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1.6 三角函数模型的简单应用


第一章

三角函数

1.6 三角函数模型的简单应用
吕许凤

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日常生活中常见的三角函数模型 ― ― → 由三角函数模型解决问题 重点难点 重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变

化规律的实际问

题. 难点:将某些实际问题抽象转化为三角函数模型.


数学应用题的解题思路

思议

π 时的位置)的距离 h (cm)由下面的函数关系式表示:h =3sin(2t + ). 4 (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置; (3)经过多长时间小球往返振动一次?

它在时间 t(s)内离开平衡位置(静止 1 弹簧挂着的小球做上下振动, 、

展评

1、 【解】

π 3 2 (1)令 t= 0,得 h= 3sin = , 4 2

3 2 所以开始振动的位置为(0, ). 2 π π (2)由题意知,当 h= 3 时, t= ,即最高点为 ( , 3); 8 8 当 h=- 3 时, t= 5π 5π ,即最低点为 ( ,- 3). 8 8

2π (3)T= = π≈3.14,即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次. 2

【名师点评】

已知实际问题的函数解析式解决相关问

题,题目一般很容易,只需将具体的值代入计算即可. 三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理

意义的考查.

思议
2、 某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位: 小时)的函数,下面是水深数据:

t(时 )

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米)

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

根据上述数据描出的曲线如下图所示,经拟合,该曲线

可近似地看成正弦函数y=Asin ωt+b的图象.

(1)试根据以上数据,求出y=Asin ωt+b的表达式; (2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于 4.5米时是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的距

离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?
若该船欲当天安全离港,则在港内停留的时间最多不能超 过多长时间(忽略进出港所用的时间)?

展评

2【解】

(1)从拟合曲线可知:函数 y =Asin ωt+ b 在一个周

期内由最大变到最小需 9- 3=6 小时,此为半个周期,所以 函数的最小正周期为 12 小时,因此 2π π =12, ω= . ω 6

又∵当 t=0 时,y=10;当 t=3 时,yma x= 13, ∴b=10,A= 13-10=3. π 于是所求的函数表达式为 y=3sin t+10. 6

(2)由于船的吃水深度为 7 米,船底与海底的距离不少于 4.5 米,故在船舶航行时水深 y 应大于等于 7+ 4.5= 11.5(米 ). π π 1 令 y=3sin t+10≥11.5,可得 sin t≥ . 6 6 2 π π 5π ∴2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈ Z). 6 6 6 ∴12k+1≤ t≤12k+5(k∈Z). 取 k=0,则 1≤ t≤5;取 k= 1,则 13≤t≤17. 而取 k=2 时,则 25≤ t≤29(不合题意).

从而可知船舶在凌晨 1点到 5点,下午的13点到17点都可以 安全进港.船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应

从凌晨1点(1点到5点都可以)进港,而下午的17点(即13点到
17点之间)前离港,在港内停留的时间最长为16小时.

【名师点评】

实际问题的背景往往比较复杂,具有很强的

现实生活色彩,语言表达形式不同常规训练的简单问题,因 此在解决实际问题时要注意:

(1)自变量的变化范围.
(2)数形结合,通过观察图形,获得本质认识. (3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难,因此要 认真仔细地审题,多进行联想,选用适当的数学模型.

思议
3、弹簧振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动, B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次

到达C点.
(1)求振子的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及5 s末相对于平衡位置的位移 的大小.

展评
【解】 (1)设振幅为 A,则 2A= 20 cm? , 1 所以 A=10 cm,3 分 T 设周期为 T,则 = 0.5 s,周期 T= 1 s, 5 分 2 频率 f=1 Hz.6 分 (2)振子在 1 个周期内通过的路程为 4A, 8 分 故在 5 s 内通过的路程为 s= 5× 4A= 200(cm)? ,10 分 2 5 s 末振子在 B 点或 C 点,相对于平衡位置的位移为 5 cm 或 - 5 cm? .12 分
2


1.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒 )的关系可用 π? ? 100π t + E= 220 3sin 6 ?来表示. ? 求:(1)开始时的电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔.
π 解:(1)当 t= 0 时, E= 220 3sin = 110 3(伏),即开始时的电 6 压为 110 3伏. 2π 1 (2)T= = 秒, 即电压重复出现一次的时间间隔为 0.02 秒. 100π 50

2.已知某地一天从 4~16 时的温度变化曲线近似满足函数 y π 5π =10sin( x - )+20,x ∈[4,16]. 8 4 (1)求该地区这一段时间内的温差; (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存,那么在这段 时间内,该细菌能生存多长时间?

解:(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温 度为 30 ℃, 当 x= 6 时函数取最小值, 此时最低温度为 10 ℃, 所以温差为 30- 10=20(℃). π 5π 3π 3π (2)因为 4≤x≤16,所以 x- ∈ [- , ], 8 4 4 4 π 5π π 5π 1 令 10sin( x- )+20= 15,可得 sin( x- )=- ,而 x∈ 8 4 8 4 2 26 [4,16],所以 x= . 3

π 5π π 5π 1 令 10sin( x- )+ 20= 25,可得 sin( x- )= ,而 x∈ 8 4 8 4 2 34 [4,16],所以 x= . 3 故在这段时间内,该细菌的存活时间为 34 26 8 - = (小时). 3 3 3

学有所获


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