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广西南宁二中2011届高三11月月考数学理试题

时间:2010-11-28


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南宁二中 2011 届高三年级 11 月月考

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事

件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k

(K=0,1,2,…n) 其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径 共 60 分)

球的表面积公式 球的体积公式

S = 4πR 2 4 V = π R3 3

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A = {x || gx ≤ 0}, B = {x | 2 ≤ 1}, 则CU ( A ∪ B ) =
x





A. ( ?∞,1) 2.复数

B. (1, +∞)

C. ( ?∞,1]

D. [1, +∞ ) ( )

i 在复平面中所对应的点到原点的距离为 1+ i
B.

A.

1 2

2 2

C.1

D. 2 ( )

3.若 p :| x + 1|> 2, q : x > 2, 则?p是?q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设向量 a与b 的模分别为 6 和 5,夹角为 120° ,则 | a + b | 等于 A.

( D. 31



2 3

B. ?

2 3

C. 91

5.若函数 f ( x ) = x ln x 的图象在 x=1 处的切线为 l , 则l 上的点到圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y + 4 = 0 上的最近距离是 A. 2 2 B. 2 ? 1 C. 2 2 ? 1 D.1 ( )

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6.设数列 {an }满足 : a2 = 3, an +1 =

1 + an (n ≥ 1), 则a2011 = 1 ? an
C.-2 D. ?





A.

1 2

B.3

1 3

7.某大学的包括甲、乙两人在内的 4 名大学生自愿参加 2010 年广州亚运会的服务,这 4 名大 学生 2 人被分配在田径服务项目上,另 2 个分配在球类服务项目上。如这样的分配是随机 的,则甲、乙两人被分配在同一服务项目上的概率是 ( ) A.

2 3

B.
2

1 3

C.

3 4

D.

1 4

8.二次函数 y = n( n + 1) x ? (2n + 1) x + 1, 当n 依次取 1,2,3,4,…,n,…时图像在 x 轴上 截得的线段的长度的总和为 A.1 B.2 9.设椭圆 ( C.3 D.4 )

x2 y2 1 + 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e = , 右焦点F (e, 0), 方程ax 2 + bx ? c = 0 的 2 a b 2
( B.圆 x 2 + y 2 = 2 上 D.以上三种情况都有可能 )

两个根分别为 x1 , x2 , 则点P ( x1 , x2 ) 在 A.圆 x 2 + y 2 = 2 内 C. x 2 + y 2 = 2 外

10.如图,在一个田字形区域 A、B、C、D 中涂色,要求同一 区域涂同一颜色,相邻区域涂不同颜色(A 与 C、B 与 D 不相邻) ,现有 4 种颜色可供选择,则不同的涂色方案有 ( ) A.48 种 B.60 种 C.72 种

D.84 种

11.如图,圆 O 过正方体六条棱的中点 A, (i = 1, 2, 3, 4,5, 6) ,此圆被正方体六条棱的中点分成 六段弧,记弧 A1 Ai +1 在圆 O 中所对的圆心角为 ai (i = 1, 2,3, 4,5), 弧 A6 A1 所对的圆心角为

a6 , 则 sin
A.

a +a a +a a1 a cos 3 5 ? cos 2 sin 4 6 等于 4 4 4 4
B.





6? 2 4 6+ 2 4

2? 6 4 6+ 2 4

C.

D. ?

12.已知函数 f(x)的定义域为 [ ?2, +∞ ) ,部分对应值如下表, f '( x)为f ( x) 的导函数,函数

y = f '( x) 的图象如右图所示:

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x
f ( x)

-2 1

0 -1

4 1

A. ( , )

6 4 7 3

B. ( , )

3 7 5 3

C. ( , )

2 6 3 5

D. ( ?1, )

1 2

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸相应位置上。 13.若 a < b < 0, 则 14.在 ( x ?

1 1 与 的大小关系为 a ?b a

。 (用数字作答)

2 8 ) 的展开式中,第三项系数是 x2

15.点 P 是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 和圆 C2 : x 2 + y 2 = a 2 + b 2 的一个交点,且 2 a b

2∠PF1 F2 = ∠PF2 F1 , 其中 F1、F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为


? x ≤ my + n ? 16. 直线 l : x = my + n( n > 0)过点A(4, 4 3) ,若可行 域 ? 3 x ? y ≥ 0 的外接圆 的直径为 ?y ≥ 0 ?
16 3 ,则实数 n 的值为 3


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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) = sin( x + (I)求 f ( x ) 的值域; (II)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B ) = 1, b = 1, c = 3 ,求 a 的 值。

π
6

) + 2 sin 2

x , x ∈ [0, π ] 2

18. (本小题满分 10 分) 由于近几年民用车现增长过快,造成交通拥堵现象日益严重,现有 A、B、C 三辆车从 同一地点同时出发,开往甲、乙、丙三地,已知 A、B、C 这三辆车在驶往目的地的过程中, 出现堵车的概率依次为 ,

1 1 1 , , 且每辆车是否被堵互不影响。 3 4 3

(I)求这三辆车恰有一辆车被堵的概率; (II)用 ξ 表示这三辆车中被堵的车辆数,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,点 D 是棱 AB 的中点,BC=1, AA1 = (I)求证: BC1 / / 平面A1 DC ; (II)求二面角 D—A1C—A 的大小。

3。

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20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y = ?2 的距离小 1`。 (I)求曲线 C 的方程; (II)过点 P(2,2)的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 AP = λ PB ,I 当 ?AOB 的面积 为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求 λ 的值。

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21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),? , Pn ( xn , yn ),? , 对一切正整数 n ,点 1

Pn 在函数 y = 3 x +
{xn } 。

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,-1 为公差的等差数列 4 2

(Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)设抛物线列 C1 , C2 , C3 ,? , Cn ,? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,抛物线 Cn 的 顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n + 1) ,记与抛物线 Cn 相切于点 Dn 的直线的斜率为 K n ,
2



1 1 1 + +? + 的值。 k1 k2 k2 k3 kn ?1 kn
* *

(Ⅲ)设 s = {x | x = 2 xn , n ∈ N }, T = { y | y = 4 yn , n ∈ N } ,等差数列 {an } 的任一项

an ∈ S ∩ T ,其中 a1是S ∩ T 中的最大数, ?265 < a10 < ?125 ,求数列 {an } 的通
项公式。

22. (本小题满分 14 分)
3 2 2 设 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) 是函数 f ( x ) = ax + bx ? a x ( a > 0) 的两个极值点。

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(Ⅰ)若 x1 = ?1, x2 = 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 | x1 | + | x2 |= 2 2, 求b 的最大值; ( Ⅲ ) 设 函 数 g ( x ) = f ′( x ) ? a ( x ? x1 ), x ∈ ( x1 , x2 ), 当x2 = a 时 , 求 证 :

| g ( x) |≤

1 a (3a + 2) 2 . 12

参考答案

一、选择题 1—6BBADCC 7—12BAADBD 二、

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13.

1 1 < a ?b a

14.112 15. 3 + 1 16.8 三、解答题 17.解: (1) f ( x ) = sin( x +

π
6

) + 2sin 2

x 3 1 = sin x + cos x + 1 ? cos x 2 2 2

=

3 1 π sin x ? cos x + 1 = sin( x ? ) + 1. ………………3 分 2 2 6

∵ x ∈ [0, π ],∴ x ?

π
6

∈ [?

π 5π
6 , 6

]

1 ∴ f ( x) ∈ [ , 2] 2

………………5 分

(II)由 f ( B ) = 1, 得 sin( B ?
2

π
6
2

) = 0, 故B =
2

π
6

………………6 分

解法一:由余弦定理 b = a + c ? 2a cos B , 得 a 2 ? 3a + 2 = 0, 解得a = 1或2 解法二:由正弦定理 ………………10 分

b c = , sin B sin C
………………6 分

得 sin C =

3 π 2π ,C = 或 2 3 3

3 2 2π π π 当C = 时, A = , 又B = , 从而a = b = 1 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2…………10 分 4 18.解: (I) p = …………4 分 9
(Ⅱ)依题意得 ξ 可取 0、1、2、3,计算得

当C =

π

时, A =

π

, 从而a = b 2 + c 2 = 2

………………8 分

2 3 2 1 × × = 3 4 3 3 4 7 1 P(ξ = 1) = , P(ξ = 2) = , P(ξ = 3) = 9 36 36

P(ξ = 0) =

ξ 的分布列:

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ξ
P …………8 分

0

1

2

3

1 3

4 9

7 36

1 36

1 4 7 1 11 Eξ = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = …………10 分 3 9 36 36 12
19. (1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 G,连结 DG, 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 四边形 ACC1A1 是平行四边形, ∴AC=GC1, ∵AD=DB, ………………2 分 ∴DG//BC1 ∵DG ? 平面 A1DC,BC1 ? 平面 A1DC, ∴BC1//平面 A1DC ………………4 分 (II)解法一:过 D 作 DE⊥AC 交 AC 于 E,过点 D 作 DF⊥A1C 交 A1C 于 F, 连结 EF。 ∵平面 ABC⊥面平 ACC1A1,DE ? 平面 ABC, 平面 ABC∩平面 ACC1A1=AC, ∴DE⊥平 ACC1A1, ∴EF 是 DF 在平面 ACC1A1 内的射影。 ∴EF⊥A1C, ∴∠DFE 是二面角 D—A1C—A 的平面角,………………8 分 在直角三角形 ADC 中, DE =

AD ? DC 3 = AC 4

同理可求: DF =

A1 D ? DC 39 DE 2 13 = ,∴ sin DFE = = . A1C DF 8 13
………………12 分

π 2 13 ∴∠DFE ∈ (0, ),∴∠DFE = arcsin . 2 13

解法二:过点 A 作 AO⊥BC 交 BC 于 O,过点 O 作 OE⊥BC 交 B1C1 于 E。 因为平面 ABC⊥平面 CBB1C1 所以 AO⊥平面 CBB1C1,分别以 CB、OE、OA 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 如图所示,因为 BC、1,AA1= 3 , △ABC 是等边三角形,所以 O 为 BC 的中点,则

O(0, 0, 0), A(0, 0,

3 1 3 1 3 1 ), C ( , 0, 0), A1 (0, 3, ), D( , 0, ), C1 (? , 3, 0) 2 2 2 4 4 2
………………6 分

设平面 A1DC 的法向量为 n = ( x, y , z ),

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则?

?n ? CD = 0, ? ?n ? A1C = 0. ?

3 3 1 3 ∵ CD = ( , 0, ), A1C = (? , ? 3, ? ), 4 4 2 2 ?3 3 z = 0, ? x+ ?4 4 ∴? ?? 1 x ? 3 y ? 3 z = 0. ? 2 ? 2
取x =

3, 得平面A1 DC的一个法向量为n = ( 3,1, ?3).

………………8 分

可求平面 ACA1 的一个法向量为 n1 = ( 3, 0, ?1) 设二面角 D—A1C—A 的大小为 θ , 则 cos θ = cos < n, n1 >=

………………10 分

6 13 × 2
3 13 . 13

=

3 13 . 13
………………12 分

∵ θ ∈ (0, π ),∴θ = arccos
20. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)∵ 点 M 到点 F(1,0)的距离比它到直线 l : y = ?2 的距离小于 1,

∴ 点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ′ : y = ?1 的距离相等 ∴ 点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l ′ 为准线的抛物线,
所以曲线 C 的方程为 x 2 = 4 y ……2 分 (Ⅱ)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 = k ( x ? 2), 即y = kx + 2(2 ? 2k )
2 2 代入 x = 4 y得x ? 4kx + 8( k ? 1) = 0

(*)…………3 分

? = 16(k 2 ? 2k + 2) > 0对k ∈ R 恒成立,所以,直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交点
设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则 x1 + x2 = 4k , x1 x2 = 8( k ? 1)

∵| AB |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 = (1 + k )2 [( x2 + x1 )2 ? 4 x2 x1 ] = 4 (1 + k 2 )(k 2 ? 2k + 2)
……5 分
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点 0 到直线 m 的距离 d =

| 2 ? 2k | 1+ k2

…………6 分

∴ S ?ABO =

1 | AB | ?d = 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k + 2 = 4 (k ? 1) 4 + (k ? 1) 2 2

∵ S ?ABO = 4 2,∴ 4 (k ? 1)4 + (k ? 1)2 = 4 2,

∴ (k ? 1) 4 + (k ? 1) 2 ? 2 = 0, (k ? 1) 2 = 1或(k ? 1) 2 = ?2 (舍去) ∴ k = 0或k = 2 …………8 分
当 k = 0时 ,方程(*)的解为 ±2 2 若 x1 = 2 2, x2 = ?2 2, 则λ =

2?2 2 ?2 2 ? 2

= 3 ? 2 2 …………9 分

若 x1 = ?2 2, x2 = 2 2, 则λ =

2 ? ?2 2 2 2 ?2

(

) = 3+ 2

2 …………10 分

当 k = 2 ,方程(*)的解为 4 ± 2 2 若 x1 = 4 + 2 2, x2 = 4 ? 2 2 , 则λ =

2? 4+2 2 4?2 2 ?2

( (

) = 3+ 2 ) = 3? 2

2 …………11 分

若 x1 = 4 ? 2 2, x2 = 4 + 2 2 , 则λ =

2? 4?2 2 4+2 2 ?2

2 …………12 分

所以, λ = 3 + 2 2或λ = 3 ? 2 2 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ xn = ?

5 3 + (n ? 1) × (?1) = ? n ? , 2 2 13 5 3 5 ∴ yn = 3 xn + = ?3n ? ,∴ Pn (? n ? , ?3n ? ). …………1 分 4 4 2 4

(Ⅱ)∵ Cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn

∴ 设C n 的方程为 y = a ( x +
2

2n + 3 2 12n + 5 ) ? . …………2 分 2 4

把 Dn (0, n + 1) 代入上式,得 a = 1.

∴ Cn 的方程为 y = x 2 + (2n + 3) x + n 2 + 1. …………3 分
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∵ kn = y ′ |x =0 = 2n + 3 …………4 分
∴ 1 kn ?1 kn = 1 1 1 1 = [ ? ] …………5 分 (2n + 1)(2n + 3) 2 (2n + 1) (2n + 3)


=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +? = [( ? ) + ( ? ) + ? + ( ? )] k1 k2 k2 k3 kn ?1 kn 2 5 7 7 9 2n + 1 2n + 3
1 1 1 1 1 ( ? )= ? . …………7 分 2 5 2n + 3 10 4n + 6
*

(Ⅲ) S = {x | x = ?(2n + 3), n ∈ N } ,

T = { y | y = ?(12n + 5), n ∈ N * } = { y | y = ?2(6n + 1) ? 3, n ∈ N * }
∴ S ∩ T = T …………9 分
T 中最大数 a1 = ?17. 设 {an } 公差为 d ,则 a10 = ?17 + 9d ∈ ( ?265, ?125) 由此得 ?

248 < d < ?12. 9

又∵ an ∈ T .

∴ d = ?12m(m ∈ N * ),∴ d = ?24,∴ an = 7 ? 24n(n ∈ N * )
22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)∵ f ( x ) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x ( a > 0)

∴ f ′( x) = 3ax 2 + 2bx ? a 2 (a > 0) …………1 分
依题意有 ?
2 ? ? f ′(?1) = 0 ?3a ? 2b ? a = 0 ,∴ ? (a > 0) 2 ?12a + 4b ? a = 0 ? f ′(2) = 0 ?

解得 ?

?a = 6 ,∴ f ( x) = 6 x 3 + 9 x 2 ? 36 x …………3 分 ?b = ?9

(Ⅱ)∵ f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx ? a 2 ( a > 0) 依题意, x1 , x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两个根,且 | x1 | + | x2 |= 2 2

∴ ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 + 2 | x1 x2 |= 8. ∴ ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 + 2 | x1 x2 |= 8

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∴ (?

2b 2 a a ) ? 2 ? (? ) + 2 | ? |= 8,∴ b 2 = 3a 2 (6 ? a ). …………5 分 3a 3 3
…………6 分
2

∵ b 2 ≥ 0,∴ 0 < a ≤ 6.
2

设 p ( a ) = 3a (6 ? a ), 则p ′( a ) = ?9a + 36a. 由 p ′( a ) > 0得0 < a < 4,由p ′( a ) < 0得a > 4. 即:函数 p ( a ) 在区间 (0, 4] 上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,

∴当a = 4 时, p (a ) 有极大值为 96,

∴ p (a)在(0, 6] 上的最大值是 96,
∴ b 的最大值为 4 6. …………8 分
(Ⅲ)证明:∵ x1 , x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两根,

∴ f ′( x) = 3a ( x ? x1 )( x ? x2 ) a 1 , x2 = a,∴ x1 = ? . …………9 分 3 3 1 1 1 ∴| g ( x) |=| 3a ( x + )( x ? a ) ? a ( x + ) |=| a ( x + )[3( x ? a ) ? 1] | 3 3 3 1 ∵ x1 < x < x2 , 即 ? < x < a. 3 1 ∴| g ( x) |= a ( x + )(?3 x + 3a + 1) …………10 分 3

∵ x1 ? x2 =

1 3a + 1 a 2 3a 3 1 ) = ?3a ( x ? ) + ∴| g ( x) |= ?3a ( x + )( x ? + a 2 + a …………12 分 3 3 2 4 3


3a 3 1 a (3a + 2) 2 + a2 + a = . 4 3 12
a (3a + 2) 2 成立…………14 分 12

∴| g ( x) |≤

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