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2018届高考数学一轮复习 附加题部分 第3章 选修4-1 第69课 相似三角形的判定与有关性质

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第四章 选修 4-1 第 69 课 [最新考纲] 内容 几何证明选讲 几何证明选讲 相似三角形的判定与有关性质 要求 A B √ √ C 相似三角形的判定与性质定理 射影定理 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行 线相交的)直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰. 推论 2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边. 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段成比例. 3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理: 内容 1 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 (2)性质定理:相似三角形的对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比 的平方. 4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积, 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其他直线上截得的线段 也相等.( ) ) (2)两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两个三角形相似.( (3)三角形相似不具有传递性.( ) ) (4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质.( [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2. (教材改编)如图 691, D 是△ABC 中 BC 边上一点, 点 E, F 分别是△ABD, AM △ACD 的重心,EF 与 AD 交于点 M,则DM=________. 图 691 2 [连结 AE,AF,并延长交 BC 于 G,H. 因为点 E,F 分别是△ABD,△ACD 的重心, AE AF 所以EG=FH=2, AM 所以 EF∥GH,所以DM=2.] 2 3.(教材改编)如图 692 所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB △CDF的面积 =2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 =________. △AEF的面积 图 692 9 [因为 ABCD 是平行四边形,所以 AB∥DC,且 AB=DC,于是△CDF∽ CD AB △AEF,且 AE =AE=3. 因此 △CDF的面积 ?CD?2 =? ? =9.] △AEF的面积 ? AE ? 4.如图 693,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AD 是斜边 BC 上的高,若 AB =10,AC=5,则 AD=________. 图 693 2 5 [由 AC=5,AB=10,得 BC=5 5. ∵∠BAC=90° ,AD⊥BC, ∴AC2=BC· CD,则 CD= 5,从而 BD=BC-CD=4 5. 又 AD2=BD· CD=20,故 AD=2 5.] 5.(2015· 广东高考)如图 694,AB 为圆 O 的直径,E 为 AB 延长线上一点, 过 E 作圆 O 的切线,切点为 C,过 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D.若 AB=4, CE=2 3,则 AD=________. 3 图 694 3 [由 CE2=BE· AE 得(2 3)2=BE· (4+BE),解得 BE=2.连结 OC(图略),

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