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椭圆性质小结


椭圆
1. PF 1 ? PF 2 ? 2a 2.标准方程

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

3.

PF1 d1

? e ?1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线

PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点 a 2 b2 x2 y 2 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 10.若 P 在椭圆 ( x , y ) 0 0 0 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 11 .若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1 、 P2 ,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 b2 12.AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 . a a b 2 2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 x y ? 2 ? 2 ? 2 . ? ? 1 13.若 P 在椭圆 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ( x , y ) 0 0 0 a2 b a b a 2 b2 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 14.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b 2 2 x y 1 1 1 1 15.若 PQ 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上对中心张直角的弦,则 2 ? 2 ? 2 ? 2 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . a b r1 r2 a b
9.椭圆 16. 若椭圆

1 1 x2 y 2 2 2 ? 2 ?1 (a>b>0) 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) ,则(1) 2 ? 2 ? A ? B ;(2) 2 a b a b

2 a 4 A2 ? b4 B2 L? 2 2 2 2 . a A ?b B
17. 给定椭圆 C1 :b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2(a>b>0) , C2 :b x ? a y ? (
2 2 2 2

a 2 ? b2 ab)2 ,则(i)对 C1 上任意给定的点 P( x0 , y0 ) , a 2 ? b2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x , ? y0 ) . 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P' ( x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 点.
它的任一直角弦必须经过 C2 上一定点 M (

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,. b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2 斜率存在,记为 a 2 b2 1 ? m b2 ? . k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , ?my0 ) (m ? 1) 的充要条件是 k1 ? k2 ? ? 1 ? m a2 x2 y 2 19.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定 a b 2 bx 向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
18.设 P( x0 , y0 ) 为椭圆(或圆)C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点三角形的 a 2 b2 ? a 2 2 ? b2 ? 2 面积为 S ?F1PF2 ? b tan , P(? c ? b tan 2 , ? tan ) . 2 c 2 c 2
20.椭圆

x2 y 2 21 .若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 a b a?c ? ? ? tan tan . a?c 2 2 2 2 x y 22.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: | MF 1 |? a ? ex0 , | MF 2 |? a ? ex0 ( F 1 (?c,0) , F 2 (c,0) , M ( x0 , y0 ) ). a b x2 y 2 23.若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a b 2 ?1 ? e ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. x2 y 2 24. P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 上任一点,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内一定点, 则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF 1 |? 2a? | AF 2 |, a b 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
25.椭圆

x2 y 2 (a 2 ? b 2 ) 2 2 l x ? ? ? 1 ( a > b > 0 )上存在两点关于直线 : 对称的充要条件是 . y ? k ( x ? x ) 0 0 a 2 ? b2k 2 a 2 b2

26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28.P 是椭圆 ?

? x ? a cos ? 1 2 (a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e ? . 1 ? sin 2 ? ? y ? b sin ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k ( k ? 0, k ? 1) ? ? 1 相交于 P, Q ,则 AP ? BQ . 上两点,其直线 AB 与椭圆 a 2 b2 a 2 b2 ? x2 y 2 x2 y 2 ? 30.在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,定长为 2m(o<m≤a)的弦中点轨迹方程为 m2 ? ?1 ? ( 2 ? 2 ) ? a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ,其中 a b a b ? ?
29.设 A,B 为椭圆

?

?

tan ? ? ?

bx ? ,当 y ? 0 时, ? ? 90 . ay

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动,记|AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB a 2 b2 c a2 l 2 2 2 a l ? ? S 4b 2 ? l 2 , ( x0 )min ? 0 . ( x ) ? ? 中点,则当 时,有 0 max (c ? a ? b , e ? );当 l ? ? S 时,有 ( x0 ) max ? a 2b c 2e 2 2 x y 2 2 2 2 2 32.椭圆 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C . a b ( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 . 33.椭圆 a2 b2 x2 y 2 34. 设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,P (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F1PF2 ? ? , a b sin ? c ? ? e. ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有 sin ? ? sin ? a 2 2 2 2 2 2 35.经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭圆上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则
31.设 S 为椭圆
2 | PA 1 1 | ?| P 2A 2 | ?b .

36. 已知椭圆

x2 y 2 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? 2? 2; (a>b>0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ ( . 1) 2 2 2 a b | OP | | OQ | a b

4a 2 b 2 a 2b 2 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 2 2 2 2 2 37.MN 是经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)焦点的任一弦,若 AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN 的弦,则
(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为

| AB |2 ? 2a | MN | .
2 2 2 2 2 2 38 . MN 是 经 过 椭 圆 b x ? a y ? a b ( a > b > 0 ) 焦 点 的 任 一 弦 , 若 过 椭 圆 中 心 O 的 半 弦 O P ? M N, 则

2 1 1 1 ? ? 2 ? 2. 2 a | M N | | O P| a b

x2 y 2 39.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过 M 引一条直线与椭圆相交 a b a2 b2 于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l : x ? (或 y ? )上. m m
40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交 于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 b2 ' ' l kk ? ? y ? kx , 则斜率为 k(k≠0) 的平行弦的中点必在直线 : 的共轭直线 上 , 而且 . ? ? 1 y ? k x a2 a 2 b2 x2 y 2 43.设 A、B、C、D 为椭圆 2 ? 2 ? 1 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 ? , ? ,直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不 a b 2 2 PA ? PB b cos ? ? a 2 sin 2 ? 在椭圆上,则 . ? PC ? PD b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?
42.设椭圆方程

x2 y 2 44.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点, ?F 1PF 2 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、 a b

? a 2 y 2 ? b2 x ? x ? c ?? ? ? ). F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成的轨迹方程是 x ? y ? a ( c y ? 2 2 2 2 a y ? b ? x ? c? 45.设△ABC 内接于椭圆 ? ,且 AB 为 ? 的直径, l 为 AB 的共轭直径所在的直线, l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与椭圆 ? 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. x2 y 2 46.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 a b | PF | e ? . | MN | 2 x2 y 2 b 2 x1 47.设 A(x1 ,y1)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上任一点,过 A 作一条斜率为 ? 2 的直线 L,又设 d 是原点到直线 L a b a y1
2

2

2

2

2

2

的距离, r1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 r1r2 d ? ab . 48.已知椭圆 │AB│=|CD│.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? (0 ? ? ?1 ) ( a > b > 0 )和 ,一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点,则 a 2 b2 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ? x0 ? . a a x2 y 2 50 . 设 P 点 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记 ?F 1 PF2 ? ? , 则 a b ? 2b2 2 (1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?
49.已知椭圆 51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点,A 为椭圆长轴的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相
2 a ? m a ? n ? m? 应于过 H 点的直线 MN: x ? n 于 M,N 两点,则 ?MBN ? 90 ? . ? 2 a ? m b (n ? a ) 2 x2 y 2 52.L 是经过椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是椭圆两个焦点,e 是离心率,点 P ? L , a b 若 ?EPF ? ? ,则 ? 是锐角且 sin ? ? e 或 ? ? arc sin e (当且仅当 | PH |? b 时取等号). 2 ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 P ? L ,e 是离心率, ?EPF ? ? ,H 是 L a 2 b2 ab 与 X 轴的交点 c 是半焦距,则 ? 是锐角且 sin ? ? e 或 ? ? arc sin e (当且仅当 | PH |? 时取等号). c
53.L 是椭圆

x2 y 2 54.L 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交点,点 P ? L , ?EPF ? ? ,离心率 a b b 2 2 2 2 a ? c 时取等号). 为 e,半焦距为 c,则 ? 为锐角且 sin ? ? e 或 ? ? arc sin e (当且仅当 | PH |? c x2 y 2 55.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点,将 A、B 与椭圆左焦点 F1 a b (2a 2 ? b2 )2 2 连结起来,则 b ?| F1 A | ? | F1 B |? (当且仅当 AB⊥x 轴时右边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时 a2
左边不等式取等号).

x2 y 2 56.设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , a b 2ab 2 | cos ? | 2a 2 b 2 2 S ? cot ? . c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 .(2) .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB a ? c 2co s 2 ? b2 ? a 2 x2 y 2 57. 设 A、 B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) 长轴上分别位于椭圆内 (异于原点) 、 外部的两点, 且 xA 、 xB 的横坐标 xA ? xB ? a2 , a b (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则 ?PBA ? ?QBA ; (2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,
则 ?PAB ? ?QAB ? 180? .

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) ,外部的两点, (1)若过 A 点引直线与 a 2 b2 这椭圆相交于 P、 Q 两点, (若 B P 交椭圆于两点, 则 P、 Q 不关于 x 轴对称) , 且 ?PBA ? ?QBA , 则点 A、 B 的横坐标 xA 、
58.设 A、B 是椭圆 (2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 ?PAB ? ?QAB ? 180? ,则点 A、B 的横坐标满 xB 满足 xA ? xB ? a2 ; 足 xA ? xB ? a2 . 59.设 A, A' 是椭圆

x2 y 2 ' ' ? ? 1 的长轴的两个端点, QQ' 是与 AA' 垂直的弦,则直线 AQ 与 AQ 的交点 P 的轨迹是双曲线 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 x2 y 2 8ab2 2(a 2 ? b 2 ) F ?| AB | ? | CD |? 60.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的左焦点 作互相垂直的两条弦 AB、CD 则 2 . a ? b2 a a b a?c x2 y 2 61. 到椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) 两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距) 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? b2 . b a b a?c x2 y 2 62 .到椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )的长轴两端点的距离之比等于 ( c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆 b a b a b ( x ? )2 ? y 2 ? ( )2 . e e 2 a?c x y2 63.到椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 b a b a b ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 (e 为离心率). e e x2 y 2 ' ' ' 64.已知 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)上一个动点, A , A 是它长轴的两个端点,且 AQ ? AP , AQ ? A P ,则 Q 点的 a b x2 b2 y 2 轨迹方程是 2 ? 4 ? 1 . a a
65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项. 66.设椭圆

x2 y 2 b 2 x1 ' ' ? ? 1 ( a > b > 0 )长轴的端点为 , 是椭圆上的点过 P 作斜率为 的直线 l ,过 A, A 分 P ( x , y ) A , A ? 1 1 a 2 b2 a 2 y1
' ' ' 2
' '

别作垂直于长轴的直线交 l 于 M , M ,则(1) | AM || A M |? b .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab . 67.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点, a 2 b2

点 C 在右准线 l 上,且 BC / / x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.

( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个 a2 b 2 2ab ab2 2 2 ab2 2 , 0) ( x ? ) ? y ? ( ) ( x ? 0) . 定点 ( 2 .(2) 以 O A 、 O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 a ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定 69. P(m, n) 是椭圆 a2 b 2 2 2 2 2ab ? m(a ? b ) n(b ? a 2 ) , 2 ) .(2)以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 点( a 2 ? b2 a ? b2 ab2 ? a 2 m b2 n a 2 [b4 ? n2 (a 2 ? b2 )] ( x ? m 且 y ? n ). ( x ? 2 2 )2 ? ( y ? 2 2 )2 ? a ?b a ?b (a 2 ? b 2 ) 2 70.如果一个椭圆短半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 L 的距离分别为 d1、d2,那么(1) d1d2 ? b2 ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ?
68.OA、OB 是椭圆 直线 L 和椭圆相切.(2) d1d2 ? b2 ,且 F1、F2 在 L 同侧 ? 直线 L 和椭圆相离, (3) d1d2 ? b2 ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直 线 L 和椭圆相交.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的长轴, N 是椭圆上的动点,过 N 的切线与过 A、B 的切线交于 C 、 D 两点,则 a 2 b2 x2 4 y 2 梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1( y ? 0) . a b 2 2 x y x2 y 2 72.设点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的内部一定点,AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 过定点 P( x0 , y0 ) 的任一弦,当 a b a b 2 2 2 2 2 2 a b ? (a y0 ? b x0 ) 弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 (| PA | ? | PB |) max ? .当弦 AB 垂直于长轴所在直线时, b2 a 2b2 ? (a 2 y0 2 ? b2 x0 2 ) (| PA | ? | PB |)min ? . a2
71.AB 是椭圆 73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶 点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的 圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

b b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (包括圆在内)上有一点 P ,过点 P 分别作直线 y ? x 及 y ? ? x 的平行线,与 x 轴 2 a a a b 2 2 2 2 2 2 于 M , N ,与 y 轴交于 R, Q ., O 为原点,则: (1) | OM | ? | ON | ? 2a ; (2) | OQ | ? | OR | ? 2b . b b 90. 过 平 面 上 的 P 点 作 直 线 l1 : y ? x 及 l2 : y ? ? x 的 平 行 线 , 分 别 交 x 轴 于 M , N , 交 y 轴 于 R, Q . ( 1 ) 若 a a 2 2 x y | OM |2 ? | ON 2 | ? 2a2 ,则 P 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) .(2) 若 | OQ |2 ? | OR |2 ? 2b2 ,则 P 的轨迹方程是 a b 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . 2 a b
89. 已知椭圆

x2 y 2 91. 点 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 a b b ab . x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,则: S1 ? S 2 ? a 2 b 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ a 2 2 ab x y 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,已知 S1 ? S 2 ? ,则 P 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . 2 a b

椭圆性质 92 条证明
1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。 4. 如图,设 P( x0 , y0 ) ,切线 PT(即 l )的斜率为 k, PF1 所在直线 l1 斜率为 k1 , PF2 所在直线 l2 斜率为 k2 。

4图

5图

由两直线夹角公式 tan ? ?

k1 ? k 2 得: 1 ? k1k 2

b2 x0 y ? 0 2 2 2 b2 ? a 2 ? cx0 ? a y0 x0 ? c b 2 x0 ? a 2 y0 ? b 2 x0c a 2b 2 ? b 2cx0 k ? k1 b2 tan ? ? ? ? ? ? ? b2 x0 y0 1 ? kk1 a 2 x0 y0 ? a 2cy0 ? b 2 x0 y0 c 2 x0 y0 ? a 2cy0 cy0 ? a 2 ? cx0 ? c y0 1? 2 ? a y0 x0 ? c b2 x0 y ? 0 2 2 2 b2 ? a 2 ? cx0 ? a y0 x0 ? c b2 x0 ? a 2 y0 ? b 2 x0c a 2b 2 ? b 2cx0 k ? k2 b2 tan ? ? ? ? ? ? ? b2 x y 1 ? kk2 a 2 x0 y0 ? a 2cy0 ? b 2 x0 y0 c 2 x0 y0 ? a 2cy0 cy0 ? a 2 ? cx0 ? c y0 1? 2 0 ? 0 a y0 x0 ? c
? ?? ?? , ? ? ? 0, ? ?? ? ? ? 2?
同理可证其它情况。故切线 PT 平分点 P 处的外角。

5.如图, 延长 F1P 至 A, 使 PA=PF2, 则 ?PAF2 是等腰三角形, AF2 中点即为射影 H2。 则 OH 2 ? 所以射影 H1,H2 的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

F1 A ?a, 同理可得 OH1 ? a , 2

6.设 P,Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为 d1 , d 2 ,以 PQ 中点到准线的距离为 d ,以 PQ 为直径的圆的半径为 r,则

d?

d1 ? d 2 PF ? FQ r ? ? ? r ,故以 PQ 为直径的圆与对应准线相离。 2 2e e

7图

8图

7.如图,两圆圆心距为 d ? OM ?

PF1 2a ? PF2 PF2 ? ?a? ? a ? r ,故两圆内切。 2 2 2

8.如图,由切线长定理: F ? PF1 ? PF2 ? F1F2 ? 2a ? 2c , F1S ? FT ? a?c 1S ? FT 1 1 而 FT ? a ? c ? F1 A2 , T 与 A2 重合,故旁切圆与 x 轴切于右顶点,同理可证 P 在其他位置情况。 1 9. 易知A1 ? ?a, 0 ? A2 ? a, 0 ? ,设P 1 ? x0 , y0 ? , P 2 ? x0 , ? y0 ? ,则

x0 2 y0 2 y0 y ? 2 ? 1 A1P ? x ? a ? , A2 P2 : y ? 0 ? x ? a ? 1: y ? 2 a b a ? x0 a ? x0

则xP ?

? a 2 ay ? x 2 y 2 a 2 a 2 y 2 a 2b2 ? a 2 y02 a2 x2 y 2 ? P ? , 0 ? ? P2 ? P2 ? 2 ? 2 02 ? ? 1 ? P 点的轨迹方程为 ? ?1 x0 b x0 b x0 b 2 x0 2 a 2 b2 ? x0 x0 ? a
2 2 x0 y0 x2 y 2 x2 y 2 2 x 2 yy ' b2 x0 ' ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 上 ,对 求导得: ? y ? ? a2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 y0

10. ? P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

2 2 x0 x y0 y x0 y0 b2 x0 ? ? ? ?1 ? 切线方程为 y ? y0 ? ? 2 ? x ? x0 ? 即 2 a b2 a 2 b2 a y0

11.设 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ,由 10 得:

x0 x1 y0 y1 xx y y ? 2 ? 1, 0 2 2 ? 0 2 2 ? 1 ,因为点 P 1 2 上,且同时满足方程 1, P 2 在直线 PP 2 a b a b

x0 x y0 y x0 x y0 y ? 2 ? 1 ,所以 P ? 2 ?1 1P 2 : 2 a b a2 b
12. 设A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? 则有
2 2 2 2 x12 y12 x2 y2 x12 ? x2 y12 ? y2 ? ? 1, ? ? 1 ? ?0 作差得: a 2 b2 a 2 b2 a2 b2

?

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0
a2 b2

? k AB

b2 ? x1 ? x2 ? b2 x0 y1 ? y2 b2 b2 ? ?? 2 ?? 2 ?? 2 ? k AB ? kOM ? ? 2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a y0 a kOM a

13.由 12 可得: y ? y0 ? ?

b2 x0 ? x ? x0 ? ? a2 y0 y ? a2 y02 ? b2 x0 x ? b2 x02 ? 0 2 a y0
2 2 x0 x y0 y x0 y0 ? ? ? a2 b2 a 2 b2

2 2 ? ? b2 x0 x ? a2 y0 y ? b2 x0 ? a2 y0

y ? y0 y b2 14. .由 12 可得: ? ? ? 2 ? a2 y2 ? a2 y0 y ? b2 x2 ? b2 x0 x ? 0 x ? x0 x a
x 2 y 2 x0 x y0 y ? b x ? a y ? b x0 x ? a y0 y ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 a b a b
2 2 2 2 2 2

' ' 15.设 P ? a cos t , b sin t ? , Q a cos t , b sin t ,则 kOP ? kOQ ?

?

?

b sin t b sin t ' a2 ' ? ? ? 1 ? tan t ? tan t ? ? a cos t a cos t ' b2

a 2 ? cos 2 t ? cos 2 t ' ? ? b 2 ? sin 2 t ? sin 2 t ' ? 1 1 r12 ? r2 2 ? ? 2 2 ? 2 r12 r2 2 r1 r2 ? a cos2 t ? b2 sin 2 t ?? a 2 cos2 t ' ? b2 sin 2 t ' ? 1 ? 2 ? tan 2 t ' tan 2 t ? ? 1 a2 ? ? ?b ? ? 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 ' ? 2 2 ' ? cos 2 t cos 2 t ' ? a ? 2 ? tan t ? tan t ? ? b ? tan t ? tan t ? ? 2b tan t tan t ? cos t cos t ? ? ? ? a 4 ? a 2b 2 ? tan 2 t ? tan 2 t ' ? ? b 4 tan 2 t tan 2 t ' ? a 2 ? b2 tan 2 t ?? a 2 ? b2 tan 2 t ' ?
2 a 2 ? b 2 ? 1 ? 1 ? ?? tan 2 t ? tan 2 t ' ? ? 2 a ? 2 2 ?? ? a ? b ?? tan t ? tan t ? ? 2a b2 ? b2 ? ? a b ?? ?? 1 ? 1 ? ? 2 4 2 2 2 2 ' a a 2 b2 2a ? a b ? tan t ? tan t ? 2 2 ? ? tan 2 t ? tan 2 t ' ? b 2 2 2 2 ' 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 16.将直线 AB 代入椭圆方程中得: A a ? B b x ? 2 Aa x ? a 1 ? B b ? 0

?

?

?

?

? ? 4a 2 B 2b 2 ? A2 a 2 ? B 2b 2 ? 1? , AB ?

2ab A2 ? B 2 A2 a 2 ? B 2b2

A2 a 2 ? B 2b2 ? 1

a 2 ?1 ? B 2b2 ? b2 ?1 ? A2 a 2 ? 2 Aa 2 ? OA ? OB 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? 2 2 , x1 x2 ? 2 2 , y1 y2 ? 2 2 A a ? B 2b 2 A a ? B 2b 2 A a ? B 2b 2
? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? A2 ? B 2 ? ? A2 ? B 2 ? 1 1 ? a 2 b2

2ab A2 ? B 2 AB ? 2 2 A a ? B 2b 2 ?

A a ? B b ?1 ?
2 2 2 2

2

?a

2

? b2 ?? A2 a 2 ? B 2b2 ? 1? A2 a 2 ? B 2b2 2 A2 a 4 ? B 2b4 A2 a 2 ? B 2b2

2 A2 a 4 ? B 2b4 ? a 2b2 ? A2 ? B 2 ? ? ? a 2 ? b 2 ? A2 a 2 ? B 2b2

?

17. ? ? ? 设椭圆内直角弦 AB 的方程为: y ? m ? k ? x ? n? 即 y ? kx ? m ? kn 。 当斜率 k 存在时,代入椭圆 C1 方程中得: a k ? b
2 2

?

2

?x

2

? 2a 2 k ? m ? kn ? x ? a 2 ?? m ? kn ? ? b2 ? ? 0 ? ?
2

2 a 2 ?? m ? kn ? ? b 2 ? 2a 2 k ? m ? kn ? ? ? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 2 2 2 2 2 a k ?b a k ?b ??? ? ??? ? 则 PA ? PB ? ? x0 ? x1 ?? x0 ? x2 ? ? ? y0 ? y1 ?? y0 ? y2 ?

2 ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 n ? ky0 ? x0 ? mk ? ? x1 ? x2 ? ? x0 ?? ? y0 ? ? m ? kn ? ? ? ?0 2

2 ? a 2 ? k 2 ? 1? ?? m ? kn ? ? b 2 ? ? ? k 2 n ? ky0 ? x0 ? mk ? 2a 2 k ? m ? kn ? ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? x0 ? ? a 2k 2 ? b 2 ? ? ? y0 ? ? m ? kn ? ? ? ?0 ? ? 2 2 2 2 ? a 2 ? k 2 ? 1? ? m ? kn ? ? a 2 ? k 2 ? 1? b 2 ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? x0 ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? y0 ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? ? m ? kn ? 2 2

?2 y0 ? m ? kn ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? ? 2a 2 k 2 ? m ? kn ? ? 2a 2 kx0 ? m ? kn ? ? 2a 2 k 2 y0 ? m ? kn ? ? 0
2 2 2 ? a 2 ? m ? kn ? ? a 2 ? k 2 ? 1? b 2 ? ? a 2 k 2 ? b2 ? x0 ? ? a 2 k 2 ? b 2 ? y0 ? b 2 ? m ? kn ? ? 2 y0 ? m ? kn ? b 2 ? 2a 2 kx0 ? m ? kn ? ? 0 2 2 2 2 ? ? a 2 k 2 ? b2 ?? x0 ? y0 ? ? ? a2 ? b2 ? ? m ? kn ? ? a 2b2 ? k 2 ? 1? ? 2 ? m ? kn ? ? a 2kx0 ? b2 y0 ? ? 0 2

2 2 ? a 2 k 2 ? x0 ? y0 ? ? b2 ? x02 ? y02 ? ? ? a2 ? b2 ? m2 ? ? a2 ? b2 ? k 2n2 ? 2kmn ? a2 ? b2 ? ? a2b2k 2 ? a2b2

?2ma 2 kx0 ? 2mb 2 y0 ? 2k 2 na 2 x0 ? 2knb2 y0 ? 0
2 2 ?a 2 x0 ? ? ? a 2 ? b2 ? n2 ? b 2 x0 ? 2na 2 x0 ? 0 b2 ? a 2 m ? y0 ? ? ? 2 ? a 2 ? b2 2 2 2 ? ?ma x0 ? nb y0 ? mn ? a ? b ? ?? 2 2 ? 2 2 ?n ? a ? b x 2 2 2 2 2 2 0 ? ? a 2 ? b2 ?b y0 ? ? a ? b ? m ? a y0 ? 2mb y0 ? 0 ?

即直线 AB 过定点 ?

? a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? x , y0 ? ,此点在 C2 上。当直线斜率不存在时,直线 AB 也过 C2 上的定点。 2 2 0 a 2 ? b2 ? ? a ?b

? ?? ? 由上可知 C1 和 C2 上点由此建立起一种一一对应的关系,即证。
18.必要性:设 P1P2: y ? my0 ? k ? x ? mx0 ? 。k 存在时,代入椭圆方程中得:

?a k
2

2

? b 2 ? x 2 ? 2a 2 km ? y0 ? kx0 ? x ? a 2 m2 ? y0 ? kx0 ? ? a 2b 2 ? 0
2

2a 2 km ? y0 ? kx0 ? a 2 m2 ? y0 ? kx0 ? ? a 2b2 设P 得 , x ? x ? x x ? x , y , P x , y ? ? ? ? 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2
2

y0 ? y1 ?? y0 ? y2 ? k 2 x1 x2 ? k ? my0 ? mkx0 ? y0 ?? x1 ? x2 ? ? ? my0 ? mkx0 ? y0 ? ? k1 ? k2 ? ? 2 x1 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 ? x0 ? x1 ?? x0 ? x2 ? 2 b 2 ? m ? 1? ? 2kmx0 y0 ? k 2 x0 ? m ? 1? ? y02 ? m ? 1?? b 2 ? m ? 1? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? a ? m ? 1? ? 2 kmx y ? k x m ? 1 ? y m ? 1 ? ? ? ? 0 0 0 0 ? ? a ? m ? 1?
k 不存在时,P1P2:x=mx0 则 y ? ?

2

b 2 a 2 ? m 2 x0 , a

b 2 b 2 ? 2 ?? 2 ? b2 2 2 2 2 a ? m2 x0 a ? m2 x0 2 ? y0 ? ?? y0 + ? y0 ? 2 ? a ? m x0 ? b2 x0 m2 ? 1? b2 ? m ? 1? ? a a ? ?? ? a k1 ? k2 ? ? ? 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 a ? m ? 1? x0 x0 a x0 ?1 ? m ? ?1 ? m ? ?1 ? m ?
必要性得证。 充分性:设 P1P2 过定点 ? q, p ? ,则 P1P2: y ? kx ? p ? kq 。代入椭圆方程得:

?a k
2

2

? b 2 ? x 2 ? 2a 2 k ? p ? kq ? x ? a 2 ? p ? kq ? ? a 2b 2 ? 0
2

2a 2 k ? p ? kq ? a 2 ? p ? kq ? ? a 2b2 设P 得 , x ? x ? ? x x ? x , y , P x , y ? ? ? ? 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2
2

? y1 ? y0 ?? y2 ? y0 ? ? k 2 x1 x2 ? k ? p ? kq ? y0 ?? x1 ? x2 ? ? ? p ? kq ? y0 ? 则 k1 ? k2 ? 2 x1 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ?
2 2

2

?

a 2 k 2 ? p ? kq ? ? a 2b 2 k 2 ? 2a 2 k 2 ? p ? kq ?? p ? kq ? y0 ? ? ? p ? kq ? y0 ? ? a 2 k 2 ? b 2 ?
2 a 2 ? p ? kq ? ? a 2b 2 ? 2a 2 kx0 ? p ? kq ? ? x0 ? a 2 k 2 ? b2 ? 2

2 2 2 ? b 2 ?? p ? kq ? ? 2 y0 ? p ? kq ? ? ? y0 ? k 2 x0 ?? m ? 1 b2 ? ? ? ? 2 2 2 2 ? m ? 1 a a 2 ?? p ? kq ? ? 2kx0 ? p ? kq ? ? ? k 2 x0 ? y0 ?? ?

? p ? kq ? ? 2 y0 ? p ? kq ? ? ? y02 ? k 2 x02 ? m ? 1 ? ? 2 ? p ? kq ? ? 2kx0 ? p ? kq ? ? ? k 2 x02 ? y02 ? m ? 1 2 2 ? k 2 ? mx0 ? q 2 ? mqx0 ? qx0 ? ? k ? mpx0 ? px0 ? mqy0 ? qy0 ? 2 pq ? ? ? mpy0 ? py0 ? p 2 ? my0 ??0 2 ?? q ? x0 ?? q ? mx0 ? ? 0 ?????? ?1? ?mx0 ? q 2 ? mqx0 ? qx0 ? 0 ? ? ? ?mpx0 ? px0 ? mqy0 ? qy0 ? 2 pq ? 0 ? ? px0 ? m ? 1? ? qy0 ?1 ? m ? ? 2 pq ?????? ? 2 ? ? ? 2 2 ?mpy0 ? py0 ? p ? my0 ? 0 ?? p ? y0 ?? my0 ? p ? ? 0 ?????? ? 3?
2

注意到 m≠1,解(1) (3)得 p ? ?my0 , q ? mx0 ,代入(2)式,成立。 验证 k 不存在的情况,也得到此结论。故 l 过定点 ? mx0 , ?my0 ?? m ? 1? ,充分性得证。 19. 设 AB: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 即 y ? kx ? y0 ? kx0

? y ? kx ? y0 ? kx0 2 ? 2 ? ? a 2 k 2 ? b2 ? x 2 ? 2a 2 k ? y0 ? kx0 ? x ? a 2 ?? y0 ? kx0 ? ? b2 ? ? 0 ?x y2 ? ? ? 2 ? 2 ?1 ?a b

? x0 ? xB ?

2a 2 k ? kx0 ? y0 ? ? a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 ? b 2 x0 b 2 y0 ? a 2k 2 y0 ? 2b 2kx0 ? a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 ? b2 x0 ? x ? ? B , ? ? B a 2 k 2 ? b2 a 2k 2 ? b2 a 2k 2 ? b2 a 2k 2 ? b 2 ? ?

? a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 ? b2 x0 b 2 y0 ? a 2 k 2 y0 ? 2b 2kx0 ? 4b 2kx0 b 2 x0 同理C ? , ? k ? ? ? BC a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2 4a 2 ky0 a 2 y0 ? ?
20.由余弦定理: PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? ? 2c ? ? PF1 ? PF2
2 2 2

?

?

2

? 4c 2 ? 2 PF1 PF2 ? cos ? ? 1?

? 4a 2 ? 4c 2 ? 2 PF1 PF2 ? cos ? ? 1? ? PF1 PF2 ?

2b 2 b2 ? cos ? ? 1 cos 2 ? 2

2b 2 sin cos 1 b sin ? 2 2 ? b 2 tan ? ? c y S ?F1PF2 ? PF1 PF2 sin ? ? ? P ? 2 cos ? ? 1 2 2 cos 2 2 2 2 2 ? a 2 2 b ? ab ? a 2 2 2? b2 ?? 2 ? ? yP ? tan , xP ? a 2 ? 2 tan 2 ? c ? b tan ? P ? ? c ? b tan , ? tan ? ? c c 2 c 2 c 2 2 c 2? ? ?
2

?

?

21.由 34:

a ? c 1 ? e sin ? ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? a ? c 1 ? e sin ? ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ?

?

sin ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin ? ?1 ? cos ? ? ? sin ? ?1 ? cos ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin ? ?1 ? cos ? ? ? sin ? ?1 ? cos ? ? 2sin

? ? ? ?? ? cos sin ? cos sin ? 2 2? 2 2 2 2? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2sin cos ? 2 cos 2 ? 2sin cos ? 2 cos 2 cos cos ? sin cos ? sin cos ? 2 2 2 2 2 2 2 2? 2 2 2 2? ?
cos

?

? 2sin 2

?

? 2sin

?

cos

?

? 2sin 2

?

sin

?

sin

??

?

2 ? tan ? tan ? ? ? 2 2 cos cos 2 2 2

sin

?

sin

?

? ? a2 ? a2 ? 22.由第二定义得: MF1 ? e ? x0 ? ? ? a ? ex0 , MF2 ? e ? ? x0 ? ? a ? ex0 c ? ? ? c ?
23.

PF1 PF2 1? e ? ? e ? PF2 ? e ? PF1 ? a ? ex0 ? e ? a ? ex0 ? ? x0 ? 2 a d PF1 e ?e
1? e ? 1 ? e2 ? 2e ? 1 ? 0 ? e ? 2 ? 1或e ? ?1 ? 2 ? e ? ? 0,1? ? e ? ? ? 2 ? 1,1 e2 ? e

? x0 ? ? 0, a ??

?

24. 在?APF2中,有PF2 ? AF2 ? PA ? PF2 ? AF2

? PF1 ? PA ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 , PF1 ? PA ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号。
' ' 25.设椭圆上的点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 关于 l : y ? kx ? m 对称, M x0 , y0 。

?

?

由 12 得: k AB ? ?

2 ' b 2 x0 ' a 2 y0 ' a ? kx0 ? m ? 1 a2m ' b2m ' ? ? ? k ? ? ? x ? ? , y ? ? 0 0 a 2 y0 ' k b 2 x0 ' b 2 x0 ' c 2k c2 2

2 2 2 2 a 2 ? b2 ? ? c4 a 2 m2 b 2 m 2 ? a ? b k ? m c4k 2 2 2 又? M 在椭圆内,? 4 2 ? 4 ? ? 1 ? m ? 2 2 2 若 m ? ?kx0 ,则 x0 ? 2 2 2 ? 2 2 2 a ?b k a ?b k ck c c4k 2 a ?b k

26.由 5 即可得证。 27.设 P ? a cos ?, b sin ? ? ,则切线 l :

? a 2 b ? a cos ? ? ? cos ? sin ? x? y ? 1 ,A ? , ?1 ? ?? a b c sin ? c ?? ? ?

27 图

30 图

??? ? ??? ? ? b2 b ? a cos ? ? ? ab2 cos ? ab2 cos ? 2 2 ? FP ? FA ? ? a cos ? ? c, b sin ? ? ? ? , 1 ? ? ? b ? b ? ? 0 ? FP ? FA ? ?? c ?? c c ? c sin ? ?
28. 设P ? a cos?, b sin ? ? ,由射影定理有: b sin
2 2

? ? ? c ? a cos? ??c ? a cos? ? ? c2 ? a2 cos2 ?

? c 2 ? a 2 cos 2 ? ? ? a 2 ? c 2 ? sin 2 ? ? e 2 ? cos 2 ? ? ?1 ? e 2 ? sin 2 ? ? ?1 ? sin 2 ? ? e 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? e 2 ?
29.设 C1 :

1 1 ? sin 2 ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, C : ? ? k ? k ? 1? , AB ? l ? : Ax ? By ? C ? 0 。联立 C1 , l 得: 2 a 2 b2 a 2 b2

? A2 a 2 ? B 2b2 ? x 2 ? 2 Aa 2Cx ? a 2C 2 ? a 2b 2 B 2 ? 0 ,由韦达定理: xA ? xB ? ?
同理 xP ? xQ ? ?

2 Aa 2C A2 a 2 ? B 2b 2

2 Aa 2C A2 A2 A2 。则 AP BQ= ? 1 ? x ? x ? 1 ? x ? x ? 1 ? xA ? xP ? xB ? xQ A P B Q A2 a 2 ? B 2b 2 B2 B2 B2

?

?

而 xA ? xP , xB ? xQ 的符号一定相反,故 x A ? xP ? xB ? xQ = x A ? xB ? xP ? xQ =0。所以 AP=BQ 30.设 A? a cos? , b sin ? ? , B ? a cos ?, b sin ? ? , M ? x0 , y0 ? 为 AB 中点。 则 AB ? a
2 2

?

?

? cos ? ? cos ? ?
2 sin 2

2

? b 2 ? sin ? ? sin ? ? ? 4a 2 sin 2
2

? ??
2

sin 2

? ??
2

? 4b 2 cos 2

? ??
2

sin 2

? ??
2

? 4m 2

? a 2 sin 2
而 x0 ?

? ??

? ??
2

? b 2 cos 2

? ??
2

sin 2

? ??
2

? m2

a cos ? ? a cos ? ? ?? ? ?? b sin ? ? b sin ? ? ?? ? ?? ? a cos cos , y0 ? ? b sin cos 2 2 2 2 2 2 ? ?? 2 ? ?? 2 2 , B ? sin 2 设 A ? sin ,则 x0 ? a2 ?1? A??1? B? , y0 ? b2 ?1? A? B, m2 ? a2 AB ? b2 A?1? B ? 2 2
2 2 ? a 2 y0 b 2 x0 2 2 2 2 ? ? x0 ? x 2 y0 ? ?? ? b2 y0 2 2 ? , B ? m ? 1 ? ? ? 2a 2 解得 A ? 1 ? ? 0 ,代入 m 得: ? ? 2 2 2 2 2 2 ? 2 ?? ? 2 x0 y0 b ? b ? ? ? x0 y0 x0 y0 ?a ? ?a ? 2 ? ? 2? 2 2 a b b a 2 b2 ?a 2 y0 b2

? ? ? ? ? ?

2 2 2 2 ? ? x0 ?? ? ?? 2 y0 y0 bx0 a2 b 2 ? tan 2 ? ? ? ? x0 2 ? ? 1 ? ? a cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? 令 tan ? ? ? 得: m ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ?? ? b ? ? ? tan ? ? 1 tan ? ? 1 ? ? ? a b ?? ay0 ? ?a

所以定长为 2m(0<m≤a)的弦中点轨迹方程为 m2 ? ?1 ? (

? ?

x2 y 2 ? 2 2 ? 2 ) ? ? a cos ? ? b 2 sin 2 ? ? 。 2 a b ?

其中 tan ? ? ?

bx ? ,当 y ? 0 时, ? ? 90 。 ay

31. 设 A? a cos ? , b sin ? ? , B ? a cos ? , b sin ? ? , M ? x0 , y0 ? 为 AB 中点。则:

x0 ?

x0 a cos ? ? a cos ? ? ?? ? ?? ? ?? ? a cos cos ? cos ? ? ?? 2 2 2 2 a cos 2 ? ?? 2 ? ?? ? ?? 2 ? ?? 2 2 2 AB ? a 2 ? cos ? ? cos ? ? ? b 2 ? sin ? ? sin ? ? ? 4a 2 sin 2 sin ? 4b 2 cos 2 sin 2 2 2 2

? ?? ? ? 2 2 ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 2 2 ? ?? ? b 2 cos 2 ? a sin ? ? 4 ?1 ? cos ?? a ? c cos 2 ? 2 2 ? 2 ?? 2 ? 2 ? ?? ? ?? ? 2 ? ?? l ? 2 ? ?? ? a 2 ? ? a 2 cos 2 ? c 2 cos 2 cos 2 ? ? ? c cos 2 2 ? 2 2 4 ?
? 4sin 2 ? 2 ? x0 ? ?? ? e x ?? ? c 2 cos 2 ? ?? 2 ? cos 2 ? 2
2 2 0

? ?? ?

? 2 ??l ?

? ? 2 l2 2 ??a ? ? a 4 ? ?

l2 l2 2 2 2 二次函数 y=e x -mx+a 与 y ? 在 ? 0, a ? 内的交点即为 x0 的值。 由图易知 y=e x -mx+a 与 y ? 的左交点为 x0 的值。 当m 4 4
2 2 2

增大时,x0 减小。要使 x0 最大,则要使 m 最小。
2 x0

cos 2

? ??
2

? c 2 cos 2

? ??
2

? 2cx0 ,此时等号成立时 cos 2

? ??
2

?

x0max ? 1 ? x0max ? c c

31 图

35 图

当此式成立时 y ? e x ? mx ? a ?
2 2 2

l2 l2 l a l a2 l 2 ? e2 x0max ? 2cx0max ? a 2 ? ? ex0max ? a ? ? ? x0max ? ? ? ? 4 4 2 e 2e c 2e

当 x0max ?

a l a2 l 2b2 2 ? ? ? ? c 时: l 2 ? 4 ? ce ? a ? ? l ? 2 ? a ? ce ? ? =? ? 通径? e 2e c 2e a

当 x0max ? c 时: l ?

2b2 2b2 a2 l ? 。 =? ? 当 l ? ? = 时 x0max ? c , x0max ? c 2e a a
2

当 x0max ? c 时,当 cos

? ??
2
2

? 1 ,即 AB 垂直于 x 轴时 x0 最大。

2 2 e2 x0max ? x0max ? a2 ? c2 ?

l 2 ? x0max 4

l2 2 a 4 ? a 4b2 ? l 2 ? x ? 4b2 ? l 2 ? 0max ? 2 2 ? 1? e 4b 2b b2 ?

考虑到对称性 x0min ? 0 对任意情况均成立。

? x0min ? 0 , x0max

? a2 l ? 2b 2 ? ? ? x0 ? ? x ? c , l ? ? = , AB过焦点, cos 2 ? ? ? ? 0max a 2 c ? ? c 2e ? ?? ? 2b 2 ? a 4b 2 ? l 2 ? x 2 ? ?? ? c , l ? ? = , AB ? x 轴, cos ? 1 ? ? 0max ? 2b a 2 ? ? ?

32. ?

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 ? Ax ? By ? C ? 0

? ? A2 a 2 ? B 2b2 ? x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 ? C 2 ? B 2b 2 ? ? 0

? ? 4a 4 A2C 2 ? 4a 2 ? C 2 ? B 2b 2 ?? A2 a 2 ? B 2b 2 ? ? 0 ? A2 a 2 ? B 2b 2 ? C 2
2 2 2 2 2 2 ? ?b ? x ? x0 ? ? a ? y ? y0 ? ? a b 33. ? ? ? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? ? A2 a 2 ? B 2b 2 ? x 2 ? 2 ? a 2 AC ? B 2b 2 x0 ? a 2 ABy0 ? x ? ? a 2C 2 ? a 2 B 2 y0 ? B 2b 2 x0 ? a 2 B 2b 2 ? 2a 2 BCy0 ? ? 0 2 2 ? ? 0 ? A2 a 2 ? B 2b 2 ? A2 x0 ? B 2 y0 ? C 2 ? 2 ABx0 y0 ? 2 ACx0 ? 2 BCy0 ? ? Ax0 ? By0 ? C ? 2

当 x0 ? y0 ? 0 时,即为 32: A a ? B b ? C
2 2 2 2

2

34.由正弦定理得

F1 F2 PF2 PF1 F1F2 sin ? 2c c ,所以 ? ? ? ? ? ?e。 sin ? sin ? sin ? sin ? ? sin ? PF1 ? PF2 2a a
cos ? sin ? x? y ?1, a b

35. 设 P ? a cos?, b sin ? ? ,则 P 点处的切线为

b2 1 ? cos 2 ? b b 由此可得: yP1 ? ? b2 ?1 ? cos ? ? , yP2 ? ?1 ? cos ? ? ? P1 A1 ? P2 A2 ? sin ? sin ? sin 2 ?
36.(1)同 15. (2)由 15,36(3) :

?
2

?

1 1 ? 2 |O P| |O Q|
2

2

| O |P | 2 ? O Q | | 2O |P | ? ? 2 2 |O P || O Q| 4S

2 O Q | ? a2 b ? 2 ? Q P O ab
2

2 22

?

?| OP |

2

?a ? | OQ | ?
2

2 ? b 2 ? 4S? OPQ

a 2b 2

4 ? a 2 ? b 2 ? ? a 2b 2 ? 4a 2 b 2 ? ? ? ? 2 2 ? a 2b 2 a 2 ? b2 ? a ?b ?

??? ? ???? a2 2 2 (3)设 P ? a cos ? , b sin ? ?, Q ?a cos ?, bsin ? ? , OP ? OQ ? a cos ? cos ? ? b sin ? sin ? ? 0 ? tan ? tan ? ? ? 2 b

??? ? ???? a cos ? b sin ? 2S?OPQ ? OP ? OQ ? ? ab ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? a cos ? b sin ?
?
2 4S? OPQ

ab

2 2

? sin 2 ? cos 2 ? +sin 2 ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? sin ? cos ?

a4 4 a2 tan 2 ? ? b 2 ? 2 2 2 2 tan ? ? tan ? ? 2 tan ? tan ? tan ? b = ? 4 2 2 a ? tan ? ? 1?? tan ? ? 1? a4 2 b4 ? 1 ? tan ? ? b4 tan 2 ?

a4 a2 2 2 ? 2 ?1 a 2 ? b2 ? 4 2 ? ? a 2b 2 ? ab a 4 ? 2a 2 b 2 ? b 4 a 2b 2 2 b b ? 2 ? ?1 ? ?1 ? ? S?OPQ ? ? 2 ? ? S?OPQ ? 2 a4 4S?OPQ 4a 2b 2 4a 2 b 2 a ? b2 ? a ? b2 ? 2 4 a tan 2 ? ? b 2 ? 2 2 tan ? b 2 2 ab ? Smin ? 2 a ? b2
2 2

37.设 ?MFx ? ? , AB : ?

? ? x ? t cos ? p b2 ? ,椭圆 ? ? p ? ? ? 1 ? e cos ? ? a? ? y ? t sin ?

37 图

38 图

则 MN ?

p p 2p 2ab 2 2ab 2 ? ? ? ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e2 cos 2 ? a 2 ? c 2 cos 2 ? a 2 sin 2 ? ? b2 cos 2 ?
2

将 AB 的方程代入椭圆的标准方程中得: t ?

a 2b 2 ,由参数 t 的几何意义可知: a 2 sin 2 ? ? b2 cos 2 ?

AB ? 4t 2 ?

2

4a 2 b 2 ? 2a MN a 2 sin 2 ? ? b2 cos 2 ?
2

38.作半弦 OQ⊥OP,由 37 得: OQ ?

a 1 1 1 2 1 1 MN ,由 15: ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 2 | OP | | OQ | | OP | a MN a b

2 2 2 2 2 2 2 2 39.设 l : x ? ty ? m, P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,将 l 的方程代入椭圆得: a ? b t y ? 2b mty ? b m ? a ? 0

?

?

?

?

b 2 ? m2 ? a 2 ? y1 2b2 mt 由韦达定理得: y1 ? y2 ? ? 2 ,直线 A1P 的方程为 y ? , y1 y2 ? ? x ? a ? ,直线 A2Q 的方程为 2 2 2 2 2 x1 ? a a ?b t a ?b t
y?

2ty y ? ? a ? m ? y2 ? ? m ? a ? y1 y2 a ,代入化简: ? x ? a ? ,联立 A1P 和 A2Q 得交点 N 的横坐标 x ? 1 2 x2 ? a ? a ? m? y2 ? ? a ? m? y1
2b2tm2 ? 2b2ta 2 ? 2b2 m2t ? a ? a 2 ? b2t 2 ? ? y2 ? y1 ? ?2ab2 mt ? m ? a 2 ? b2t 2 ? ? y2 ? y1 ? a?
2 2 2 2 ? m? ?? a ? b t ? ? y2 ? y1 ? ? 2ab t ? 2 2 2 2 ? a? ?? a ? b t ? ? y2 ? y1 ? ? 2ab t ?

x?

a?

a2 m

所以交点一定在直线 x ?

a2 上。同理可证 M 在 y 轴上的情况。 m

引理(张角定理) :A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点 P 对 AC 的张角为 α,对 CB 的张角为 β。 则:

sin ?? ? ? ? sin ? sin ? ? ? PC PB PA

40 图

41 图

40.如图,A 为左顶点时,设 ?PFH ? ? , ?MFH ? ? ,则 ?AFP ? ? ? ? , ?PFM ? ? ? ?

FH ?

sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? a2 b2 b2 p p ? b2 ? ? ? ?c ? ? ? , FM ? p ? ? ? 。 对 F-APM 由张角定理: FP FM FA c c ae e e cos ? ? a?

? sin ? ? e sin ? cos? ? e sin? cos? ? sin ?? ? ? ? ? e sin ?? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ?
? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即 FM 平分 ?PFH ,同理 FN 平分 ?QFH 。??MFN ? 90? 即 MF⊥NF
当 A 为右顶点时,由 39 可知左顶点 A’与 P、M;Q、N 分别共线,于是回到上一种情况。 41.如图,设 ?PFA2 ? ? , ?MFA2 ? ? ,则 ?A 1FP ? ? ? ? , ?PFM ? ? ? ?? ?A 2 FQ ? ? ? ? 对 F-QA2M 和 F-A1PM 由张角定理:

sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ? ? ? , ? ? FP FM FA1 FA2 FM FQ

两式相减并化简得:

sin ? sin ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? FP FQ FA1 FA2

? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即 FM 平分 ?PFA2 ,同理 FN 平分 ?QFA2 。??MFN ? 90? 即 MF⊥NF
42.由 12 即可证得。 43.设 P ? x0 , y0 ? ,AB: ?

? x ? x0 ? t cos ? ? x ? x0 ? t cos ? ,CD: ? ,将 AB 的方程代入椭圆得: y ? y ? t sin ? y ? y ? t sin ? 0 0 ? ?

?b

2

2 2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? ? t 2 ? 2 ? b 2 x0 cos ? ? a 2 y0 sin ? ? t ? ? b 2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 ? ? 0

由参数 t 的几何意义可知: PA ? PB ? t1t2 ?

2 2 b2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2

b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?

,同理 PC ? PD ?

2 2 b2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2

b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?

b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? ? PC ? PD b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?
44. 对于外角平分线的情况由 5 即可证得,下仅证 l 为内角平分线的情况。

PA ? PB

设 P ? a cos ?, b sin ? ? ,则 l0 :
2

cos ? sin ? x? y ? 1 ? b cos ? ? a sin ? ? ab ? 0 a b

则 l : a sin ? x ? b cos ? y ? c sin ? cos ? ? 0 , l1 : b cos ? x ? a sin ? y ? bc cos ? ? 0

l2 : b cos ? x ? a sin ? y ? bc cos ? ? 0 。分别联立 l 、 l1 和 l 、 l2 得:
? c cos ? ? ac sin 2 ? ? b2 cos ? ? bc sin ? cos ? ? ? c cos ? ? ac sin 2 ? ? b2 cos ? ? bc sin ? cos ? ? ? , H2 ? ? H1 ? ,? , ? ? a 2 sin 2 ? ? b2 cos2 ? a ? c cos ? ? a 2 sin 2 ? ? b2 cos2 ? a ? c cos ? ? ? ? ? ?
ac sin 2 ? ac sin 2 ? 则 xH1 ? c ? , xH2 ? c ? ? a ? c cos ? a ? c cos ?
对 H1 点:

b ? x ? c? b ? x ? c? ? ? tan ? ? tan ? ? ? ay ay

? sin ? ? ?

b ? x ? c? a y ? b ? x ? c?
2 2 2 2

, cos ? ? ?

ay a y ? b ? x ? c?
2 2 2 2

,代回 xH1 ? c 式得:

a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ? b 2c ? x ? c ? x?c cy ? ? 1? ? 2 2 2 2 2 acy 2 2 2 ac a y ? b ? x ? c? a y ? b x ? c ? ? a? 2 a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ?
2

b2 ? x ? c ?

2

??

cy a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ?
2

?

b2c ? x ? c ? ? a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ? a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ?
2
2

2

??

a 2 y 2 ? b2 x ? x ? c ? a 2 y 2 ? b2 ? x ? c ?
2

? a 2 y 2 ? b2 x ? x ? c ?? ? ? 2 2 ?c y ? 2 2 2 2 a y ? b ? x ? c?
2

2

? ? a 2 y 2 ? b2 x ? x ? c ?? a 2 y 2 ? b2 x ? x ? c ?? ? ? ? ? 2 2 2 2 同理对 H 2 点得 c y ? 。故 H1 点、 H 2 点的轨迹方程为 c y ? 2 2 2 2 2 2 2 2 a y ? b ? x ? c? a y ? b ? x ? c?
45.由伸缩变换 y ?
'

a y 将椭圆(左图)变为圆(右图) ,椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证 CD b

与圆 O 相切的充要条件是 D 为 EF 中点。

充分性:若 D 为 EF 中点 ∵C 在圆上,AB⊥OE ∴FC⊥CE,OF⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA ∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90° ∴OC⊥CD ∴CD 与圆相切。 必要性:若 CD 与圆相切,则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90° ∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90° ∴∠DEC=90° -∠CFD=90° -∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即 D 为 EF 中点。 46.设 ?MFx ? ? ,由椭圆极坐标方程: MN ?

p p 2p ? ? 2 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos 2 ?

p p ? HF ep cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? ep , HF ? ? PF ? ? 2 2 2 2 1 ? e cos ? cos ? 1 ? e cos2 ?
47.由 10 可知 l 为切线 l : b2 x1x ? a2 y1 y ? a2b2 ? 0

?

PF MN

?

e 2

?d ?

a 2b 2 b x ?a y
4 2 1 4 2 1

2 2 2 由 22: r 1r 2 ? a ? e x1

? r1r2 d ? a 2 ? e2 x12 ?
48.同 29。

a 2b 2 b4 x12 ? a 4 y12

?

b x ? a b ?a ? x
4 2 1 2 2 2

a 2b2 a 2 ? e2 x12

2 1

?

?

a 2b a 2 ? e2 x12 a 4 ? c2 x12

? ab

49. 设AB中点为M ? x0 , y0 ? , 则k AB

b2 x0 a 2 y0 a 2 y0 ? ? 2 ? kMP ? 2 ? MP : y ? y0 ? 2 ? x ? x0 ? a y0 b x0 b x0

令y ? 0, 得xP ?

? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 x ? x ? ? a , a ? x ? , ? ? P ?? ? 0 0 a2 a a ? ?

50.同 20。
2 2 2 2 2 2 2 2 51.设 l : x ? ty ? m, P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,代入椭圆方程得: a ? b t y ? 2b mty ? b m ? a ? 0

?

?

?

?

由韦达定理得: y1 ? y2 ? ?

b 2 ? m2 ? a 2 ? 2b2 mt , y1 y2 ? a 2 ? b 2t 2 a 2 ? b 2t 2

由 A、P、M 三点共线得 yM ?

? n ? a ? y1 ,同理 y ? ? n ? a ? y2 n?a y1 ? N x1 ? a ty1 ? m ? a ty2 ? m ? a
? n ? a ? y1 y2 2 t 2 y1 y2 ? t ? m ? a ?? y1 ? y2 ? ? ? m ? a ?
2
2 2

???? ? ???? 2 2 ? BM ? BN ? ? n ? m ? ? yM yN ? ? n ? m ? ?

? ? n ? m? ?
2 2

b 2t 2 ? m2 ? a 2 ? ? 2b 2 mt 2 ? m ? a ? ? ? m ? a ? ? a 2 ? b 2t 2 ? b 2 ? m ? a ?? n ? a ?
2 2 2 2

b2 ? m2 ? a 2 ? ? n ? a ?

2 b 2 ? m ? a ?? n ? a ? a ? m a ? n ? m? ? ? n ? m? ? 2 2 ? n ? m ? ? 0 ? ? ? ? a2 ? m ? a ? a ? m b 2 (n ? a ) 2 b t ? m ? a ? ? 2b 2 mt 2 ? ? m ? a ? ? a 2 ? b 2t 2 ?

52,53,54 为同一类题 (最佳观画位置问题) , 现给出公式: 若有两定点 A ? ?k ,0 ? , B ? k , 0? , 点 P ? m, y ? 在直线 x=m 上 (m>k) , 则当 y2 ? ? m ? k ?? m ? k ? ? m2 ? k 2 时,∠APB 最大,其正弦值为 52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当 PH=b 时取等号。 53. k=a,m=

k 。 m
∴sinα≤e,当且仅当 PH=

a2 c

ab 时取等号。 c

54. k=c,m=

a2 c

∴sinα≤e2,当且仅当 PH=

b 2 2 a ? c 时取等号。 c

55.设∠AF2x= ? , F1 A ? F1B ? ? 2a ?

? ?

p ? p ? 4a ? p p ?? ? 2 ?? 2a ? ? ? 4a ? 1 ? e cos ? ?? 1 ? e cos ? ? 1 ? e2 cos2 ?

? p ? p ? 4a ? ? 0

2 ?c o s ??

F1 A ? F1B ?
2

∴当 ? =0° 时, F1 A ? F1 B

?

?

min

? b ;当 ? =90° 时, ? F1 A ? F1 B ?max

? 2a ?

2

? b2 ? a2

2

∴b

2

? 2a ? FA ? FB ?
1 1

2

? b2 ? a2

2

56.(1)设 AP : ?

? x ? t cos ? ? a 2 2 2 2 2 2 ,代入椭圆方程得: ? b cos ? ? a sin ? ? t ? 2ab t cos ? ∵AP= t ≠0 ? y ? t sin ?

2ab2 cos ? 2ab2 cos ? ? ∴AP= t ? 2 b cos2 ? ? a 2 sin 2 ? a 2 ? c 2 cos2 ?
(2)设 P ? x0 , y0 ? 则 tan ? tan ? ?
2 y0 b2 ? ? 1 ? e2 2 a 2 ? x0 a2

(3) S ?

1 2a 2b2 sin ? cos ? 2a 2b2 tan ? PA ? AB sin ? ? ? 2 a 2 ? c 2 cos2 ? a 2 tan 2 ? ? b2

由(2) :n a t

b2 n a t ?? 2 2 2 a t 2 ?? b an a t ? ?a n ?? ? ? ? ? b2 c2 n a t ? 1? 2 a

n a ? t? o c t??

? ?? 2
a n t

2 c n a t 2

? 2 ?b ?

?S ? ?

2a 2b2 cot ? 2a 2b2 cot ? ? c2 b2 ? a 2

57.由 58 可证。 58.(1)易知 PQ 的斜率为 0 和斜率不存在时,对任意 x 轴上的点 A 都成立。设 PQ : x ? ty ? m ,A(m,0)

b 2 ? m2 ? a 2 ? 2b2 mt 代入椭圆方程得: ? a ? b t ? y ? 2b mty ? b ? m ? a ? ? 0 ,则 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? a ? b 2t 2 a 2 ? b 2t 2
2 2 2 2 2 2 2 2

若 ?PBA ? ?QBA ,则 kBQ ? kBP ? 0 ?

y1 y2 ? ? 0 ? y1 ? ty2 ? m ? xB ? ? y2 ? ty1 ? m ? xB ? ? 0 x1 ? xB x2 ? xB

2b2 mt ? m ? xB ? ? 2ty1 y2 ? ? m ? xB ?? y1 ? y2 ? ? 0 ? ? ? 0 ? 2b 2t ? m2 ? a 2 ? ? 2b 2 mt ? m ? xB ? ? 0 a 2 ? b 2t 2 a 2 ? b 2t 2 a2 a2 ? m2t ? a 2t ? m2t ? mtxB ? 0 ? xB ? ? x A ? xB ? m ? ? a 2 m m
(2)作 P 关于 x 轴的对称点 P ,由(1)即证。 59.同 9。 60.设椭圆 ? ?
'

2b2t ? m2 ? a 2 ?

p b2 ? ?? , ? ? ? 0, ? 。 ? 1 ? e cos ? a ? c cos ? ? 2?
b2 ? a ? c cos ? b2 b2 b2 ? ? ? ? a ? c cos ?? ? ? ? 3? ? ? ? a ? c cos ? ? ? ? a ? c cos ? ? ? ? 2? 2 ? ? ?

则 AB ? CD ?

?

8ab2 ? a 2 ? b2 ? b2 b2 b2 b2 ? ? ? ? 2 2 4 2 a ? c cos ? a ? c cos ? a ? c sin ? a ? c sin ? 4a b ? c sin 2?

当? ?

?
4

时, AB ? CD 有最小值

2 ? a 2 ? b2 ? ? 8ab2 ? ? 0 ;当 或 时, 有最大值 AB ? CD 2 a 2 ? b2 a

2 ? a 2 ? b2 ? 8ab2 ? 2 2 ? AB ? CD ? a ?b a
61,62,63 为同一类问题,现给出公式:若点 P 到两定点 A ? ?m,0? ,B ? m,0? 的距离之比

PA ? k ? k ? 0, k ? 1? ,则 P 点的 PB

? k 2 ?1 ? 2km m, 0 ? ,圆的半径为 2 轨迹为一个圆,圆心坐标为 ? 2 。 k ?1 ? k ?1 ?
下三个题的比值 k 均为

a?c b ?m ? ,代入上述公式得:圆心坐标为 ? ,0 ? ,圆的半径为 m 。 c b ?e ?
2

2 2 61.m=c,圆心坐标为 ? ?a,0 ? ,圆的半径为 b 。轨迹方程是姊妹圆 ? x ? a ? ? y ? b 。

62.m=a,圆心坐标为 ? ?

b a? ? a ? ? ?b? , 0 ? ,圆的半径为 。轨迹方程是姊妹圆 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? 。 e e? ? e ? ? ?e?
2 2

2

2

b a2 a? ? a ? ? ?b? 63.m= ,圆心坐标为 ? ? 2 , 0 ? ,圆的半径为 2 。轨迹方程是姊妹圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? ? 2 ? 。 e c e ? ? e ? ? ?e ?
' 64.设 P ? a cos ?, b sin ? ? , Q ? x, y ? , A? ?a,0? , A' ? a,0? ,由 AP ? AQ ? A' P ? AQ ? 0 得 Q ? ?a cos ? , ?

??? ? ????

???? ????

? ?

a 2 sin ? ? ? b ?

消去参数 ? 得 Q 点的轨迹方程:

x2 b2 y 2 ? 4 ?1 a2 a
1 ? 2a ? 2b ? 2ab 。 2

65.同 37。

' ' ' ' 66.(1)同 35(2)由基本不等式 AM ? A M ? 2b ,则梯形 MAA M 面积的最小值为

AM ? BC FM AC ? AM ? BC ? AF ? BC ? e ? 1 67.设 AC 交 x 轴于 M,AD⊥ l 于 D。由椭圆第二定义: ? EM CM ? AD CM ? AD BF ? AD e AC
∴AC 过 EF 的中点。 68.(1)由 17 可知当椭圆方程为

? a 2 ? b2 ? x2 y 2 ( x ? a)2 y 2 ? ? 1 ? 2 ?1 时, AB 过定点 。当椭圆方程变为 ? ? a , 0 ? 2 2 ? a 2 b2 a2 b ? a ?b ?
? a 2 ? b2 ? ? 2 ab 2 ? ? ? a ? a , 0 ,0? ? 即? 2 2 2 2 ? a ?b ? ? a ?b ?
2

时,椭圆向右平移了 a 个单位,定点也应向右平移了 a 个单位,故此时 AB 过定点 ?
2

? ab2 ? 2 ? ab2 ? (2)由 69(2)P 为原点,即 m=n=0 时 Q 点的轨迹方程是 ? x ? 2 2 ? ? y ? ? 2 2 ? ? x ? 0? 。 ? a ?b ? ? a ?b ?
69. (1) 由 17 可知当椭圆方程为

? a 2 ? b2 x2 y 2 b2 ? a 2 ? ? 1 时, AB 过定点 m ? a , ? 2 2 ? 2 2? a 2 b2 a ?b ? a ?b

? ( x ? a)2 y 2 ? 2 ?1 当椭圆方程变为 n? 。 a2 b ?
? a 2 ? b2 b2 ? a 2 m ? a ? a , ? ? 2 2 a2 ? b2 ?a ?b ? n? 即 ?

时,椭圆向右平移了 a 个单位,定点也应向右平移了 a 个单位,故此时 AB 过定点 ?

? 2ab2 ? m(a 2 ? b2 ) n(b2 ? a 2 ) ? , 2 2 ?。 ? a 2 ? b2 a ?b ? ?
x2 y 2 (2)先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为: 2 ? 2 ? 1 , P ? x0 , y0 ? ,AB 的斜率为 k ? tan ? 。 a b
由 17(1) :AB 过定点 ?

? a 2 ? b2 ? b2 ? a 2 ? 1 b2 ? a 2 a 2 ? b2 ? x , y ,设 AB : y ? y ? k x ? x ,PQ: y ? y0 ? ? ? x ? x0 ? ? 2 2 0 2 2 0? 2 2 0 2 2 0? a ?b k a ?b a ?b ? a ?b ? ? ?

a 2 ? k 2 ? 1? y0 b2 ?1 ? k 2 ? x0 2b2 kx0 b 2 y0 2a 2 ky0 a 2 x0 ? ? ? ? 两者联立得 yQ ? 2 ,x ? ? k ? 1?? a2 ? b2 ? ? k 2 ? 1?? a 2 ? b2 ? a2 ? b2 Q ? k 2 ? 1?? a2 ? b2 ? ? k 2 ? 1?? a2 ? b2 ? a2 ? b2
则 xQ ?

b2 ?1 ? k 2 ? x0 b2 x0 ?1 ? tan 2 ? ? a 2 x0 2a 2 ky0 2a 2 y0 tan ? ? ? ? ? a 2 ? b2 ? k 2 ? 1?? a 2 ? b2 ? ? k 2 ? 1?? a 2 ? b2 ? ? tan 2 ? ? 1?? a 2 ? b2 ? ? tan 2 ? ? 1?? a 2 ? b2 ?

2 2 2 2a 2 y0 sin ? cos ? b x0 ? cos ? ? sin ? ? a 2 y0 b2 x0 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2? a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

a 2 ? k 2 ? 1? y0 a 2 y0 ? tan 2 ? ? 1? b2 y0 2b2 kx0 2b2 x0 tan ? yQ ? 2 ? ? ? ? a ? b2 ? k 2 ? 1?? a 2 ? b2 ? ? k 2 ? 1?? a 2 ? b2 ? ? tan 2 ? ? 1?? a 2 ? b2 ? ? tan 2 ? ? 1?? a 2 ? b2 ?
2 2 2 2b2 x0 sin ? cos ? a y0 ? sin ? ? cos ? ? b2 x0 a 2 y0 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2? a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

? ? ? b2 x ? a2 x ? ? b2 y ? ? a 2 y b2 x a2 y ? ? xQ ? 2 0 2 ? ? ? yQ ? 2 0 2 ? ? ? 2 0 2 sin 2? ? 2 0 2 cos 2? ? ? ? 2 0 2 sin 2? ? 2 0 2 cos 2? ? a ?b ? ? a ?b ? ? a ?b a ?b a ?b ? ? ? a ?b ? ?
2 2 b4 x0 ? a 4 y0

2

2

2

2

? a 2 ? b2 ?

2

?

2 b2 ? a 2b2 ? a 2 y0 ? ? a4 y02

? a 2 ? b2 ?

2

?

4 2 2 2 ? a2 ? ?b ? y0 ? a ? b ??

?a

2

? b2 ?

2

当椭圆方程变为

( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1 时,椭圆向右平移了 a 个单位,圆心也应向右平移了 a 个单位,而半径不变。故此时圆 a2 b

2 a2 ? b 4 ? y0 ? a 2 ? b2 ?? ? a2 ? m ? a ? b 2 n ? ? ab 2 ? a 2 m b 2 n ? ? ?。 ? a, 2 心的坐标为 ? 即? , 2 2 ? ,半径的平方仍为 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 a ? b a ? b a ?b ? ? ? ? a ?b ?a ? b ? 2 2 2 a2 ? b 4 ? y0 ? a 2 ? b2 ?? ? ab 2 ? a 2 m ? ? b2n ? ? ? x ? m且y ? n 。 ? ∴Q 点的轨迹方程为 ? xQ ? ? ? ? ? ? yQ ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 a ?b ? ? a ?b ? ? ?a ? b ?

70.设 L:Ax+By+C=0,则 d1 ?

C ? Ac A2 ? B2

, d2 ?

C ? Ac A2 ? B2

? d1d2 ?

C 2 ? A2c 2 A2 ? B2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 将 L 代入椭圆方程得: A a ? B b y ? 2 BCb y ? b C ? A a b ? 0 , ? ? 4a b A A a ? B b ? C

?

?

?

?

? ? 0 ? A2 a 2 ? B 2 b 2 ? C 2 ? 0 ? ? A 2 ? B 2 ? b 2 ? A 2 c 2 ? C 2 ? 0 ? C 2 ? A 2 c 2 ? ? A 2 ? B 2 ? b 2 ? 0

d1d2 ? b2 ? 直线 L 和椭圆相离,且 F1、F2 在 L 同侧。 d1d2 ? b2 ? 直线 L 和椭圆相交,或 F1、F2 在 L 异侧。
71.由 35: yC ?

d1d2 ? b2 ? 直线 L 和椭圆相切,且 F1、F 2 在 L 同侧。

1 1 1 sin ? sin ? 2 b b ? ? ?1 ? cos ? ? , yD ? ?1 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? sin ? yM yC yD b ?1 ? cos ? ? b ?1 ? cos ? ? b sin ?

b sin ? ? yM ? 2

x2 4 y 2 xM ? a yM 由 得 xM ? a cos ? ,消去参数 ? 得 M 点的轨迹方程为: 2 ? 2 ? 1? y ? 0 ? ? a b 2a yD

72.由 43: PA ? PB ?

2 2 b2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2

b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?

?

2 2 a 2b2 ? ? b2 x0 ? a 2 y0 ?

b2 ? c2 sin 2 ?

。当 ? ? 0 即 AB 与椭圆长轴平行时,
2 2 a 2b2 ? ? b2 x0 ? a 2 y0 ?

? PA ? PB ?max ?

2 2 a 2b2 ? ? b2 x0 ? a 2 y0 ?

b2

;当 ? ?

?
2

即 AB 与椭圆短轴平行时, ? PA ? PB ?min ?

a2

73.同 7。 74.同 8。

75.由 8 可知, F2 处的切线长 F2T ? a ? c ? 2c ? a ? c ,同理可证 P 在其他位置情况。

76. 如图,由切线长定理 PS=PT,PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T= PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-2c,所以 PS=PT=a-c

76 图

77 图

c 2 cos ? c 2 cos ? c? ?c c ? xM xM ? c a a 77. 设 P ? a cos ?, b sin ? ? , 由 79 中得到的内点坐标和 22 中的焦半径公式: ? ?e ? ? e, PF2 a ? c cos ? PF1 a ? c cos ?
78.? MN 平分?F1MF2 ?

MF1 NF1 MF2 MF1 MI MF2 MF1 ? MF2 2a 1 ? ? ? ,同理F2 I 平分?MF2 N ? ? ? ? ? MF2 NF2 NF2 NF1 NI NF2 NF1 ? NF2 2c e
cos ? sin ? ? a ? x? y ? 1 ,由此得外点 N ? ,0 ? a b ? cos ? ?

79. 设 P ? a cos ?, b sin ? ? ,则 ?F 1PF 2 外角平分线(即切线) l :

同理 ?F 1PF 2 内角平分线(即法线) l ' :

? c 2 cos ? ? sin ? cos ? c2 ,0? x? y ? sin ? cos ? ? 0 ,由此得内点 M ? a b a ab ? ?

? xM ? xN ?

c 2 cos ? a ? ? c2 a cos ?

80.由 79 中得到的内外点坐标可得: c ? c ?

? ?

? c 2 cos ? ? c 2 cos ? ? a ? c ? ,即证。 ?? ? a ? a ? cos ? ?

? a ? a ? c 2 cos ? ? 81.由 79 中得到的内外点坐标可得: ? c ? ,即证。 ?c ? ? ? c? cos ? ? a ? ? cos ? ?
82.同 5。 83.同 5。 84.由 5,7 即证。

cos ? cos ? sin ? b x? y ? 1 , tan ? ? ? a ? ? 85. 设 P ? a cos ?, b sin ? ? ,则 ?F 1PF 2 外角平分线(即切线) l : sin ? a b a tan ? b
? bc sin ? c sin ? , ? b 则 由 50 得: tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? cot ? ? 2 b b c sin ? ?2 ?
b2 b 2c 2 sin 2 ? ? 1 ? c 2 sin 2 ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 tan 2 ? ? 1 a 2 tan 2 ? b2e2 cos 2 ? ? c 2 sin 2 ? a 2 tan 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 1 b cos ? tan ? ? 1 b ? c sin ? b 2 ? c 2 sin 2 ? ? 1 tan 2 ? ? 1 c 2 sin 2 ? 1

?

b2e2 ? b2e2 sin 2 ? ? a 2e2 sin 2 ? b2e2 ? c 2e2 sin 2 ? cos ? ? ? e2 ? ?e b2 ? c 2 sin 2 ? b2 ? c 2 sin 2 ? cos ?

86.由 4 即证。 87.同 4。 88.由 71: yC ?

b b ?1 ? cos ? ? , yD ? ?1 ? cos ? ? , F1 ? ?c,0? , F2 ?c,0? sin ? sin ?

???? ???? ? ???? ? ???? ? b2 ?1 ? cos 2 ? ? b2 ?1 ? cos 2 ? ? ? CF1 ? F1D ? ? a ? c ?? a ? c ? ? ? 0 同理:? CF2 ? F2 D ? ? a ? c ?? a ? c ? ? ?0 sin 2 ? sin 2 ?
?CF1 ? F1D, CF2 ? F2 D ,即两焦点在以两交点为直径的圆上。
89. 设 P ? a cos ?, b sin ? ? ,则 l1 : y ? b sin ? ?

b b ? x ? a cos ? ? ? y ? x ? b ? sin ? ? cos ? ? a a
2

同理 l2 : y ? ?

b x ? b ? sin ? ? cos ? ? a

? ? ? b ? cos ? ? sin ? ? ? 2 2 ? a 2 ? cos ? ? sin ? ? ? a 2 ?1 ? sin 2? ? ∴ OM ? ? ? b ? ? a ? ?
2 2

同理 ON

2

? a 2 ? cos ? ? sin ? ? ? a 2 ?1 ? sin 2? ? ? OM ? ON ? a 2 ?1 ? sin 2? ? ? a 2 ?1 ? sin 2? ? ? 2a 2
2 2

2 2 2 同理 OQ ? OR ? b ?1 ? sin 2? ? ? b ?1 ? sin 2? ? ? 2b 2

90.设 P ? x0 , y0 ? ,则 l1 : y ?

?b ? ? a x0 ? y0 ? 2 ? OM ? ? ? b ? ? a ? ?
2 2

2

b b b b x ? y0 ? x0 , l2 : y ? ? x ? y0 ? x0 a a a a 2 ?b ? 2 ? a x0 ? y0 ? ? bx0 ? ay0 ? 2 2 ? bx0 ? ay0 ? ?? ? ?? ? , ON ? ? ? b b b ? ? ? ? ? ? a ? ?

2 2 2 2 2 2 ? bx0 ? ay0 ? ? bx0 ? ay0 ? 2 ? b x0 ? a y0 ? ? OM ? ON ? ? ? 2a 2 ? ?? ? ? 2 b b b ? ? ? ?

同理: OQ ? ?

2

? b2 2 2 2 2 ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? 2? 2 ? y0 x0 ? y0 ? , OR ? ? x0 ? y0 ? ? OQ ? OR ? ? x0 ? y0 ? ? ? x0 ? y0 ? ? 2 ? 2 x0 ? ? 2b a a a ? ? ? ? ?a ? ?a ? ? ?

2

2

2

2

均推出 P 点的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1。 a 2 b2

91.? P ? x, y ? , PMQ / / x轴, PNR / / y轴? M ? 0, y ? , N ? x,0 ? , Q ? ?

b ? ? a ? ? y, y ? , R ? x, ? x ? a ? ? b ? ?

? S1 ?

1 a 1 ay 2 1 b 1 bx 2 y? y ? ? , S2 ? x ? x ? ? 2 b 2 b 2 a 2 a

2 1 ? ay 2 bx 2 ? ab ? x 2 y ? ab ? S1 ? S2 ? ? ? ?? ? 2 ? 2 ?? 2? b a ? 2 ?a b ? 2

92. 设 P ? x0 , y0 ? ,则 xQ ? ?

a b x2 y 2 1 ? ay 2 bx 2 ? ab y0 , yR ? ? x0 ? S1 ? S2 ? ? 0 ? 0 ? ? 由此得 P 点的轨迹方程为 2 ? 2 ? 1 。 b a a b 2? b a ? 2


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