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2011年温州市高一数学竞赛试题及解答

时间:2011-07-07


2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将其中的一个数据 150 输入为 15,那么由 此求出的平均值与实际平均值的差是( ▲ B) A. 2.7 B. ? 2.7 C.3 D. ?0.3 解 : 求出的平均值 ? 实际平均值 = 15 ? 1

50) 50 = ?2.7 , 选 B . ( ÷ 错误 2.设集合 A = {x | log 1 ( x + 1) > ?2} , B = {x | 2 x ? x < 1} ,则 A I B 等于( ▲A )
2

2

A . {x | x < 0, 或1 < x < 3}
C . {x | ?1 < x < 0, 或1 < x < 3}

B . {x | x > 3} D . {x | 0 < x < 1}

解: 可得 A = {x | ?1 < x < 3} , = {x | x < 0, 或x > 1} , B 所以 A I B = {x | ?1 < x < 0, 或1 < x < 3} , 选 C.
3.已知 sin α = sin β ,则 α 与 β 的关系是( ▲ D) A. α = β 或 α = π ? β C. α = (2k + 1)π ? β , k ∈ Z B. α = 2 k π + β , k ∈ Z D. α = kπ + (?1) k β , k ∈ Z

解 :由于 sin α = sin β , α 与 β 的终边位置相同或关于 y 轴对称 , 所以 α = 2kπ + β , k ∈ Z 或

α = (2k + 1)π ? β , k ∈ Z ,合并得 α = kπ + (?1) k β , k ∈ Z .选 D.
? π? 4.下列函数中在区间 ?0, ? 上单调递增的是( ▲ ) ? 4?

? ? π ? 1? A. y = log 2 ?sin ? x ? ? ? ? 6 ? 2? ? ?

? ? π ? 1? B . y = log 2 ?sin ? 2 x + ? + ? 6 ? 2? ? ?
?π ? D. y = sin 3 ? ? x ? 6 ? ?

π? 1 ? C . y = sin ? 2 x ? ? + 6? 2 ?

? π? 解:将选择支中各函数用区间 ?0, ? 逐一检验知,只有 C 中函数满足要求.选 C . ? 4? 5.若 ( sin 50° ) ? ( tan 50° ) ≤ ( sin 50° )
x x ?y

? ( tan 50° ) 则( ▲ )
?y

A. x + y ≥ 0

B. x ? y ≥ 0

C. x + y ≤ 0

D. x ? y ≤ 0
t t

解:因为 0 < sin 50° < 1 , tan 50° > 1 ,可知函数 f (t ) = ( sin 50° ) ? ( tan 50° ) 单调递减,已
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知不等式即 f ( x) ≤ f (? y ) ,所以 x ≥ ? y ,选 A. 6.函数 f ( x) = ln | x ? 1| ? x + 3 的零点个数为( ▲ ) A. 0
B. 1 C. 2 D. 3
y
3 2

解: f ( x) = 0 ? ln | x ? 1|= x ? 3 ,所以 f ( x) 的零点 个数即函数 y = ln | x ? 1| 与函数 y = x ? 3 的交 点的个数,作图可知有 3 个交点,选 D . uuu r uuu r 7. O 为坐标原点, 记 已知向量 OA = (3, 2) , = (0, ?2) , OB
uuur 5 又有点 C ,满足 AC = ,则 ∠ABC 的取值范围为 2
-4 -2

1

O
-1

2

4

6

x

-2

-3

-4

( ▲ )
? π? A. ?0, ? ? 6? ? π? B . ?0, ? ? 3? ? π? C . ?0, ? ? 2? ?π π ? D. ? , ? ?6 3?

uuur 5 5 解:Q AC = ,点 C 在以点 A 为圆心, 为半 2 2 uuu r 径的圆周上. 可得 AB = 5 , 如图可知, 当

y



C

A

线 BC 与圆周相切时, ∠ABC 有最大值为

π
6

O

C

x

,当 A,B,C 三点共线时 ∠ABC 有最小值为0,所以
B

? π? ∠ABC 的取值范围为 ?0, ? .选 A. ? 6? uuur uuu r uuu r 8.已知 k ∈ Z , AC = (2, 2) , AB = (k , 2) , AB ≤ 5 ,则 ?ABC 是直角三角形的概率是( ▲ ) A. 1 9 B. 2 9 C. 1 8 D. 1 4

uuu r 解 : 由 AB ≤ 5 与 ABC 构 成 三 角 形 及 k ∈ Z 知 k ∈ {?4, ?3, ?2, ?1, 0,1,3, 4} , 可 得 uuu r uuur uuu r uuur uuu r BC = (2 ? k , 0) . AC 与 AB 垂直,则 k = ?2 ;若 AC 与 BC 垂直,则 k = 2 (舍去) ; uuu r uuu r 若 BC 与 AB 垂直 k = 0 ,或 k = 2 (舍去) ;综上知,满足要求的 k 有2个,所求概

率为

1 .故选 D. 4
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9.设 S = x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x + 1 ,其中 x ∈ R, y ∈ R ,则 S 的最小值为( ▲ )
A. 1 B . ?1 C. ?
3 4
2

D. 0

解 1: x 2 + (2 y + 2) x + (2 y 2 + 1 ? S ) = 0 ,由 ? = ( 2 y + 2 ) ? 4 ( 2 y 2 + 1 ? S ) ≥ 0 得 S ≥ y 2 ? 2 y = ( y ? 1) ? 1 ≥ ?1 .当且仅当 y = 1, x = ?2 时, Smin = ?1 .选 B .
2

解 2 : S = x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2( y + 1) x + ( y + 1) 2 + y 2 ? 2 y
= ( x + y + 1) + ( y ? 1) ? 1 ≥ ?1 .
2 2

uuu uuu r r 10.点 Q 在 x 轴上,若存在过 Q 的直线交函数 y = 2 x 的图象于 A, B 两点,满足 QA = AB ,则

当且仅当 y = 1, x = ?2 时, Smin = ?1 .选 B .

称点 Q 为“Ω点” 那么下列结论中正确的是 ( ▲ ) ,
A . x 轴上仅有有限个点是“Ω点” ; B . x 轴上所有的点都是“Ω点” ;

; C . x 轴上所有的点都不是“Ω点”
D . x 轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“Ω点” . uuu uuu r r x1 x2 解 1:设 Q a,) A x1, , B x2, ,因为 QA = AB ,所以 x2 = 2 x1 ? a , 2 x2 = 2 × 2 x1 , ( 0 , 2 2

(

)

(

)

得 x1 = a + 1, x2 = a + 2 . 即对于 x 轴上任意 Q a,) 总有 (a + 1 2a +1) (a + 2,a + 2 ) ( 0 点, A , , B 2 满足题设要求,故选 B . 解 2: (动态想象) 任取 x 轴上 Q 点, : 将直线 l 由 x 轴位置开始绕 Q 点逆时针旋转

π
2

,l 与

函数 y = 2 x 的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点 A, B (由下至 上)直到最后只交于一个点.当交于两个点时,在 | QA | ? | AB | 由正到负的过程中必 uuu uuu r r 将经历零点. | QA | ? | AB |= 0 时, 当 即有 QA = AB , 所以 x 轴 上所有的点都是“Ω点” . 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.
11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是
开 始

S = 0, i = 1






解: 同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有8种, 其 中两个正面一个背面的情况有(正,正,背)(正,背,正) ,
3 与(背,正,正)三种,故所求概率为 . 8 12.如图执行右面的程序框图,那么输出的 S 值为 ▲

i < 10?

输出S



1 S = S + × i2 3

i=i+2

结 束 (12 题图)

高一数学竞赛试题答案

第 3 页(共 8 页)

解: S =

1 2 (1 + 32 + 52 + 72 + 92 ) = 55 . 3

13.函数 f ( x) = 3[sin x ] 的值域是 ▲ 最大整数)

. (其中 [ x] 表示不超过实数 x 的

?1 ? 解: ?1 ≤ sin x ≤ 1 ,所以 [sin x ] 的所有可能取值为 ?1,0,1 ,从而 f ( x) 值域为 ? ,1,3? . 3 ? ? 14.已知定义域为 R 的函数 y = f ( x) 对任意 x ∈ R 都满足条件
f x f 4 ? x 0 与 f x + 2 ? f x ? 2 0 ,则对函数 y = f ( x) , ( )+ ( )= ( ) ( )=

下列结论中必定正确的是 ▲ ① y = f ( x) 是奇函数; ③ y = f ( x) 是周期函数;

. (填上所有正确结论的序号) ② y = f ( x) 是偶函数; ④ y = f ( x) 的图象是轴对称的.

解:由 f x + 2 ? f x ? 2 0 知 f ( x) 有周期 T = 4 ,于是 f x = ? f 4 ? x = ? f (? x) ,知 ( ) ( )= () ( )
f ( x) 为奇函数,填①③. 15.若 n 为整数,关于 x 的方程 ( x ? 2011)( x ? n) 2011 + 1 = 0 有整数根,则 n =





?x ? n = 1 解 :设 x = x0 为 方 程的整 数根, 则 ( x0 ? 2011)( x0 ? n) 2011 = ?1 , 必有 ? 0 或 ? x0 ? 2011 = ?1 ? x0 ? n = ?1 得 n = 2009 或 n = 2013 . ? ? x0 ? 2011 = 1
16. y = f ( x) 是定义域为 R 的函数, g x) f ( x + 1) + (5 ? x) ( = f ,若函数 y = g x) ( 有且仅有 4 个

不同的零点,则这 4 个零点之和为 ▲
17.求值: sin 6° + sin 78° + sin 222° + sin 294° =



解: g (4-x) g x) y = g x) =( , ( 有对称轴 x = 2 ,故 4 个零点和为 8. ▲ .
D Y

解 1:如图,构造边长为 1 的正五边形 ABCDE ,使得 uuu r uuu r AB = (cos 6°,sin 6°) ,则依次可得 BC = (cos 78°,sin 78°) , uuu r uuur CD = (cos150°,sin150°) , DE = (cos 222°,sin 222°) , uuu r EA = (cos 294°,sin 294°) , uuu uuu uuu uuur uuu r r r r r 由于 AB + BC + CD + DE + EA = 0 , 所以 sin 6° + sin 78° + sin150° + sin 222° + sin 294° = 0 , 从而 sin 6° + sin 78° + sin 222° + sin 294° = ? sin150° = ?
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C E O X

B A ( 17题题) 题

1 . 2

解 2:原式 = ( sin 6° + sin 294° ) + ( sin 78° + sin 222° )
= 2sin150° cos144° + 2sin150° cos 72° = 2sin150° ( cos144° + cos 72° ) = 2 cos108° cos 36° = ?2sin18° cos 36° = ?

sin 36° ? cos 36° cos18°

=?

sin 72° 1 =? . 2 cos18° 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分.

π? ? π? ? 18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = sin 2 x + 2 3 sin x cos x + sin ? x + ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ?
⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;

π? ? ⑵若 x = x0 ? 0 ≤ x0 ≤ ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值. 2? ? π? ? π? ? 解:⑴ f ( x) = sin 2 x + 2 3 sin x cos x + sin ? x + ? sin ? x ? ? 4? ? 4? ? ? 2 ?? 2 ? 1 ? cos 2 x 2 2 = + 3 sin 2 x + ? ? 2 sin x + 2 cos x ?? 2 sin x ? 2 cos x ? ?? ? 2 ? ?? ? 1 = 3 sin 2 x ? cos 2 x + 2 π? 1 ? = 2sin ? 2 x ? ? + .…………………………………………………..4 分 6? 2 ?
所以 f ( x) 的最小正周期 T = π ;……………………………..……….…..5 分

π? ? ? 3 5? 由 ?1 ≤ sin ? 2 x ? ? ≤ 1 ,得 f ( x) 的值域为 ? ? , ? .…………………..7 分 6? ? ? 2 2? π? 1 π? 1 ? ? ⑵ f ( x) = 2sin ? 2 x ? ? + ,由题设知 f ( x0 ) = 0 ? sin ? 2 x0 ? ? = ? ,….8 分 6? 2 6? 4 ? ? π? π π π 5π π π ? 由 0 ≤ x0 ≤ ? ? ≤ 2 x0 ? ≤ ,结合 sin ? 2 x0 ? ? < 0 知 ? ≤ 2 x0 ? < 0 , 6? 2 6 6 6 6 6 ?

π? 15 ? 可得 cos ? 2 x0 ? ? = .…………………………………………………..10 分 6? 4 ?

π? π π? π ?? π? π? ? ? sin 2 x0 = sin ? ? 2 x0 ? ? + ? = sin ? 2 x0 ? ? cos + cos ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
1 3 15 1 15 ? 3 =? × + × = ,………………………...………..12 分 4 2 4 2 8
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π? π π? π ?? π? π? ? ? cos 2 x0 = cos ? ? 2 x0 ? ? + ? = cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
15 3 1 1 3 5 +1 × + × = ,……………………………..………..14 分 4 2 4 2 8 π? π? π? ? ? ? ∴ sin ? 4 x0 ? ? = sin 2 x0 cos ? 2 x0 ? ? + cos 2 x0 sin ? 2 x0 ? ? 6? 6? 6? ? ? ? = =

15 ? 3 15 3 5 + 1 ? 1 ? 7 ? 3 5 × + ×?? ? = 8 4 8 16 ? 4?

π? 1 7 ? 3 5 1 11 ? 3 5 ? ∴ f (2 x0 ) = 2sin ? 4 x0 ? ? + = 2 × + = .……….……..16 分 6? 2 16 2 8 ?
19. (本题满分 17 分)设函数 f ( x) = x 2 + bx ? 3 ,对于给定的实数 b , f ( x) 在区间 [b ? 2, b + 2] 上 有最大值 M (b) 和最小值 m(b) ,记 g (b) = M (b) ? m(b) . ⑴求 g (b) 的解析式; ⑵问 b 为何值时, g (b) 有最小值?并求出 g (b) 的最小值.
b? b2 b ? 解:⑴ f ( x) = ? x + ? ? 3 ? ,抛物线开口向上,其对称轴方程为 x = ? ,下面就对称轴与区间 2? 4 2 ?
2

[b ? 2, b + 2] 端点的相对位置分段讨论:……………….………………………..1 分
①当 0 ≤ b ≤
b 4 b ? b? 时, b ? 2 ≤ ? ≤ b + 2 且 (b + 2) ? ? ? ? ≥ ? ? (b ? 2) , 2 3 2 ? 2?

此时 M (b) = f (b + 2) = 2b 2 + 6b + 1 , m(b) = ?3 ?

b2 9 . g (b) = b2 + 6b + 4 .…3 分 4 4

b 4 b ? b? ②当 ? ≤ b < 0 时, b ? 2 ≤ ? ≤ b + 2 且 (b + 2) ? ? ? ? ≤ ? ? (b ? 2) , 2? 2 3 2 ?

此时 M (b) = f (b ? 2) = 2b2 ? 6b + 1 , m(b) = ?3 ? ③当 b >

b2 9 . g (b) = b2 ? 6b + 4 .…5 分 4 4

4 b 时, ? < b ? 2 , f ( x) 在区间 [b ? 2, b + 2] 上递增, 3 2

此时 M (b) = f (b + 2) = 2b 2 + 6b + 1 , m(b) = f (b ? 2) = 2b 2 ? 6b + 1 . g (b) = 12b .…7 分
4 b ④当 b < ? 时, ? > b + 2 , f ( x) 在区间 [b ? 2, b + 2] 上递减, 3 2

此时 M (b) = f (b ? 2) = 2b2 ? 6b + 1 , m(b) = f (b + 2) = 2b 2 + 6b + 1 . g (b) = ?12b .…9 分

高一数学竞赛试题答案

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? ? ?12b, ? ? 9 b 2 ? 6b + 4, ?4 综上所得 g (b) = ? ? 9 b 2 + 6b + 4, ?4 ? ? 12b, ?

4 b<? ; 3 4 ? ≤ b < 0; 3 ………………………………………………10 分 4 0≤b≤ ; 3 4 b> . 3

4 ? 4? ⑵当 b < ? 时, g (b) = ?12b > g ? ? ? = 16 ;…………………………………………11 分 3 ? 3?

4 9 当 ? ≤ b < 0 时, g (b) = b2 ? 6b + 4 递减, g (b) > g (0) = 4 ;…………..….……13 分 3 4

当0 ≤b ≤ 当b >

4 9 时, g (b) = b2 + 6b + 4 递增, g (b) ≥ g (0) = 4 ;…………....………15 分 3 4

4 ?4? 时, g (b) = 12b > g ? ? = 16 .……………………………………..………16 分 3 ?3?

综上所述,当 b = 0 时, [ g (b) ]min = 4 .…………..…………………………………17 分 20.(本题满分 18 分)定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件: ①存在常数 a 0 < a < 1 ,使得 f ( a ) = 1 ;②对任意实数 m , 当 x ∈ R + 时,有 f ( x m ) = mf ( x) . ( ) ⑴求证:对于任意正数 x, y , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ; ⑵证明: f ( x) 在正实数集上单调递减; ⑶若不等式 f ( log 2 ( 4 ? x ) + 2 ) ? f ( log a (4 ? x)8 ) ≤ 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. a ⑴ 证 明 : Q x, y 均 为 正 数 , 且 0 < a < 1 , 根 据 指 数 函 数 性 质 可 知 , 总 有 实 数 m, n 使 得

x = a m , y = a n ,于是 f ( xy ) = f a m a n = f a m+ n = (m + n ) f (a ) = m + n ,..…2 分
又 f ( x ) + f ( y ) = f (a m ) + f (a n ) = mf (a ) + nf (a) = m + n , ∴ f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ..5 分 ⑵证明:任设 x1 , x 2 ∈ R + , x1 > x 2 ,可令 x1 = x 2 t (t > 1) , t = aα (α < 0) .…………….7 分 则由⑴知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x 2 t ) ? f ( x 2 ) = f ( x 2 ) + f (t ) ? f ( x 2 )
= f ( t ) = f ( aα ) = α f ( a ) = α < 0 ,………………………………………………………..9 分

(

)

(

)

⑶解:令 log a (4 ? x) = t ,原不等式化为 f ( t 2 + 2 ) ? f ( 8t ) ≤ 3 ,其中 t > 0 .
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即 f ( x1 ) < f ( x2 ) .∴ f ( x) 在正实数集上单调递减;..……………………………..10 分

?x? Q f ( x) ? f ( y ) = f ( x) + f ( y ?1 ) = f ? ? 且 f (a) = 1(0 < a < 1) , ? y? ? t2 + 2 ? 3 不等式可进一步化为 f ? ? ≤ f ( a ) ,……………………….……..12 分 8t ? ?

又由于单调递减,∴

t2 + 2 ≥ a 3 对于 t > 0 恒成立.……………………..13 分 8t

2 ? ? t2 + 2 1 ? ? ? ? t ? 2 ? + 2 2 ? ≥ 1 ,………………….……….…..15 分 而 = ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t ? ? ?

? t2 + 2 ? 1 且当 t = 2 时 ? .……………………………………..16 分 ? = ? 8t ?min 2 2 ∴ a3 ≤ 1 2 2

,又 0 < a < 1 ,终得 0 < a <

2 .…………………………..18 分 2

高一数学竞赛试题答案

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