8 分 4 4 (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0), 又∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 1 1 得∠PBA=45°,PA=1,结合(2)得平面 PFD 的法向量为 n=( , ,1), 2 2

uuu r 1 1 设 G 点坐标为(0,0,m),E( ,0,0),则 EG =(- ,0,m), 2 2

uuu r

uuu r

uuu r uuu r AB × n r ∴cos〈 AB ,n〉= uuu = | AB | × | n |

1 2 1 1 + +1 4 4



6 , 6

由题意知二面角 A-PD-F 为锐二面角. 故所求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值为 方法二:(1)连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴DF +AF =AD ,∴DF⊥AF, 又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A, ∴DF⊥平面 PAF,又∵PF?平面 PAF,∴DF⊥PF. 1 (2)过点 E 作 EH∥DF 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD,且有 AH= AD, 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PFD,∴EG∥平面 PFD. 1 从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. 4 (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,且∠PBA=45 °,∴PA=AB=1,
2 2 2

6 .…………………………………12 分 6

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取 AD 的中点 M,则 FM⊥AD,FM⊥平面 PAD, 在平面 PAD 中,过 M 作 MN⊥PD 于 N,连接 FN,则 PD⊥平面 FMN, 则∠MNF 即为二面角 A—PD—F 的平面角, MN MD ∵Rt△MND∽Rt△PAD,∴ = , PA PD ∵PA=1,MD=1,PD= 5,∴MN= 又∵∠FMN=90°,∴FN= MN 6 ∴cos∠MNF= = . FN 6 5 , 5

6 30 = , 5 5

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