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高一数学人教A版必修3课件:1.1.1算法的概念


1.1.1 算法的概念

章头图说明
章头图的后景是元代朱世杰所著 的《四元玉鉴》,前景的前部是一台 计算机,后部是盛行一时的计算工具 —算筹和算盘。

数学史简介

中国古代数学在世界数学史上一度居于领 先地们,它注重实际问题的解决,以算法为中心 ,寓理于算,其中蕴涵了丰富的算法思想,算筹 是中国古代的计

算工具,在春秋时期已经很普遍 ;算盘在明代开始盛行,即使在计算机普及的今 天,许多人仍然在使用算盘。中国古代涌现了许 多著名的数学家,如三国及两晋时期的赵爽、刘 徽,南北朝的祖冲之、宋、元时期的秦九韶、杨 辉、朱世杰,等。古时著名的数学专著如《九章 算术》《周髀算经》《数书九章》《四元玉鉴》 等。所有这些成就,都使中国数学曾经处于世界 巅峰

计算机的问世可谓是20 世纪最伟大的科学 技术发明。它把人类社会带进了信息技术时代。 计算机是对人脑的模拟,它强化了人的思维智能; 21世纪信息社会的两个主要特征: “计算机无处不在”

“数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求: --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算

现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究 科 学 实 验 科 学 计 算
研究算法

算法的研究和应用正是本课程的主题 !

而算法是计算机科学的重要基础。就像使用 算盘一样,人们需要给计算机编制“口决”—算 法,才能让它工作,否则超级计算机只是一堆废 铁而已;

要想了解计算机的工作原理,算法的学习是 一个开始

请看小品“钟点工”片段。

问: 要把大象装冰箱,分几步?

答:分三步: 第一步:打开冰箱门 第二步:把大象装冰箱 第三步:关上冰箱门

2、回顾 二元一次方程组 ? x ? 2 y ? ?1 ? ?2 x ? y ? 1

① ②

的求解过程.

我们可以归纳它的步骤: ③

第一步: ②-①×2,得 5y=3

第二步: 解③得 y=

3 5

3 1 第三步: 将y ? 代入 ①,得 x ? 5 5

一般的二元一次方程组 ?a1 x ? b1 y ? c1 ? ?a2 x ? b2 y ? c2
① ②

思考?

其中a1b2 ? a2b1 ? 0


第一步:②× a1 -①×a2 ,得

(a1b2 ? a2b1 ) y ? a1c2 ? a2c1 a1c2 ? a2c1 第二步:解③,得 y ? a1b2 ? a2b1 a1c2 ? a2c1 第三步:将 y ? 代入①,得 a1b2 ? a2b1 b2 c1 ? b1c2 x? a1b2 ? a2b1

1、算法的含义 算法 (algorithm)指的是用阿拉伯数字进行算术 运算的过程。在数学中,现代意义上的“算法”通 常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限 的步骤。现在,算法通常可以编成计算机程序,让 计算机执行并解决问题。

2、算法的特点

有限性:一个算法应在执行有限个步骤后必须结束.
确定性:算法中每一个步骤和次序应当是确定的.

3、算法的思想 :程序化思想

广播操图解是广播操的算法; ? 菜谱是做菜的算法; ? 歌谱是一首歌曲的算法; ? 空调说明书是空调使用的算法等

例1、(1)设计一个算法,判断7是否为质数。 (2)设计一个算法,判断35是否为质数。 算法(1) 第一步,用2除7,得到余数1。因为余数 不为0,所以2不能整除7。 第二步,用3除7,得到余数1。因为余数 不为0,所以3不能整除7。 第三步,用4除7,得到余数3。因为余数 不为0,所以4不能整除7。 第四步,用5除7,得到余数2。因为余数 不为0,所以5不能整除7。 第五步,用6除7,得到余数1。因为余数 不为0,所以6不能整除7。因此,7是质数

例1、(1)设计一个算法,判断7是否为质数。 (2)设计一个算法,判断35是否为质数。 算法(2) 第一步,用2除35,得到余数1。因为余数 不为0,所以2不能整除35。 第二步,用3除35,得到余数2。因为余数 不为0,所以3不能整除35。 第三步,用4除35,得到余数3。因为余数 不为0,所以4不能整除35。 第四步,用5除35,得到余数0。因为余数 为0,所以5能整除35。因此,35不是质数

你能写出“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法吗?
算法分析:对于任意的整数n(n>2),若用i表示2-(n-1)中的 任意整数,则“判断n是否为质数“的算法包含下面的重复操作: 用i除n,得到余数r,判断余数r是否为0,若是,则n不是质数; 否则,将i的值增加1,再执行同样的操作 这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止。因此,”判断i是否 为质数“的算法可以写成:

第一步,给定大于2的整数n。 第二步,令i=2. 第三步,用i除n,得到余数r。判断余数r是否 为0,若是则n不是质数,结束算法;否则,将i的 值增加1,仍用i表示。 第四步,判断i是否大于(n-1),若是,则n是 质数;否则,返回第三步

例2 用二分法设计一个求方程 x ? 2 ? 0
2

的近似正根的算法,精确度0.05。 算法分析:令f(x)=x2-2=0(x>0),则方程x2-2=0 的解就是函数f(x)的零点。 “二分法”的基本思想是:把函数f(x)的零点所 在的区间[a,b](满足f(a)· f(b)<0)“一分为二”。得到 [a,m]和[m,b]。根据“f(a)· f(m)<0”是否成立,取 出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b],对 所得的区间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间 [a,b]“足够小“,则[a,b]内的数可以作为方程的近似 解。

例2


用二分法设计一个求方程 的近似正根的算法

x ?2 ? 0
2

第一步:令f ? x? ? x2 ? 2.给定精确度d=0.05

第二步:确定区间[a,b],满足f (a) ? f (b) ? 0
a?b 第三步:令m ? 2

第四步:若f (a) ? f (m) ? 0, 则含零点的区间为[a,m]; 否则含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间 仍记为[a,b].
第五步:判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否行于0. 若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步

课堂练习
设计一个求一般的一元二次方程 的根的算法

ax ? bx ? c ? 0
2

1、算法的含义: 2、算法的特点 :有限性、确定性 3、算法的思想 :程序化思思想

作业:
1. 必做题:课本第6页练习1、2 2. 选做题:写出用二分法求方程x2-5=0的近似解的一个算法 (精确到0.01)


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