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2016高考第一轮复习8.6.2立体几何中的向量方法(Ⅱ)


一轮复习讲义

立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——求空间角与距离

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方 向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两 不共

线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程组为 ? a=0 ?n· ? . ? b=0 ?n· 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ= |cos〈m1,m2〉| .

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要点梳理

忆一忆知识要点

(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ= |cos〈m,n〉| . (3)求二面角的大小 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 〈 AB ,CD〉 线,则二面角的大小 θ= .

2° 如图②③,n1,n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α,β 的 法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos θ=cos〈n1,n2〉或 -cos〈n1,n2〉 .

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要点梳理
3.点面距的求法

忆一忆知识要点

如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α

AB ? n
的距离 d=

n

.

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知识网络
空间几何体的结构 空间几何体 空间几何体的体积、表面积

柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法

点、线、面之间的位置关系

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知识网络

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要点梳理
空间角 角的范围 线线角 ? ? (0, ? ] 2
? n
? a

图形
?

计算公式

? b

? a

cos? ?
? ? b
A
? n

? ? | cos ? a, b ?|

A

线面角 ? ? [0, ? ]
2

? B

?

? B
?? ? n2

?

sin ? ???? ? ? ? | cos ?? BA, n ?| ???? ? | BA ? n | ? ? ? ??? | BA || n |
?

?

?
?

?? ? n2

?? ? n1

面面角 ? ? [0, ? ]

?? ? n1

?

l

?
l

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 ? ?? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ?? ? | n1 || n2 |

? ?? n1 , n2 ?, ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? n1 , n2 ?

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要点梳理
①法向量法
?? ? n2

?

?? ?? ? n1, n2

?? ? ?? ? ? ? n1, n2

?? ? ?? ? ? ? ? ? n1, n2

?
?
l

?? ? n2

?? ?? ? n1, n2

?? ? n1
?

?? ? n1

?
l

?

cos ?

?

?? ?? ? cos ? n1, n2 ? cos ?

?

?? ?? ? ? cos ? n1, n2 ?

注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角 主页

要点梳理
②方向向量法:

将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 ( 在 二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角. 设二面角α-l-β的大小为θ,其中
AB ? l , AB ? ? , CD ? l , CD ? ?

?
B C A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD cos? ? cos AB, CD ? ??? ? ??? ? AB ? CD

?
D

l

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要点梳理
作二面角的平面角的常用方法
①点P在棱上

—定义法

②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内
ι
p

—垂面法

β
B

α
β
A
B B

p

α
A

ι

ι

O

α
A

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要点梳理 1.定义法
3.垂面法
P

2. 垂线法
?

?
B
l

O

A

?

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要点梳理
空间角
? a

图形
? b

角的范围
? ? b
A
? n

线线角

?

? a

? ? (0, ? ]
2

计算公式 cos? ? ? ? | cos ? a, b ?|
sin ? ???? ? ? ? | cos ?? BA, n ?| ???? ? | BA ? n | ? ? ? ??? | BA || n | ?? ? ?? ?

? n

A

线面角
? B
?

? ? [0, ? ]
2

?

? B
?? ? n2

?

?
?

?? ? n2

?? ? n1
?

面面角

?? ? n1

?

l

?
l

? ? [0, ? ] ? ?? n1 , n2 ?,

?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? cos ? n1 , n2 ?? ? ?? ?? ? ?? ? | n1 || n2 |

?? ? ?? ? ? ? ? ? ? n1 , n2 ?

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求点到平面的距离
定义 :一点到它在一个平面内的正射影的距离 叫做点到平面的距离 . 即过这个点到平面的垂 线段的长度.
方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂 线段,再计算这个垂线段的长度. 方法2:等体积法求距离.

A

?
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B

?

O

求点到平面的距离
方法3:向量法
点P为平面外一点,点A为平面内的任一点,平 面的法向量为n , 过点P作平面?的垂线PO,记PA和 平面?所成的角为?. 则点P到平面的距离 P

? n
?
O

?
? A

??? ? ??? ? d ?| PO |?| ? PA |? sin? ? ??? ??? ?
? ??? ? | n ? PA | ?? ? d? |n|

??? ? | n ? PA | | n ? PA | ? ? ?? ? . ?| PA | ? ? ??? | n || PA | | n|

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异面直线所成的角

范围: (0?,90?] 范围: [0?,90?]

空间的角

直线与平面所成的角

二面角 点到平面的距离

范围: [0?,180?]

? ? |a ?b | cos? ? ? ? |a |?|b | ? ? |a?n| sin? ? ? ? |a |?| n | ? ? n ? n2 cos? ? ? 1 ? | n1 | ? | n2 |

空间的距离

直线与平面所成的距离
平行平面之间的距离

相互之间的转化

? ? |a?n| d? ? |n|
P

l

b a a?

θ

?

? a θ

? n
A

? ?

?

O

?
直线与平面所成的角

?

B

异面直线所成的角

cos ? ? cos? cos?
?
D

?
?
?

?
l
?? ? n1

? ?

?? ? n2

?

l

A

C

?
B

l

定义法

法向量法

方向向量法

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[难点正本

疑点清源]

1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来 计算的,对空间各种角概念必须深刻理解.平行和垂直可以 看作是空间角的特殊情况. 2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻 找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位置关系的 判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量 的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 3.求点到平面距离的方法:①垂面法:借助面面垂直的性质来 作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;②等体积 法,转化为求三棱锥的高;③等价转移法;④法向量法.

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求异面直线所成的角
例 1 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E、 F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= BF=1.求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余 弦值.

(1)本题易于建立空间直角坐标系,把 EC1 与 FD1 所成角看作向 → → 量EC1与FD1的夹角,用向量法求解. (2)平移线段 C1E 让 C1 与 D1 重合,转化为平面角,放到三角形 中,用几何法求解.

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方法一

→ → → 以 A 为原点,AB、AD、AA1

分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直 角坐标系,则有 D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0), → → C1(4,3,2),于是EC1=(1,3,2),FD1=(-4,2,2), 设 EC1 与 FD1 所成的角为 β,则:
→ → |EC1· FD1| cos β= → → |EC1|· |FD1| 1×(-4)+3×2+2×2 21 = 2 2 2 2 2 2= 14 , 1 +3 +2 × (-4) +2 +2
21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14

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方法二 延长 BA 至点 E1,使 AE1=1, 连结 E1F、DE1、D1E1、DF,
有 D1C1∥E1E,D1C1=E1E, 则四边形 D1E1EC1 是平行四边形.
则 E1D1∥EC1. 于是∠E1D1F(或补角)为直线 EC1 与 FD1 所成的角.
在 Rt△BE1F 中, E1F= E1B2+BF2= 52+12= 26.
2 在 Rt△D1DE1 中,D1E1= DE2 1+DD1 2 2 2 2 2 = AE2 1+AD +DD1= 1 +3 +2 = 14.

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在 Rt△D1DF 中,FD1= FD2+DD2 1
2 2 2 = CF2+CD2+DD2 = 2 + 4 + 2 = 24. 1

在△E1FD1 中,由余弦定理得: 2 2 D1E1 +FD2 21 1-E1F cos∠E1D1F= = . 14 2×D1E1×FD1 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14

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探究提高
可以从两个不同角度求异面直线所成的角:一把角的求解转化为 向量运算;二体现传统方法,作—证—算.应注意体会两种方法 的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键.平移线段法,或 化为向量的夹角.一般地,异面直线 AC、BD 的夹角 β 的余弦为 → → |AC· BD| cos β= . → → |AC||BD|

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变式训练 1
如图,在四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, π ∠ABC= .OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 4 的中点.

(1)证明:直线 MN∥平面 OCD; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小.

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(1)证明 作 AP⊥CD 于点 P. 如图,分别以 AB,AP,AO 所在直 线为 x,y,z 轴建立直角坐标系.
? ? 2 ? A(0,0,0),B(1,0,0),P?0, ,0? ?, 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? D?- , ,0?,O(0,0,2),M(0,0,1),N? ?1- 2 2 ? ? ?

? 2 2 ? , ,0?. 4 4 ?

? ? 2 2 2 → ? → ? ? ? ? (1)MN=?1- , ,-1?,OP=?0, ,-2? ?, 4 4 2 ? ? ? ? ? 2 2 → ? ? OD=?- , ,-2? ?. 2 2 ? ?

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设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z), ? ? 2y-2z=0, ?2 → → 则 n· OP=0,n· OD=0.即? 2 2 ? - x+ y-2z=0. ? 2 ? 2 取 z= 2,解得 n=(0,4, 2).
? ? 2 2 → ? ∵MN· n=?1- , ,-1? (0,4, 2)=0, ?· 4 4 ? ?

∴MN∥平面 OCD.

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(2)解 设 AB 与 MD 所成角为 θ, ? 2 2 → → ? ? ∵AB=(1,0,0),MD=?- , ,-1? ?, 2 2 ? ? → → ? π? |AB· MD| 1 ∴cos θ= = ,θ∈?0,2 ?, 2 → → ? ? |AB|· |MD| π π ∴θ= .∴直线 AB 与 MD 所成的角为 . 3 3

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求直线与平面所成的角
例2 如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=90° , 侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1、A1B 的 中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值.
→ → 建立空间直角坐标系,求出各点及向量的坐标,求出A1B与EG夹 角的余弦值的绝对值即可.

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如图所示,建立空间直角坐标系,坐标原点为 C,设 CA=

2a,则
A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2), ?2a 2a 1? E(a,a,1),G? 3 , 3 ,3?, ? ? a a 2? → ? EG=?-3,-3,-3?, ? ? → BD=(0,-2a,1), → → 2 2 2 EG· BD= a - =0, 3 3
1 1 2? → → ? ∴a=1,EG=?-3,-3,-3?,A1B=(-2,2,-2).
? ?

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→ ∵EG为平面 ABD 的一个法向量, → → A1B· EG 2 → → 且 cos〈A1B,EG〉= = , 3 → → |A1B||EG| 2 ∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是 . 3

探究提高
平面的法向量,有时需要求出,有时题目本身就有,要准确理解 题意,把法向量找出来.如本题中由于 E 在平面 ABD 上的射影 → 是△ABD 的重心 G,则 EG⊥平面 ABD,EG即为平面 ABD 的法 向量.

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变式训练 2
如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=4, AA1= 7,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且 DE⊥A1E. (1)证明:平面 A1DE⊥平面 ACC1A1; (2)求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值.
(1)证明 由正三棱柱 ABC—A1B1C1 的性质知, AA1⊥平面 ABC.

又 DE?平面 ABC,所以 DE⊥AA1.
又 DE⊥A1E,AA1∩A1E=A1, 所以 DE⊥平面 ACC1A1.

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又 DE?平面 A1DE,故平面 A1DE⊥平面 ACC1A1.
(2)解 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为 原点建立空间直角坐标系,则相关各点的坐标分 别是 A(2,0,0),A1(2,0, 7),D(-1, 3,0), E(-1,0,0). → → → 易知A1D=(-3, 3,- 7),DE=(0,- 3,0),AD= (-3, 3,0). 设 n=(x,y,z)是平面 A1DE 的一个法向量,
? → ? n· DE=- 3y=0, 则? → ? A1D=-3x+ 3y- 7z=0. ?n· 7 解得 x=- z,y=0. 3

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故可取 n=( 7,0,-3). → -3 7 n· AD 21 → 于是 cos〈n,AD〉= = =- . 8 → 4×2 3 |n|· |AD| 21 故直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为 . 8

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求二面角
例3 (2011· 辽宁)如图,四边形 ABCD 为正 方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA= 1 AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

注意到 DA、DP、DC 两两垂直,因而可考虑建立空间直角坐标 系求解.

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(1)证明

如图,以 D 为坐标原点,线段

DA 的长为单位长,以 AD、DP、DC 所 在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系 D—xyz.
→ → 依题意有 Q(1,1,0), C(0,0,1), P(0,2,0), 则DQ=(1,1,0), DC=(0,0,1), → PQ=(1,-1,0). → → → → 所以PQ· DQ=0,PQ· DC=0,
即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ.
又 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ.

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(2)解

→ → 依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1).

设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量, ? → ? n· CB=0, 则? → ? BP=0, ? n·
? ?x=0, 即? ? ?-x+2y-z=0.

因此可取 n=(0,-1,-2). ? → ?m · BP=0, 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ? m · PQ =0, ? 15 可取 m=(1,1,1).所以 cos〈m,n〉=- . 5
15 故二面角 Q—BP—C 的余弦值为- . 5

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探究提高
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面 的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

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变式训练 3
如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P— ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PA ⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB= 2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.
(1)证明 如图,建立坐标系, 则 A(0,0,0),B(2 3,0,0), C(2 3,6,0),D(0,2,0), P(0,0,3), → → → ∴AP=(0,0,3),AC=(2 3,6,0),BD=(-2 3,2,0).

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→ → → → ∴BD· AP=0,BD· AC=0. ∴BD⊥AP,BD⊥AC.
又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC.
(2)解 设平面 ABD 的法向量为 m=(0,0,1),

设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n· BD=0,n· BP=0. → ∵BP=(-2 3,0,3),
? ?-2 ∴? ? ?-2

?y= 3x, ? 解得? 2 3 3x+3z=0, z= x. ? 3 ? 3x+2y=0,

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令 x= 3,则 n=( 3,3,2), m· n 1 ∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 2 ∴二面角 P—BD—A 的大小为 60° .

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求空间距离
例 4 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA= SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点, 如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离.
由平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC,BA=BC,可知本题可以取 AC 中点 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.

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取 AC 的中点 O,连结 OS、OB.

∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO,AC⊥BO.

∵平面 SAC⊥平面 ABC, 平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC, 又∵BO?平面 ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,建立空间直角坐标系 O—xyz, 则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2).

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→ → → ∴CM=(3, 3,0),MN=(-1,0, 2),MB=(-1, 3,0). 设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, ?→ ?CM· n=3x+ 3y=0 则? → ? n=-x+ 2z=0 ?MN· ,取 z=1,

则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1).
→ |n· MB| 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d= = . |n| 3

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探究提高
点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出 → → 于几何法. 如本题, 事实上, 作 BH⊥平面 CMN 于 H.由BH=BM → → → +MH及BH· n= n · BM, → → → ∴|BH· n|=|n· BM|=|BH|· |n|, → → | n · BM | | n · BM | → ∴|BH|= ,即 d= . |n| |n|

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变式训练 4
如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角 形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD, AB=2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离.
解 取 CD 中点 O,连结 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD, 则 MO⊥平面 BCD. 取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、
y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图. OB=OM= 3,则各点坐标分别为
C(1,0,0),M(0,0, 3), B(0,- 3,0),A(0,- 3,2 3).

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设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, → → 则BC=(1, 3,0),BM=(0, 3, 3), → → 由 n⊥BC得 x+ 3y=0;由 n⊥BM得 3y+ 3z=0.
→ 取 n=( 3,-1,1),BA=(0,0,2 3), → |BA· n| 2 3 2 15 则 d= = = . |n| 5 5

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答题模板
利用空间向量求空间角
(14 分)如图,已知在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AA1 =1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30° ,AE 垂直 BD 于点 E,F 为 A1B1 的中点.

(1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的余弦值.

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审题视角
(1)研究的几何体为长方体,AB=2,AA1=1. (2)所求的是异面直线所成的角和二面角. (3)可考虑用空间向量法求解.

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规范解答 解 以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图所示).

由于 AB=2,BD 与平面 AA1B1B 所成角为 30° , 2 3 即∠ABD=30° ,∴AD= , 3

[2 分]

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? ? 2 3 ? ? ∴A(0,0,0),B(2,0,0),D?0, ,0?,F(1,0,1). 3 ? ?

又 AE⊥BD,故由平面几何知识得 AE=1, ?1 ? 3 ? 从而 E? , ,0? , ? 2 ?2 ?
? 3 → ? → ?1 ? (1)因为AE=? , ,0?,BF=(-1,0,1), 2 ?2 ? ? 1 3 → → ? ?1 ? ∴AE· BF=? , ,0?· (-1,0,1)=- , 2 2 2 ? ? → → |AE|=1,|BF|= 2,

[4 分]

[6 分]

设 AE 与 BF 所成角为 θ1, ? 1? ?- ? → → |AE· BF| ? 2? 2 则 cos θ1= = = . → → 1× 2 4 |AE||BF|

[8 分]

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2 故异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 . 4

(2)设平面 BDF 的法向量为 n=(x,y,z), ? → ?-x+z=0 ? n· ? BF=0 由? ,得? 2 3 → -2x+ y=0, ? ? n · BD = 0 3 ? ? ∴z=x,y= 3x,取 x=1,得 n=(1, 3,1).
求得平面 AA1B 的一个法向量为 ? 2 3 → ? ? ? m=AD=?0, , 0 ?. 3 ? ? 设平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的大小为 θ2. |m· n| 则 cos θ2=|cos〈m,n〉|= |m||n| |0+2+0| 15 = = . 5 2 3 × 5 3

[10 分]

[14 分]

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答题模板
第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

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批阅笔记

(1)利用向量求角是高考的热点, 几乎每年必考, 主要是突出向量 的工具性作用. (2)本题易错点是学生在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和 坐标轴,导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时, 要注意根据角的概念和图形特 征进行转化,否则易错.

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方法与技巧
1.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算. (1)求两异面直线 a、b 的夹角 θ,须求出它们的方向向量 a,b 的夹角,则 cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ 可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角. 则 sin θ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角 α—l—β 的大小 θ,可先求出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角,则 θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉 . 2.求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的 平面的斜线段.

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失误与防范

1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因 为向量夹角与各空间角的定义、范围不同. 2.求点到平面的距离,有时利用等积法求解可能更方便.

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例 1.已知 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2. (1)求 PC 与平面 PBD 所成的角; (2)求点 D 到平面 PAC 的距离; (3)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 PC⊥平面 ADE?若 存在,确定 E 点的位置,若不存在,说明理由.

P

D A
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C
B

解: 如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2, 则D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2), (1)∵正方形ABCD,∴OC⊥DB. ∵PD⊥平面ABCD,OC?平面ABCD,
∴PD⊥OC. 又∵DB∩PD=D, ∴OC⊥平面PBD.
z

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.P ??? ? ??? ? ? PC ? (0,2, ?2), PO ? (1,1, ?2),
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? PO 3 ? ??? ? ? ? cos ? PC , PO ?? ??? . | PC || PO | 2
D

C
O

y

A

所以PC与平面PBD所成的角为300.
主页

x

B

? (2)设平面PAC的法向量为 n ? ( x , y , z ),
? ??? ? ? ?x ? z ? 0 ? n ? PA ? 0 ? ? ? ??? , 即? , ? ? ? n ? PC ? 0 ? y ? z ? 0

z
P

? 令 x=1, 则 y=1, z=1, n ? (1,1,1).

??? ? 又 DA ? (2,0,0),
? ??? ? | n ? DA | 2 2 3 ? ?d ? ? ? . 3 |n| 3

D A

C

y

x
2 3 . 3

B

所以D到平面PAC的距离
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(3) 假设在PB上存在E点,使PC⊥平面ADE,

??? ? ? PB ? (2, 2, ?2), ? PE ? (2? , 2? , ?2? ). ??? ? ??? ? ??? ? ? AE ? AP ? PE ? (2? ? 2,2? ,2 ? 2? ).

??? ? ??? ? 设 PE ? ? PB, ??? ?

z
P

??? ? ??? ? ??? ? DE ? DP ? PE ? (2? ,2? ,2 ? 2? ).

由 PC⊥AE, PC⊥DE, 得

D

E

C

y

B ??? ? ??? ? x PC ? DE ? 8? ? 4 ? 0, 解得 ? ? 1 , 此时E(1,1,1). 2 所以存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE. 【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.

??? ? ??? ? PC ? AE ? 8? ? 4 ? 0,

A

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例 2.

A

B C D

E

主页

解:(Ⅰ)

设平面ADE的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ),
?? ? ???? ? ? n1 ?DE ? 0, ? 则 ? ?? ? ???? ? ? n1 ?AD ? 0.
? ? x1 ? 0, ? ?1 2 y ? tz ? 0. x ? ? ?2 1 2 1 1

???? ???? ? DE ? (?1,0,0), AD ? ( 1 , 2 , ? t ). 2 ?? 2 ?

M

?? ? 2 令y1 ? 2, 则z1 ? , x1 ? 0, ? n1 ? (0, 2, 2 ). t t
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???? ? ??? ? 设 AM ? ? AB, ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? 则 CM ? CA ? AM ? CA ? ? AB, 1 ? 1 ? ,0, ?? t ? t ). 1 1 ? ( ? ? (? ,0, t ) ? ? (? ,0, ? t ) 2 2 2 2 ???? ???? ??? ? 1 ? 1 ? , 0, ? ? t ? t ) ? (0, 2 , 0) ? ( ? ? PM ? CM ? CP

???? 若 PM ∥平面ADE,则PM ? n, PM ?n ? 0.
即 ( ? 1 ? 1 ? , ? 2 , ? ? t ? t )?(0, 2, 2 ) ? 0, 2 2 4 t ? ? 2 ? 2( ? ? ? 1) ? 0, 解之,得? ? 1 . 2 2 , 所以
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2 2 4 ? ( ? 1 ? 1 ? , ? 2 , ? ? t ? t ). 2 ???? 2 ? 4 ???? ?

M

P

??? ? ??? ? ??? ? 2 1 ,0), BA ? ( ,0, t ), CE ? ( ?1, 2 ,0). (Ⅱ) 由(Ⅰ)得, BE ? (0, 2 2 2 ?? ?

?? ? ??? ? ? 2 ? ? n2 ?BE ? 0, ? ? 2 y2 ? 0, ? 则 ? ?? ? ??? ? ? 1 x2 ? tz2 ? 0. n ? BA ? 0. ? ? 2 ?2 ?? ? 1 令 x2 ? 2, 则z2 ? ? , y2 ? 0, ? n2 ? (2,0, ? 1). t t

设平面ABE的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ),

由CE与平面ABE所成角是45?,

| ?2 | , 解得 t ? 3 . 2 1 ? 1 4 ? ( 1 )2 2 t 4 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 3 ? ? 10 . 2 6 2 3 ? n1 ? (0, 2, ), n2 ? (2,0, ? ). ? cos n1 , n2 ? 10 3 3 4 20 3
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?? ? ??? ? ? sin 45? ?| cos ? n2 , CE ?|?

例 3.已知在四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB=1, ? ,将△ABD 沿对角线 BD 折起 ?BCD ? 45 , ?BAD ? 90° 到如图所示 PBD 的位置,使平面 PBD ? 平面BCD . ⑴求证: CD ? PB ; ⑵求二面角 P ? BC ? D 的余弦值大小; ⑶求点 D 到平面 PBC 的距离.

1 1
2 2

2
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例 3.已知在四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB=1, ? ,将△ABD 沿对角线 BD 折起 ?BCD ? 45 , ?BAD ? 90° 到如图所示 PBD 的位置,使平面 PBD ? 平面BCD . ⑴求证: CD ? PB ;

解:⑴ ??BAD ? 90 , AD ? AB,
?

1

??ADB ? ?ABD ? 45?. ? AD / / BC , ?BCD ? 45?, ??BDC ? 90° , 即 BD ? DC . 又 ? 平面PBD ? 平面BCD, CD ? 平面BCD, ? CD ? 平面PBD.

1

2

2

2

? PB ? 平面PBD, ? CD ? PB .
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⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小;

1 1
2 2

F ⑵过 P 作 PE ? BD于E, 由平面PBD ? 平面BCD得 PE ? 平面BCD, 过 E 作 EF ? BC 于 F ,连接 PF ,由三垂线定理可证 PF ? BC . ∴ ? PFE 为二面角 P ? BC ? D 的平面角.

2

E

? PB ? PD ? 1,
? PE ? 1 , EF ? 2 BE ? 1 , 在Rt△PEF中, ?PEF ? 90?. 2 2 2

PE 3 ? tan ?PFE ? ? 2, cos ?PFE ? , EF 3 3

所以二面角P-BC-D的余弦值大小是
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3

.

⑶求点D到平面PBC的距离.

1 1
2 2

2
⑶设 D 到平面 PBC 的距离为 h,由 PB ? 1 可求出 BD ? DC ? 2 , BC=2, PC ? 3 .? PB ? PD, PB ? CD, PD ? CD ? D,

? PB ? 平面PCD,

? PC ? 平面 PCD ? PB ? PC .
? 1 ? 1 ? PB ? PD ? DC ? 1 ? 1 ? PB ? PC ? h, 3 2 3 2
? PD ? DC ? PC ? h, ? h ? PD ? DC 6 ? . PC 3

?VC ? PBD ? VD? PBC ,

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(1) 求证 : CD ? PB.
解: ??BAD ? 90 ,AD ? AB, ??ADB ? ?ABD ? 45?.? AD / / BC ,??BCD ? 45?. ??BDC ? 90° ? BD ? DC ,如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz .
?

D(0, 0, 0), B( 2 , 0, 0), C (0, 2 , 0), P( 2 , 0, 2 ). 2 2 ??? ? ??? ? (1) CD ? (0,? 2, 0),PB ? ( 2 , 0,? 2 ), 2 2

??? ? ??? ? ?CD ? PB ? 0,

??? ? ??? ? ?CD ? PB,?CD ? PB.

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⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小; ? 取平面 BDC 的法向量 n ? (0, 0, 1), ?? 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
??? ? ? 2 2 ??? 2 2 ? PB ? ( , 0, ? ), PC ? ( ? , 2, ? ), 2 2 2 2 ?? ??? ? ? ?x ? z ? 0 ? m ? PB ? 0 ? ? ?? ??? ,即 ? , ? ?x ? 2y ? z ? 0 ? ? m ? PC ? 0

?? 令x ? z ? 1, ? y ? 1, ? m ? (1 , 1 , 1). ? ?? ? ? n? m ? ?? ? 1 ? 3 . ? cos ? m, n ?? 3 | n || m | 1 ? 3
因为二面角P-BC-D的大小是锐角,

所以二面角P-BC-D的余弦值是
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3 . 3

⑶求点D到平面PBC的距离.
?? 因为平面 PBC 的法向量为 m ? (1 , 1 , 1), ??? ? DB ? ( 2, 0, 0),
??? ? ?? | DB ? m | ?? d? ? |m| 2 6 ? . 3 3

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例 4. 图 1,直角梯形 ABCD 中, AD / / BC, ?ABC ? 90? ,

E , F 分别为边 AD 和 BC 上的点,且 EF / / AB , AD ? 2 AE ? 2 AB ? 4 FC ? 4 . 将四边形 EFCD 沿 EF 折起成 如图 2 的位置,使 AD ? AE . (Ⅰ)求证: BC // 平面 DAE ; (Ⅱ)求四棱锥 D ? AEFB 的体积; (Ⅲ)求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值.
B F A E F D

C
B A E

C
D

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(Ⅰ)证:?CF // DE, FB // AE, BF ? CF ? F , AE ? DE ? E ,

?面 CBF // 面 DAE .
又 BC ? 面 CBF , 所以 BC // 平面 DAE .
D

C
B F A E

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(Ⅱ)取 AE 的中点 H ,连接 DH ,

? EF ? ED, EF ? EA, ? EF ? 平面 DAE .
又 DH ? 平面 DAE ? EF ? DH .
D

? AE ? ED ? DA ? 2,
? DH ? AE , DH ? 3.
F

C
B H E A

? DH ? 面 AEFB .
所以四棱锥 D ? AEFB 的体积 V ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 4 3 .
3 3
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(Ⅲ)如图以 AE 中点为原点, AE 为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(?1, 0, 0) , D(0,0, 3) , B(?1, ?2, 0) , E (1, 0, 0) ,

??? ? ??? ? 3 ). 1 1 ? C ( , ? 2, ? FC ? ED, 2 2 ??? ? ?? ??? ? 2 易知 BA 是平面 ADE 的一个法向量, BA ? n1 ? (0,2,0) . ? C 设平面 BCD 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) , B
? ??? ? ? ?? 3 3 3 z ? 0, 3 ? n2 ? BC ? ( x, y, z ) ? ( ,0, ) ? x ? 2 2 2 2 由? F ?? ? ??? ? ? n ? BD ? ( x, y, z ) ? (1,2, 3) ? x ? 2 y ? 3z ? 0.. . ? 2 ?? ? 令 x ? 2, 则 y ? 2 , z ? ?2 3 ,?n2 ? (2,2, ?2 3) . ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? 0 5 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? . ? ? 5 2? 2 5 n1 n2

z
D

A

H y

x

E

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【补偿】 如图,等腰梯形 ABCD 满足 AB / /CD ,AB=3,CD=1,
? A =45°, DM ? AB ,现将△ADM 沿 DM 折叠,使二面

角 A-DM-B 为直二面角. (1)证明:平面 ADM ? 平面 ADC; (2)求直线 CM 与 AB 所成角的余弦值; (3)若 AB 的中点为N,
A M
A

D 求二面角 M ? CN ? B 的余弦值.
C

?
D C

M

N

B

B

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解:如图:以点 M 为坐标原点,以 MD, MB, MA 为 x, y, z 轴 建立坐标系,则相关点坐标如下,
M (0,0,0) , A(0, 0,1) , B(0, 2, 0) , C (1,1, 0) D(1, 0, 0) , N (0,1,0.5) . ???? ???? ? ??? ? (1) 证明:? DC ? (0,1,0) , MD ? (1,0,0) , MA ? (0,0,1) . ???? ???? ? ???? ???? z ? DC ? MD ? 0 , DC ? MA ? 0 . A ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ???? , DC ? MA . ? D C? M D

又? DM ? DA ? D ,

DM , DA ? 面ADM ,

x

D C

M

N

? CD ? 面ADM .
又? CD ? 面ACD ,

B

? 面 ADM ? 面 ADC .

y

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???? ? ??? ? (2)? MC ? (1,1,0) , AB ? (0, 2, ?1) ,
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? | MC ? AB | 10 ? ??? ? ? , ? | cos ? MC, AB ?|? ???? 5 | MC | ? | AB |
10 . ? CM 与 AB 所成角的余弦值为 5

z
A

x

D C

M

N

B

y
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?? (3)设平面 MCN 的法向量 n1 ? ( x1, y1, z1 ) ,平面 BCN 的法 ?? ? 向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )
???? ? ???? ? ??? ? ???? 1 而 MC ? (1,1,0), MN ? (0,1, ) , BC ? (1, ?1,0), BN ? (0, ?1, 1 ) 2 2 z ???? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? MC ? n1 ? 0 ? ? BC ? n2 ? 0 A 根据 ? ???? , , ? ?? ? ? ???? ?? ? ? MN ? n1 ? 0 ? ? BN ? n2 ? 0

? x1 ? y1 ? 0 ? x2 ? y2 ? 0 x ? ? 得? ,? 1 1 y1 ? z1 ? 0 ?? y2 ? z2 ? 0 ? ? 2 ? 2
主页

D C

M

N

B

y

?? ?? ? 从而解得 n1 ? (1, ?1, 2) , n2 ? (1,1,2)
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? | n1 ? n2 | 4 2 ? ?? ? ? ? | cos ? n1 , n2 ?|? ?? ? , | n1 | ? | n2 | 6? 6 3
2 故所求的二面角的余弦值为 ? . 3
D C B

z
A

x

M

N

y
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例 5. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明:(1)连结AC1交A1C于E,连结DE. ∵AA1C1C为矩形,则E为AC1的中点. 又D是AB的中点,

∴在△ABC1中,DE∥BC1. 又DE?平面CA1D, BC1?平面CA1D, ∴BC1∥平面CA1D.
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E

例 5. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B.

(1)证法二:

E

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例 5. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. A1 C1 (1)证法三:

D1

B1

A D
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C B

证明:(2)∵AC=BC, D为AB的中点,
∴在△ABC中,AB⊥CD.

又AA1⊥平面ABC,
CD?平面ABC, ∴AA1⊥CD. 又AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD?平面CA1D,

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
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【例】如右图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所 在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F , 使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.

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解:如右图(1)取AD的中点G,连结PG,BG,BD.
∵△PAD为等边三角形,∴PG⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中,∠DAB=60°, AD=AB, ∴△ABD为等边三角形, ∴BG⊥AD. ∴AD⊥平面PBG.
G

又PB?平面PBG,
∴AD⊥PB.
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(2)连结CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,连结DF. ∵ PG⊥平面ABCD. ∴FH⊥平面ABCD.

又 FH ?平面DHF,
∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点, ∴F是PC的中点. 即F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.

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【例】已知 ABCD 是正方形, PD⊥平面 ABCD , PD=AD=2. (1)求 PC 与平面 PBD 所成的角; (2)求点 D 到平面 PAC 的距离; (3)在线段 PB 上是否存在一点 E, 使 PC⊥平面 ADE? 若存在,确定 E 点的位置,若不存在,说明理由.
P

D A
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C
B

解: 如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2, 则D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2), (1)∵正方形ABCD,∴OC⊥DB. ∵PD⊥平面ABCD,OC?平面ABCD,
∴PD⊥OC. 又∵DB∩PD=D, ∴OC⊥平面PBD.
z

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.P ??? ? ??? ? ? PC ? (0,2, ?2), PO ? (1,1, ?2),
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? PO 3 ? ??? ? ? ? cos ? PC , PO ?? ??? . | PC || PO | 2
D

C
O

y

A

所以PC与平面PBD所成的角为300.
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x

B

? (2)设平面PAC的法向量为 n ? ( x , y , z ),
? ??? ? ? ?x ? z ? 0 ? n ? PA ? 0 ? ? ? ??? , 即? , ? ? ? n ? PC ? 0 ? y ? z ? 0

z
P

? 令 x=1, 则 y=1, z=1, n ? (1,1,1).

??? ? 又 DA ? (2,0,0),
? ??? ? | n ? DA | 2 2 3 ? ?d ? ? ? . 3 |n| 3
A

D

C

y

x
2 3 . 3

B

所以 D 到平面PAC的距离 注:可用等体积法
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(3) 假设在PB上存在E点,使PC⊥平面ADE,

??? ? ? PB ? (2, 2, ?2), ? PE ? (2? , 2? , ?2? ). ??? ? ??? ? ??? ? ? AE ? AP ? PE ? (2? ? 2,2? ,2 ? 2? ).

??? ? ??? ? 设 PE ? ? PB, ??? ?

z
P

??? ? ??? ? ??? ? DE ? DP ? PE ? (2? ,2? ,2 ? 2? ).

由 PC⊥AE, PC⊥DE, 得

D

E

C

y

B ??? ? ??? ? x PC ? DE ? 8? ? 4 ? 0, 解得 ? ? 1 , 此时E(1,1,1). 2 所以存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE. 【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.

??? ? ??? ? PC ? AE ? 8? ? 4 ? 0,

A

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例6.

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又AB ? 平面BB1C1C,

? AB ? B1C,
? B1C ? 平面ABC1 P .

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主页

例 7.

主页

主页

主页

主页

例8.

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? S四边形ACFE ? 9 6 ? 6 x 2 , 12

V ?( x ) ? 0,

主页

? MB ? 2BE ? 12,

M

( 42)2 ? ( 42)2 ? (6 2)2 1 ? . ? 7 2 42 ? 42

1. 7
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例 9.(09 安徽)如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行, E 和 F 是 l 上的两个不同点, 且 EA=ED, FB=FC, E ? 和 F ? 是平面 ABCD 内的两点,EE ? 和 FF ? 都与 平面 ABCD 垂直. (1)证明:直线 E ?F ? 垂直且平分线段 AD; (2)若∠EAD=∠EAB ? 60? ,EF ? 2,求多面 E 体 ABCDEF 的体积.

F C

D

E?
A
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B

F?

E D C

F

E?
A

B

F?

主页

E D
M

F C

E?
A

B

F?

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例 10. 如 图 所 示 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中 点.?1?求证:EF∥平面 ACD1; ?2?求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值; ?3? 在 棱 BB1 上 是 否 存 在 一 点 P , 使 得 二 面 角 P—AC—B 的大小为 30° ?若存在,求出 BP 的长, 若不存在,请说明理由.

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?1 1 ? 证明 如图所示,分别以 DA 、 DC 、 DD 所在的直线 ? 证明 DA 、 DC 、 DD 所在的直线 11 1 ? 1 ?证明 如图所示,分别以 如图所示,分别以 DA 、 DC 、 DD 所在的直线 ?? 1 ?证明 如图所示,分别以 、 DC 、 DD 所在的直线 1 为 xx 轴、 yy 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 轴建立空间直角坐标系 D — xyz , 为 x 轴、 y 轴、 z — xyz , 为 x轴、 轴、 y轴、 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 轴建立空间直角坐标系D D — xyz , 为 z D — xyz , 由已知得 DD ? 0 , 0, , 0? ? , AA ?2 2 , 0, , 00 ? , B ?2 2 , 2 , 0 ? , 由已知得 D ? 0 , 0 0 , A ? 0 0 ? , B ? , 2 , 0 , 由已知得 D 0, , 0, , 0 ?, , ? 2 0 ? , B ? 2 , 2 , 0? 由已知得 ?? 0 0 0 ? A ?, 2, , 0, , 0 ? , B ? 2 , 2 , 0 ?, CC ?0 0 , 2, , 0? ? , B ?1 2 , 2, , 2? ? , D ?1 0 , 0 , 2 ? , E ? 1 , 0 , 2 ? , C ? 2 0 , ,,B ? 2 , 2 2 , D 0 , 0 , 2 ? , E ? 1 , 0 , 2 ? , C ?0 , , 0 , B 2, , 2, , 2 ?, , D ? 0 , 0 , 2 ? , E ? 1 , 0 , 1 1? 1 1 1 ?, 0 , 22 , 0 ?? , ,, B ?? 2 2 2 ? D ? 0 , 0 , 2 ? , E ? 1 , 0 , 2 ?, 1 FF ?0 0 , 2, , 1? ? F ?0 , , 1 F ? 2 1 .. ?, 0 , 22 , 1 ?? ..
???? ???? ??? ???? ? ???? DB DB DB 易知平面 ACD 的一个法向量是 = ? 2 , 2 , 2 易知平面 ACD 的一个法向量是 = ?2 2 , 2 , 2 ?.. 11 易知平面 ACD 的一个法向量是 = ? , 2 , 2 ? 1 1 1 1 易知平面 ACD1 的一个法向量是 DB 1 =?2,2,2?.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF 又∵ = - 1, , 2,- ,- 1 ? EF 又∵ = ?- - 1, , 2,- ,- 1? ? , EF 又∵ = ? 1 2 1 , 又∵ EF = ??- 1 2 1 ?, ,

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? DB ? EF ∴ 2+ 4- 2= 0 , DB ? 1 =- DB EF ∴ =- 2 + 4 - 2 = 0 , 1 =- ∴ 2 + 4 - 2 = 0 , 1 DB ? EF ∴ ??? 1 =-2+4-2=0, ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ⊥???? ?1 ,而 EF?平面 ACD , DB EF ∴ DB 1 DB EF ∴ ⊥ , 而 EF ? 平面 ACD , 1, ∴ ⊥ 而 EF ? 平面 ACD , 1 DB 1 1 EF ∴ ⊥ 1 ,而 EF?平面 ACD1,
∴ EF ∥ 平面 ACD 1. ∴ EF ∥ 平面 ACD . ∴ EF ∥ 平面 ACD . 1 . 1 ∴EF∥平面 ACD 1
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?2?解

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ? AB 4 6 ? cos ? EF , AB ?? ??? ? ? ??? ? ? 3 ?? EF ? AB 2 6

??? ? ∵ AB =?0,2,0?,

? 3 ?? 解: 设点 P ? 2 , 2 , t?t ?0< ?? 0< tt ≤ 2 ?? , ? 3 解: 设点 P ? 2 , 2 , ? 0< ≤ 2 , ? 3 ? 解: 设点 P ? 2 , 2 , t ? t ≤ 2 ? , ?? 3 ? 解 设点 P ? 2 , 2 , t ? ? 0< t ≤ 2 ? ? 3?解: 设点 ???? 0< t? ≤2?, , ??? ?? P?2,2,t???? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC AP ∵ = ? 0 , 2 , tt ?? , = ?? - 2 , 2 , 0 ?? , AC AP AC ∵ = ? 0 , 2 , , = - 2 , 2 , 0 , AP ∵ = ? 0 , 2 , t ? , = ? - 2 , 2 , 0 ? , AC AC AP ∵ = , 22 , t?t, - 2, , 0 ?, ∵ =??0 0 , , ?, = ?= ?- 22 , 2 , 0 ?, 平面 ACP 的一个法向量为 n = ? x , yy , zz ? , 平面 ACP 的一个法向量为 n = ? x , , ? , 平面 ACP 的一个法向量为 n = ? x , y , z ? , 平面 ACP 的一个法向量为 n = ? x , y , z ? , ????
? ???? n ? ?AC ? 0, - ? xx + ? yy = 0, ? ? ? ???? n AC ? 0, - ? + ? = 0, ? ? ? n ? AC ? 0, - ? x + ? y = 0, ? ? ? n ? AC ? 0, ??? ?? ?x + ?y? = 0, 0, ?? ?- ?n ? ??? ? 0, ? ? ? AC ? ??? ? - ? x + y = ? 则 ? ? 则 ??? ? ? yy + tz = 0. n ? ?AP ? 0. ? 则 ? ? ? + tz = 0. ? n AP ? 0. ? ? ? y + tz = 0. ? ??? ? n ? AP ? 0. 则 ? ? ? ? ? ? +tz=0. n ? AP ? 0. ? 则? ? ?y ?n ? ? AP ? 0. ? y+tz=0. ? 22 22 取 yy = 1 ,则 x = 1 , zz =- , 取 = 1 ,则 x = 1 , =- , t 取 y = 1 ,则 x = 1 , z =- , 2 t t 取 y=1,则 x=1,z=- t ,

平面 ???? ACP ???? 的一个法向量为 n=?x,y,z? ,

? t ). ∴ n = (1 , 1 , ? 2 ∴ n = (1 , 1 , ). ∴ n = (1 , 1 , ). ? t t ∴n= (1,1, t 2 ). ∴n= (1,1, ? t ).

取 y=1,则 x= 1, 2 z=- t , ?2 2
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???? 易知平面 ABC 的一个法向量 BB? =?0,0,2?, ???? ???? 依题意知,〈 BB? ,n〉=30° 或〈 BB? ,n〉=150° ,

???? ? ? cos 〈BB1,n 〉?

? (2 ? 4 ), 即4 ? 2 4 t4 t 24 ? 6 6 (2 ? 2 ), 6 4 即 t2 ? 46 解得 t= 3 或 t=- 3 ??舍去?. t ), t 2 解得 t= 3 或 t=- 3 ??舍去?.
6 P,当 BP 的长为 ∴在棱 BB1 上存在一点 3

3 ? . 2 4 2? 2 ? 2 t

?4 t

B1 上存在一点 P,当 BP 的长为

时,

6 3 时,

二面角 P— AC . —B 的大小为 30° . —B 的大小为 30°
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例11. 在三棱锥P ? ABC中,AB ? BC ,PA ? PB ? PC ? 2 AB ? 2a (1)若BC ? AB,求异面直线AB与PC所成角的大小; (2)设BC ? x,问x取何值时,此三棱锥的体积最大,

并求出此最大体积. (1)解:作PO ? 平面ABC于O,

z

P
A o y C

? PA ? PB ? PC ,

? O为△ABC外心.
又AB ? BC且AB ? BC ,

? O为AC中点.

连OB,以O为坐标原点 , OB、OC、OP分别为
x轴、y轴、z轴正向建立空间直角坐标系.
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x

B

则A(0, ? 2 a, 0) , B( 2 a ,0,0), P (0,0, 2 2 ??? ? ??? ? 2 2 ? AB ? ( a, a, 0 ), PC ? (0, 2 a, ? 2 2 2

14 a ), C (0, 2 a, 0 ). 2 2
14 a ). 2

z

??? ? ??? ? 设 AB与PC 的夹角为θ,
??? ? ??? ? | AB ? PC | ? ??? ? ? 1. 则cos? ? ??? | AB | ? | PC | 4

P

A
x B

o C

y

? 异面直线AB与PC所成角的余弦值为 1 . 4

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(2) AC ? x 2 ? a 2 ,
PO ? PA ? 1 AC 2
2

?

?

2

2 2 x ? a ? 4a ? ? 1 15a 2 ? x 2 , 4 2 2

VP ? ABC ? 1 S?ABC ? PO ? 1 ? 1 15a 2 ? x 2 ? ax ? a x 2 (15a 2 ? x 2 ) 3 3 2 2 12
2 2 2 a x ? 15 a ? x ≤ ? ? 5 a3 . 12 2 8

z

P

当且仅当 x2 ? 15a 2 ? x 2时,
30 即x ? a时,V最大 ? 5 a 3 . 2 8
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A
B

o C
x

y

18.

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? S四边形ACFE ? 9 6 ? 6 x 2 , 12

V ?( x ) ? 0,

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? MB ? 2BE ? 12,

M

( 42)2 ? ( 42)2 ? (6 2)2 1 ? . ? 7 2 42 ? 42

1. 7
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【 01 】 在 正 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , E,F 分 别 是

C1D1 , C1B1 的中点, G 为 CC1 上任一点, EC 与底面 ABCD 所成角的 要求:本题三问全部用坐标法. 正切值是 4. (Ⅰ)求证 AG ? EF;提示:设正方形ABCD的边长为2a.
(Ⅱ)确定点 G 的位置,使 AG ? 面 CEF,并说明理由; (Ⅲ)求二面角 F ? CE ? C1 的余弦值 .

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解:∵ ABCD ? A 是正四棱柱 1B 1C1D 1

∴ABCD 是正方形,设其边长为 2a,?ECD 是 EC 与底面所成的角。而 ?ECD= ?CEC 1, ∴CC1=4EC1=4a.…………1 分 以 A 为原点,AB、AD 、AA1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所 示的直角坐标系. 则 A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a), D1(0,2a,4a), E(a,2a,4a),F(2a,a,4a), 设 G(2a,2a,b)(0<b<4a). ???3 分 ???? ??? ? (Ⅰ) AG =( 2a,2a,b), EF ? (a, ?a,0) ,

???? ??? ? AG?EF ? 2a2 ? 2a2 ? 0 ? 0 ,
∴AG ? EF.
????? 4 分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知,使 AG ? 面 CEF,只需 AG ? CE,

???? ??? ? 只需 AG? CE ? (2a, 2a, b)? (?a,0, 4a) ? ?2a2 ? 4ab ? 0 ,
∴b ? 1 a.

2

即 CG ? 1 CC1 时,AG ? 面 CEF. ?? 8 分

8

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???? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 G (2a, 2a, a) 时, AG 是平面 CEF 的一个法向量, 2 ???? 由题意可得, AD 是平面 CEC1 的一个法向量,
设二面角 F ? CE ? C1 的大小为?,

???? ???? AG?AD ? cos ? ? ???? ???? | AG || AD |

(2a, 2a, 1 a)? (0, 2a, 0) 4 33 2 ? ? . 33 4a 2 ? 4a 2 ? 1 a 2 ? 4a 2 4
4 33 二面角 F ? CE ? C1 的余弦值为 . 33
??????????12 分

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19.解: (1)由于 PC⊥平面 ABC,

AB ? 平面ABC, 所以AB ? PC,
由于点 C 在平面 PBA 内的射影在直线 PB 上, 所以 CD⊥平面 PAB. 又因为 AB ? 平面PBA, 所以AB ? CD. 因此 AB⊥平面 PCB. ????3 分

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(2)因为 PC⊥平面 ABC, 所以 ?PAC 为直线 PA 与平面 ABC 所成的角, 于是 ?PAC ? 45? ,设 AB=BC=1, 则 PC=AC= 2 . 以 B 为原点建立如图所示空间直角坐标系, 则B (0, 0, 0) , A (0, 1, 0) , C (1, 0, 0) , P(1,0, 2 ) , AP ? (1,?1, 2 ), BC ? (1,0,0), BA ? (0,1,0) . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AP ? BC | 1 ? ??? ? ? , 因为 | cos ? AP, BC ?|? ??? | AP | ? | BC | 2 所以异面直线 AP 与 BC 所成的角为 60 ? .
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?

??? ? (3)取 AC 的中点 E,连结 BE,则 BE ? ( 1 , 1 ,0). 2 2 因为 AB=BC,所以 BE⊥AC. 又因为平面 PCA⊥平面 ABC, 所以 BE⊥平面 PAC. 因此, BE 是平面 PAC 的一个法向量. 设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

? ?n ? BA, ? y ? 0, 则由 ? 得? ? ?n ? AP, ? x ? y ? 2 z ? 0
? y ? 0, 取 z=1,得 ? ?x ? ? 2
]

因此, n ? (? 2 ,0,1) .
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2 ??? ? ? ??? ? 2 ?? 3. ??? ? ? 于是 cos ? n, BE ?? n ? BE 3 | n | ? | BE | 2? 3 2 又因为二面角 C—PA—B 为锐角.

3 故所求二面角的余弦值为 . ??12 分 3

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1. 如图所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、 F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是
45°

?
z

???? DC ? (0,1,0), ???? ???? 2 cos ? EF , DC ?? ? 2 ??? ? ???? x ? EF , DC ?? 135?
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??? ? EF ? (0, ? 1 , ? 1 ), 2 2

y

4.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A1BD 的距离是
2 3 3

?

z

? ????? | n ? D1 A1 | 2 3 ?? ? d? ? . 3 |n|

????? D1 A1 ? (2,0,0), ? n ? (1, ?1, ?1),

y x
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4.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 2 3 D1 到平面 A1BD 的距离是 ? 3

VD1 ? A1BD ? VB? A1D1D
1 ? 3 ? (2 2 )2 ? d ? 1 ? 22 ? 2 3 4 3 2

2 3 ?d ? . 3
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6.?2010· 三门峡联考?P 是二面角 α—AB—β 棱 上的一点,分别在 α、β 平面上引射线 PM、PN, 如果∠BPM=∠BPN=45° ,∠MPN= 60° ,那么 二面角 α—AB—β 的大小为 90? .
设 PM ? PN ? 2a
2a

?

2a

a O

a
2a

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PM ? 2a, PN ? 2b,

M

则 PE ? a, PF ? b,

?
P

F

B E N

?

???? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? EM ? FN ? ( PM ? PE ) ? ( PN ? PF ) ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PM ? PN ? PM ? PF ? PE ? PN ? PE ? PF

A

? 2a ? 2b cos 60? ? 2a ? b cos45?

?a ? 2b cos45? ? a ? b cos 0?

? 0.
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6.?2010· 三门峡联考?P 是二面角 α—AB—β 棱 上的一点,分别在 α、β 平面上引射线 PM、PN, 如果∠BPM=∠BPN=45° ,∠MPN= 60° ,那么 二面角 α—AB—β 的大小为 90? .

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【2】(09· 浙江)如下图,在长方形ABCD中, AB=2 ,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一 动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC. 在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t, 1 ? t ?1 则t的取值范围是__________. 2

M K

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解:过 K 作 KM⊥AF 于 M 点,连结 DM,易得 DM⊥AF. 由折前的图形中 D、M、K 三点共线且 DK⊥AF, AK AD t 1 于是△DAK∽△FDA,∴AD=DF,又 =DF, 1 1 ∴t=DF.又 DF∈(1,2). 1 ∴t∈( ,1). 2

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此题的破解关键可采用二个极端位置法,即对 于F位于DC的中点时,t=1,随着F点到C点时 ,因CB⊥AB,CB⊥DK,所以CB⊥平面ADB,即 有CB⊥BD,对于CD=2,BC=1,所以BD=3,又 AD=1,AB=2,因此有AD⊥BD,则有t=0.5,因 此t的取值范围是(0.5, 1).
此题通过折叠问题,主要考查立体几何的 线面、面面垂直的位置关系,考查解决动点问 题的极端化原理 主页

【3】下列五个正方体图形中, l 是正方体 的一条对角线,点M, N, P分别为其所在棱的 中点,能得到 l ⊥ 平面 MNP 的图形的序号是 ①④⑤ __________.
A1 M

D1
N D

P

C1

D1 A1 B1 N

C1

B1

C

M A

D

A



B
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P B

C

D1 A1

P B1

C1

D1 A1 B1

C1

N M
M D C A B N D1

D P A C B


A1

C1 B1 N



P

D M A B C


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【15】如图:直三棱柱ABC─A1B1C1的体积为V, 点P、Q分别在侧棱 AA1和CC1上, PA=QC1,则四 棱锥B─APQC的体积为( ) C
A. V 6 B. V 4 C. V 3
A1 P

D. V 2
B1

C1

VB? APQC ? VB? A PQC
1

1

又 ?VB? A1B1C1 ? 1 V , 3

?VB ? APQC ? 1 V . 3
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Q
A B C


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