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09-10复变函数第二学期模拟一


天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号
3、下面等式或叙述中正确的是( A 零的辐角是 0;

姓名
)

共3页 第1页

2009~2010 学年第二学期期末考试模拟一 《复变函数》 (A 卷 共 3 页)
(考试时间:2009 年 1 月 18 日)
题号 得分

/>一、填空题(共 12 分,每空 2 分) 1、设 z ? 1 ? 3i , 则 Im ( z )

B、若 z0 为 f ( z ) 的 n 级零点,并且为 g ( z ) 的解析非零点,则 Re s[ C、 f ( z ) ? z 在复平面上处处不解析,处处不连续; D、

f ?( z ) ? g ( z ), z 0 ] ? n ; f ( z)









成绩

核分人签字

?

c

1 dz ? 0 , 其中 c 为绕原点的任意简单闭曲线。 z
) D、 4e? i . ) 级极点:

? ? ? _______________;
4

ze z dz ? ( 4、积分 I ? ? | z| ? 2 ( z ? 1) 2
A、 2? i ; 5、 z ? 0 是 B、 0 ; C、 ? ei ;

2、方程 (4 ? 3i) ? e z ? 0 的解集为________________________; 3、函数 f ( z ) ? sin z 在 z 0 ? i 处的旋转角为___________, 伸缩率为____________;

(e z ? 1)(1 ? cos z ) 的( z 5 sin z

1 ? z ) 在 z0 ? i 处的 Taylor 展开式的收敛半径 R ? ________ 4、 f ( z ) ? ln(

; 级零

A、2; B、3; C、4; D、5 。 三、计算题(共 24 分, 每小题 8 分) 1、设 f ( z) ? ( x ? y) ? i( x ? y)
2

5、若 z0 是 f ( z ) 的 m 级零点,而是 g ( z ) 的 n 级零点,那么 z0 是 f ( z ) ? g ( z ) 的_________ 点。 二、选择题(共 15 分,每小题 3 分) 1、下面说法错误的是( ) A、若 z ? 1, 则

(1)讨论函数在复平面上的可导性和解析性; (2)设 c 为从原点到 1 ? i 的直线段,求

?

c

f ( z )dz 。

z?a 1 ? az

=1;

B、 z ? 0 为 f ( z ) ?

z2 1 sin z

的本性奇点;

C、若 f ( z ) 在 z0 解析, 则 f ( z ) 在 z0 点处可展为收敛的幂级数; D、若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在点 z 0 ? x0 ? iy0 解析, 则 u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微。 2、下列级数中绝对收敛的是( )
?

(3 ? 4i ) n A、 ? ; n! n ?1
?

1 ? 3i n B、 ? ( ) ; 2 n ?1

in C、 ? ; n ?1 n

?

D、

?
n ?1

?

(1 ? i ) n n ?1



天津大学试卷专用纸 学院
2、求积分

专业



年级

学号
四、计算题(共 49 分) 1、已知函数 f ( z ) ?

姓名
z ?1 , z ( z ? 1)

共3页 第2页

?

c

? 1 ? 2 cos ? 1 dz 的值,其中 c : z ? 1 ,并由此证明: ? d? ? 0 。 0 5 ? 4 cos ? z?2

(1) 求 f ( z ) 在 z ? ?1 处的 Taylor 展开式; (2) 求 f ( z ) 在圆环 0 ?| z ? 1|? 1 以及 1 ?| z |? ?? 内的 Laurent 展开式。 (15 分)

3、设 v( x, y) ? e px sin y ,求 p 的值使得 v( x, y ) 为调和函数,并取 p 的一个值求解析函数
f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) ,且使得 f (0) ? 2 。(8 分)
.

天津大学试卷专用纸 学院
2、求函数 f ( z ) ?
z

专业



年级

学号
(2) I ?

姓名
?? 0

共3页 第3页

1 1 ? 的孤立奇点, 判别其类型, 并求函数在孤立奇点处的留数. (10 分) e ?1 z

?

x sin x dx . (8 分) x2 ? 1

3、求积分: (1) I ?

?

c

z2 dz , 其中 c : z ? 3? ;(8 分) ez ?1

(3)

?

C

1 sin z dz , 其中 C 是不过 0 和 的任意正向简单闭曲线。 2 z (2 z ? 1)
2

(8 分)


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