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2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题


2014 年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题
(7 月 6 日 8:30 至 11:00) 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 .已知 A ? B ? C ? ? a ,b ,c , d, e , ? f , A ? B ? ?a, b, c, d? , c ? A ? B ? C ,则符合上述条件的

? A, B, C?共有(<

br />A.100

)组 B.140 C.180 D.200 , 并 且 集 合 )

2 . 已 知 集 合

S1 ? ?( x, y ) log 2 (1 ? x 2 ? y 2 ) ≤ 1 ? log 2 ( x ? y )?

? ? S2 ? ?( x, y) log 1 (2 ? x 2 ? y 2 ) ≥ ?2 ? log 1 ( x ? y) ? ,则 S2 与 S1 的面积比为( ? 2 2 ? A. 2 :1 B. 4 :1 C. 6 :1 D. 8 :1

C, n i Bc o ? s B b ,c 成等比数列,a , b, 3. 已知 △ ABC 的三边 a , 则s c 的对角依次为 A ,B , 的取值范围是( ) 1 1 3 3 A. [ ,1 ? B. (1, 2] C. (1,1 ? D. [ , 2] ] ] 2 2 2 2 sin A ? 3 cos A 7π 4. △ ABC 的三个内角为 A , B , C ,若 ,则 sin 2B ? 2 cos C 的最大 ? tan 12 cos A ? 3 sin A 值为( ) 1 3 A. B. 1 C. D. 2 2 2

5.正项数列 ?an ? 满足

且成等比数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,则 ? S2014 ? 的值是(其中表示不超过实数的最大整数) ( ) A.5368 B.5367 C.5363 D.5362

1 1 1 ? ? ? 1(n ? N* ) , a1 ? a3 ? 6 , a1 , a2 , a3 单调递增 an an?1 an an ? 2 an ?1an ? 2

6.设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? 、 ? 截球 O 的两个 5π 截面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ,则球 O 的半径为( ) 6 A. 7 B. 2 7 C. 10 D. 2 10 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 7.若非零复数 x 满足 x ? ? 1 ,则 x 2014 ? 2014 ? . x x 4 x2 8.不等式 . ? 2 x ? 9 的解集为 (1 ? 1 ? 2 x )2 9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 2 1 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 , 3 3 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E (? ) 为 . ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 5 ???? ??? 10.如图所示,在 △ ABC 中, cos C ? , AH ? BC ? 0 , AB ? (CA ? CB) ? 0 ,则过点 C ,以 5 A , H 为两焦点的双曲线的离心率为 .

a 11.设是由任意 100 个互不相同的正整数组成的集合,令 B ? { a, b ? A 且 a ? b} , f ( A) 表示 b 集合 B 中元素的个数,则 f ( A) 的最大值与最小值之和为 .

12.抛物线 y ? ax2 ? bx ?1 的参数 a , b 满足 8a 2 ? 4ab ? b3 ,则当 a , b 变动时,抛物线的顶 点 ( s, t ) 的轨迹方程为 . 三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分) 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 已 知 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0, 并 且 对 任 意 m, n ? R , 都 有 . f ( m? n) ? f ( m)? f ( n ) (1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性以及单调性;

( 2 ) 设 集 合 A ? ?( x, y ) f (3 x 2 ) ? f (4 y 2 ) ≤ 24? , B ? ?( x, y ) f ( x) ? f (ay ) ? f (3) ? 0? ,
1 ? ? 1 ) ? 2 ,若 A ? B ? ? 且 A ? C ? ? ,试求实数 a 的 C ? ?( x, y ) f ( x) ? f ( y 2 ) ? f (a) ? ,且 f ( 2 ? ? 取值范围.

14. (本小题满分 20 分) C '. 如图, 锐角 △ ABC 外心为 O , 直线 BO 和 CO 分别与边 AC ,AB 交于点 B ' , 直线 B ' C ' 交 △ ABC 外接圆于点 P , Q .若 AP ? AQ ,证明: △ ABC 是等腰三角形锐角三角形.

15. (本小题满分 25 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,对于任意的 p, q ? N* ,有 a p?q ? ap ? aq . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2)数列 ?bn ? 满足 an ?

b b b1 b b ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? (?1)n ?1 n n (n ? N* ) ,求数列 2 ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2?1

?bn ? 的通项公式;
) ,是否存在实数 ? ,当 n ? N* 时,Cn?1 ? Cn 恒成立,若存在, (3)设 Cn ? 3n ? ?bn( n ? N*
求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

16. (本小题满分 25 分) 已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A , B 两点,连结 A 及抛物线顶 点 O 的直线交准线于 B ' ,连结 B 及 O 的直线交准线于 A ' ,并且 AA ' 与 BB ' 都平行于 x 轴. (1)证明:直线 l 过定点; (2)求四边形 ABB ' A ' 的面积的最小值.

2013 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。

一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 10 ? 0}, B ? {x | m ? 1? x ? 2m ? 1}.当 A ? B ? ? 时,实数 m 的取 值范围是( ) . 1 1 (A) . 2 ? m ? 4 (B). m ? 2 或 m ? 4 (C). ? ? m ? 4 (D). m ? ? 或 m ? 4 2 2 1. (B). 2.过原点的直线 l 交双曲线 xy ? ?2 2 于 P、Q 两点,其中点 P 在第二象限,将下半平面沿 x 轴折起使之与上半平面成直二面角,线段 PQ 的最短长度是( ) . (A) . 2 2 (B). 3 2 (C). 4 2 (D).4 2. (D). a b c a?b?c 1 3 i ,若 ? ? ,则 3.设 a, b, c 均为非零复数,令 w ? ? ? 的值为( ) . b c a a ?b?c 2 2 (A) . 1 (B). ? w (C). 1, w, w2 (D). 1, ?w, w2 3. (C). 4.设 f ( x) 是 (0, ??) 上的单调函数,且对任意 x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 .若 x0 是 方程 f ( x) ? f ' ( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a ?1, a)(a ? N * ) ,则 a 的值为( (A) . 1 4. (B). 5. 内直径为 (B). 2 (C). 3 (D).4 ) . ) .

4 3 ?2, 高为 20 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 2 的小球的个数是 ( 3

(A) . 30 5. (C).

(B). 33

(C). 36

(D).39

6.已知实数 x, y 满足 17( x2 ? y 2 ) ? 30 xy ?16 ? 0 .则 16 x 2 ? 4 y 2 ? 16 xy ? 12 x ? 6 y ? 9 的最大值 是( ) . (A) . 7 (B).

29

(C).

19 (D).3

6. (A) . 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.若 2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c ,则 2c 的最大值是 . 4 7. . 3 8 . 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , A B ? A A ? 3, 则 异 面 直 线 A1D 与 B1D1 的 距 离 1 ? 4, A D 为 . 6 34 8. . 17 x2 y 2 3 9.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,斜率为 1 且过点 M (b,0) 的直线与椭圆交于 A、 a b 2 ??? ? ??? ? 32 B 两点.设 O 为坐标原点,若 OA ? OB ? cot ?AOB ,则该椭圆的方程是 . 5 x2 y2 ? ? 1. 9. 16 4 10.将 11 个完全一样的小球放入 6 个不相同的盒子中,使得至多有 3 个空盒子的放法有 种. 10. 4212 . ?2 x ? 1, x ? 0, 11.已知函数 f ( x) ? ? 设方程 f ( x) ? x 在区间 (0, n] 内所有实根的和为 Sn ,则 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0, 1 数列{ }的前 n 项和= . Sn 2n 11. . n ?1 2a 12.数列{ an }中, an ? 2an ?1 ? n ?1 ? n ? 1(n ? 2) ,则此数列的通项公式 an = . n 12. an ? (n ? 1)(2n?1 ?1) . 三.解答题 2x ? m 13.设关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个实根 ? , ? (? ? ? ) ,函数 f ( x) ? 2 . x ?1 (1)求 ? f (? ) ? ? f (? ) 的值; (2)判断 f ( x) 在区间 (? , ? ) 的单调性,并加以证明; ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . (3)若 ? , ? 均为正实数,证明: | f ( ??? ??? 13. 解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根, ∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 , 2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 ? ? ? ∴ f (? ) ? 2 , 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ? ∴ ? f (? ) ? 1,同理可得 ? f ( ? ) ? 1 ∴ ? f (? ) ? ? f (? ) ? 2 , ………………(5 分)

2( x 2 ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) ?? , 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2 当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上单调递增. ………………………(10 分)
(Ⅱ)∵ f ?( x) ? ?

?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?0, ?? ? ?0, ??? ??? ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ∴? ? ∴由(Ⅱ)可知, f (? ) ? f ( ?? ) ? f (? ) , ??? ??? ?? ? ?? 同理 f (? ) ? f ( ) ? f (? ) , ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ∴| f ( ……………………………(15 分) )? f ( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | , ??? ???
(Ⅲ)∵ 由(Ⅰ)可知, f (? ) ? ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?|
1 ? 1
1

?

, f (? ) ?

1

?

, ?? ? ?1 ,

? ?? |?| ? ? ? | , ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ∴| f ( ……………………(20 分) )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ??? 2 14.已知数列{ an }满足 a1 ? 3, an?1 ? an . ? nan ? ?(n ? N ? , ? 为实数) (1)若 an ? 2n 恒成立,求 ? 的取值范围;
|?|

1 1 1 ? ??? ? 2. a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 14. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,由 a2 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 得 ? ? ?2 , 即 an ? 2n 时, ? ? ?2 . …………………………(5 分) 下面证明当 ? ? ?2 时, an ? 2n .

(2)若 ? =-2,求证:

当 n ? 2 时, a2 ? 2 ? 2 成立;设当 n ? k (k ? 2) 时, ak ? 2k 成立;则当 n ? k ? 1 时,
2 ak ?1 ? ak ? kak ? ? ? ak (ak ? k ) ? ? ? 2k 2 ? 2 ? 2 ? k ?1? (k ?1) ? 2 ? k ?1? ,

故对所有 n ? 2 ,an ? 2n 成立.当 n ? 1 时,a1 ? 3 ? 2 ?1 成立, 故对所有 n ? N* ,an ? 2n 成立. 综上, ? 的取值范围是 ? ? ?2 . ……………………………(10 分) 2 (Ⅱ)当 ? ? ?2 时, an?1 ? 2 ? an ? nan ? 4 ? nan ? 4 ? 2?an ? 2? ? 0 ( n ? 2 ) , 1 1 1 1 1 1 , …………………(15 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n?1 ? ? n?1 ( n ? 3 ) a n ? 2 2 a n?1 ? 2 a1 ? 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2 . ……………(20 分) ? ??? 2 2 2 2 a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 15.如图,锐角△ABC 中,AB<AC,且点 D 和 E 在边 BC 上,满足 BD=CE.若在△ABC 内存在点 P 满足 PD||AE 且∠PAB=∠EAC,证明: ∠PBA=∠PCA. 15.证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP , A 则 AC ? FB , ?ACE ? ?FBD ,又 BD ? CE , 故 ?AEC ? ?FDB , ………………………(5 分) ?BDF ? ?AEC ,所以 FD / / AE , 又 PD / / AE ,则 P 、 D 、 F 三点共线. ……(10 分) 因 此 , ?B F ? ,P ? 故 B 、 G 、 F 、 P 四点共圆, P ?FBG ? ?FPG ? ?BAP ? ?EAP ? ?CAP 又 M 于 G AP ? BG, AC ? BF ,故 ?APC ? ?BGF ,…… (20 分) 故 ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP . (25 分)

yP B A

?

F

?


C
T

B

D
O

E
D



Q

F

C
x

B

16. 设点 P 为圆 C1:x2 ? y 2 ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q. 点满足 ???? ? ??? ? 2 ? MQ ? PQ. (1)求点 M 的轨迹的方程; (2)过直线 x ? 2 上的点 T 作圆 C2 的两条切线,设切点分别为 A、B,若直线 AB 与(1)中 | CD | 的曲线 C2 交于两点 C、D,求 的取值范围. | AB | ???? ? ??? ? 16.解:(Ⅰ)设点 M ( x,y) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得 P( x, 2 y) , 由于点 P 在 C1:x2 ? y 2 ? 2 上,

x2 ? y 2 ? 1. ………………(5 分) 2 (Ⅱ)设点 T (2,t ) , A( x1? , y1? ),B ( x2? ,y2? ) ,则 AT , BT 的方程为
2 2 所以 x ? 2 y ? 2 ,即 M 的轨迹方程为

x1? x ? y1? y ? 2 , x2? x ? y2? y ? 2 , 又点 T (2, t ) 在 AT 、 BT 上,则有:

2 x2? ? ty2? ? 2 , ②, ……………………(10 由①、②知 AB 的方程为: 2 x ? ty ? 2 ,
2 x1? ? ty1? ? 2
① 设点 C( x1,y1 ),D( x2 ,y2 ) , 则圆心 O 到 AB 的距 2 d? ,则 4 ? t2

分) 离

2t 2 ? 4 | AB |? 2 r ? d ? 2 2 ; ……………………(15 分) t ?4 ?2 x ? ty ? 2 ? 2 2 又由 ? x 2 ,得 (t ? 8) y ? 4ty ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 4t ?4 t2 2 t 2 ? 4 ? 2t 2 ? 8 y ? y ? y y ? | CD | ? 1 ? | y ? y | ? 于是 1 , 1 2 ,∴ , 2 1 2 t2 ? 8 t2 ? 8 4 t2 ? 8
2 2

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 ? 于是 , | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4

| AB | s3 ? 6s 2 ? 32 6 32 ? ? 1? ? 3 , 设 t ? 4 ? s ,则 s ? 4 ,于是 3 | CD | s s s 1 1 | AB | ? 1 ? 6m ? 32m3 ,……………………(20 分) 设 ? m,m ? (0, ] ,于是 s 4 | CD | 1 3 2 设 f (m) ? 1 ? 6m ? 32m , f ?(m) ? 6 ? 96m ,令 f ?(m) ? 0 ,得 m ? ., 4
2

? 2 ? 1 | CD | ,1? 得 f ( m) 在 (0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2] .,即 的范围为 ? ?. 2 4 | AB | ? ?
…………………………………………(25 分)


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