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河北省邯郸市2015届高三数学上学期摸底试卷 文(含解析)


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河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)
一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则() A. M? N B. N=M C. M∩N={2,3} 2. (5 分)复数 z= A. 第一象限 (i 是虚数单位)在复平面内

对应的点在() B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

D. M∪N={1,4}

3. (5 分)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从 2014-2015 学 年高一 600 人、2014-2015 学年高二 780 人、2015 届高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查, 已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于() A. 660 B. 720 C. 780 D. 800 4. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 5. (5 分)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=() A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 6. (5 分)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数学之和为偶数的概率是() A. B. C. D.

7. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x+y 的最小值为()

A. ﹣5

B. ﹣4

C. ﹣ 3

D. ﹣2

8. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

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A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

9. (5 分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则

该几何体的体积为() A. 2cm
3

B. 4cm

3

C. 6cm

3

D. 8cm

3

10. (5 分)函数 f(x)=2x﹣tanx 在

上的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知 A,B,C 点在球 O 的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心 O 到平面 ABC 的距 离为 1,则球 O 的表面积为() A. 12π B. 16π C. 36π D. 20π 12. (5 分)抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△OFM 的外接圆 与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 36π ,则 p=() A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二.填空题 13. (5 分)函数 y= sin2x+cos x 的最小正周期为.
2

14. (5 分)已知 x,y∈R,且 x+2y=1,则 2 +4 的最小值是.

x

y

15. (5 分) 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点, 则 的取值范围为.

?

16. (5 分)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2) >x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数: ①y=﹣x +1,②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 以上函数为“Z 函数”的序号为.
3

④y=



三.解答题 17. (10 分)已知递增等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S3=2S2+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分) 在三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且三角形的面积为 S= (1)求角 B 的大小 (2)已知 =4,求 sinAsinC 的值.

accosB.

19. (12 分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了 问卷调查得到如下列联表:平均每天喝 500ml 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖. 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 .

(1)请将上面的列联表补充完整 (2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由 (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生) ,抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到一 男一女的概率是多少?参考数据: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(参考公式:K =

2

,其中 n=a+b+c+d)

20. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上.P 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1PB; (2)若 AD= ,AB=BC=2,AC=2 ,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 ,求证:λ 1+λ 2 为定值.

22. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣2ax+b.函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切 线方程是 y=2x+1, (1)求 a,b 的值; (2)问:m 在什么范围取值时,对于任意的 t∈[1,2],函数 g(x)=x +x [ +f′(x)]在区 间(t,3)上总存在极值?
3 2

河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则() A. M? N B. N=M C. M∩N={2,3}

D. M∪N={1,4}

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考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 列举出 N 中的元素,求出 M 与 N 的交集即可做出判断. 解答: 解:∵M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4}={2,3}, ∴N? M,M∩N={2,3},M∪N={1,2,3}. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)复数 z= A. 第一象限

(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在() B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:复数 z= = =1﹣i 在复平面内对应的点(1,﹣1)位于第四象限.

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则和几何意义,属于基础题. 3. (5 分)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从 2014-2015 学 年高一 600 人、2014-2015 学年高二 780 人、2015 届高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查, 已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于() A. 660 B. 720 C. 780 D. 800 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: ∵2014-2015 学年高一 600 人、 2014-2015 学年高二 780 人、 2015 届高三 n 人中, 抽取 35 人进行问卷调查,已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人, ∴ ,

解得 n=720, 故选:B. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立分层是解决本题的关键,比较基础. 4. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 常规题型. 分析: 根据换底公式变为同底的对数再比较大小.

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解答: 解:log46=

=

;log89=

=

∵3> ∴



故选 A 点评: 本题考查了换底公式,和对数函数的单调性.当给出的对数不同底时,往往要转化 为同底的进行大小比较. 5. (5 分)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=() A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 考点: 等比数列. 分析: 先由等差数列的性质求得 a2,再由 a1a2a3=80 求得 d 即可. 解答: 解:{an}是公差为正数的等差数列, ∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=80, ∴a2=5, ∴a1a3=(5﹣d) (5+d)=16, ∴d=3,a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的运算. 6. (5 分)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数学之和为偶数的概率是() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 列举出所有情况,看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的 多少即可. 解答: 解:从 1,2,3,4 中随机取出两个不同的数的基本事件为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 个, 其中和为偶数的有(1,3) , (2,4)共 2 个, 由古典概型的概率公式可知, 从 1,2,3,4 中随机取出两个不同的数,则其和为偶数的概率为 故答案为: . 点评: 本题主要考查随机事件的性质,古典概型概率计算公式以及列举法的应用,属于基 础题. .

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7. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x+y 的最小值为()

A. ﹣5

B. ﹣4

C. ﹣ 3

D. ﹣2

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,求出 最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=x+y 为直线方程的斜截式,得 y=﹣x+z, 由图可知,当直线 y=﹣x+z 过可行域内的点 B(﹣6,3)时, 直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小. ∴目标函数 z=x+y 的最小值为﹣6+3=﹣3. 故选:C. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 9. (5 分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则

该几何体的体积为() A. 2cm
3

B. 4cm

3

C. 6cm

3

D. 8cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,两个这样的几何体以俯视图为底面的四棱锥,求出底面面积和高, 代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S= ×(2+4)×2=6, 高 h=2, 故体积 V= Sh= ×6×2=4cm , 故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图,求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答 的关键.
3

10. (5 分)函数 f(x)=2x﹣tanx 在

上的图象大致为()

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A.

B.

C.

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的图象. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意判断函数的奇偶性以及函数在 x 大于 0 时的单调性即可推出正确结果. 解答: 解:因为函数 f(x)=2x﹣tanx 在 函数是奇函数, 故 A,B 不正确; 又 x= →0 ,函数 f(x)=2×
+

上满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,所以

﹣tan

=

>0,

故 C 正确,D 不正确. 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用,特值法是解答选择题的好方法. 11. (5 分)已知 A,B,C 点在球 O 的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心 O 到平面 ABC 的距 离为 1,则球 O 的表面积为() A. 12π B. 16π C. 36π D. 20π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由∠BAC=90°,AB=AC=2,得到 BC,即为 A、B、C 三点所在圆的直径,取 BC 的中点 M,连接 OM,则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离,在 Rt△OMB 中,OM=1,MB= ,则 OA 可求. 解答: 解:如图所示:取 BC 的中点 M,则球面上 A、B、C 三点所在的圆即为⊙M,连接 OM, 则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离, 在 Rt△OMB 中,OM=1,MB= , ∴OA= ,即球的半径为 , ∴球 O 的表面积为 12π . 故选:A.

点评: 本题考查球的有关计算问题,点到平面的距离,是基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (5 分)抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△OFM 的外接圆 与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 36π ,则 p=() A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,可得△OFM 的外接圆的圆心到准线的距 离等于圆的半径,由此可求 p 的值. 解答: 解:∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为 36π ,∴圆的半径为 6, 又∵圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= , ∴ + =6, ∴p=8, 故选:D. 点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查学生的计算能力,属于基础题. 二.填空题 13. (5 分)函数 y= sin2x+cos x 的最小正周期为 π .
2 2

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据二倍角的三角函数公式和两角和的正弦公式将函数表达式化简得 y= (2x+ )+ ,再由三角函数的周期公式即可算出函数 y 的最小正周期.
2

sin

解答: 解:y= sin2x+cos x = sin2x+ = sin(2x+ )+ =π ;

∴函数 f(x)的最小正周期 T=

故答案为 π . 点评: 本题给出三角函数表达式,求它的最小正周期,着重考查了三角恒等变换公式和三 角函数的图象与性质等知识点,属于中档题. 14. (5 分)已知 x,y∈R,且 x+2y=1,则 2 +4 的最小值是 考点: 基本不等式.
x y



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题. 分析: 首先判断 2 >0,4 >0,然后知 2 +4 ≥2 解答: 解:由 2 >0,4 >0, ∴2 +4 ≥2
x y x y x y x y x y

=

,即得答案.

=



所以 2 +4 的最小值为 故答案为: . 点评: 本题考查均值不等式的性质和应用,解题时要注意公式的正确应用.

15. (5 分) 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点, 则 的取值范围为[ ,3].

?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 关系得到 ? 和 的夹角为 60°,设| |=x,x∈[0,2],根据的向量的之间的

的表达式,借助于二次函数求出最值,即得它的取值范围. 和 ﹣ 的夹角为 60°,设| )= ﹣ |=x,x∈[0,2], ﹣ + =2×1﹣2xcos60°﹣

解答: 解:由题意可得 ∵ ? =(
2



)?(

xcos60°+x =x ﹣ x+2=
2

+ ?

, ,当 x=2 时, ? 取得最大值为 3,

故当 x= 时, 故 ?

取得最小值为 ,

的取值范围为

点评: 本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义 以及二次函数配方求最值,属于基础题. 16. (5 分)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2) >x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数: ①y=﹣x +1,②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 以上函数为“Z 函数”的序号为②. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用.
3

④y=



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 3 ①函数 y=﹣x +1 在定义域上单调递减.不满足条件. ②y=3x﹣2sinx﹣2cosx,y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cox)=3﹣2 函数单调递增,满足条件. ③f(x)=y= 足条件. ④y= ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足条 ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满 sin(x﹣ )>0,

件. 故答案为:② 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的 关键. 三.解答题 17. (10 分)已知递增等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S3=2S2+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)先求出公比,再求出求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)利用分组求和,即可求{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)设公比为 q,由题意:q>1,a1=1, 2 则 a2=q,a3=q , ∵S3=2S2+1,∴a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,?(2 分) 2 则 1+q+q =2(1+q)+1 解得:q=2 或 q=﹣1(舍去) ,?(4 分) n﹣1 ∴an=2 ?(5 分) n﹣1 (Ⅱ)bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2 ?(7 分) 则 = + =n +2 ﹣
2 n

1?(10 分) 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于中档题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分) 在三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且三角形的面积为 S= (1)求角 B 的大小 (2)已知 =4,求 sinAsinC 的值. accosB.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据三角形的面积,建立条件关系即可求角 B 的大小 (2)已知 =4,根据正弦定理即可求 sinAsinC 的值. ,由已知 可得

解答: 解(1)在三角形 ABC 中 , ∴ ∴0<B<π , ∴ (2)∵ ∵ 由正弦定理可得 sin B=3sinAsinC, ∵ .
2



. ,

点评: 本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的正弦定理以及三角形的面积公式 是解决本题的关键. 19. (12 分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了 问卷调查得到如下列联表:平均每天喝 500ml 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖. 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 .

(1)请将上面的列联表补充完整 (2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由 (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生) ,抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到一 男一女的概率是多少?参考数据: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(参考公式:K =

2

,其中 n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据全部 50 人中随机抽取 1 人看营养说明的学生的概率为 ,做出看营养说

明的人数,这样用总人数减去看营养说明的人数,剩下的是不看的,根据所给的另外两个数 字,填上所有数字. (2) 根据列联表所给的数据, 代入求观测值的公式, 把观测值同临界值进行比较, 得到有 99.5% 的把握说看营养说明与性别有关. (3)利用列举法,求出基本事件的个数,即可求出正好抽到一男一女的概率. 解答: 解: (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人, 常喝 不常喝 肥胖 6 2 不胖 4 18 合计 10 20 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)由已知数据可求得: 因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为 A、B、C、D,女生为 E、F,则任取两人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种.其中一男一女 有 AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 合计 8 22 30

﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查画出列联表,考查等可能事件的概率,考查独立性检验,在求观测值时, 要注意数字的代入和运算不要出错. 20. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上.P 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1PB; (2)若 AD= ,AB=BC=2,AC=2 ,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积.

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AB1 与 A1B 交于点 E,则 PE∥B1C,由此能证明 B1C∥平面 A1PB. (2)由已知得 AB⊥BC,AD⊥A1B.由 = ,利用等积法能求出三棱锥 P﹣A1BC

的体积. 解答: (1)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴连接 AB1 与 A1B 交于点 E,∴E 为 A1B 中点, 连接 PE,∵P 为 AC 的中点,∴PE∥B1C ∵PE? A1PBB1C?A1PB, ∴B1C∥平面 A1PB. (4 分) (2)解:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 2 2 2 AB=BC=2,AC=2 ,AB +BC =AC ∴AB⊥BC, S△ABC= = , ,

∵P 为 AC 的中点,

∵AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上, ∴AD⊥A1B. 在 Rt△ABD 中,AD= ,AB=BC=2, sin∠ABD= = ,∠ABD=60°, , = = . (12 分)

在 Rt△ABA1 中,AA1=AB?tan60°=2 ∴ = =

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点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 ,求证:λ 1+λ 2 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ) 由题意: 以椭圆 C 的右焦点为圆心, 以 圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d=

b 为半径的圆的方程为 (x﹣c) +y =2b ,

2

2

2

,由此结合已知条件能求出椭圆方程.
2 2 2 2

(Ⅱ)设直线 L 方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆方程得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,由此利用 韦达定理结合已知条件能证明 λ 1+λ 2=﹣4(定值) . 解答: 解: (Ⅰ)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆的方程为(x﹣c) 2 2 2 +y =2b , ∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= ?*

∵椭圆 C: b=c,代入*式得 b=1 ∴a= = , 故所求椭圆方程为

,a>b>0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

.?(4 分)

(Ⅱ)由题意:直线 L 的斜率存在, ∴设直线 L 方程为 y=k(x﹣1) , 则 M(0,﹣k) ,F(1,0)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 将直线方程代入椭圆方程得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0?(6 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 由 ,∴ ?①?(8 分) , ,
2 2 2 2

即: ,

?(10 分)

=

=﹣4

∴λ 1+λ 2=﹣4(定值)?(12 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两数和为定值的证明,解题时要认真审题,注意函 数与方程思想的合理运用. 22. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣2ax+b.函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切 线方程是 y=2x+1, (1)求 a,b 的值; (2)问:m 在什么范围取值时,对于任意的 t∈[1,2],函数 g(x)=x +x [ +f′(x)]在区 间(t,3)上总存在极值? 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y=2x+1 可知,f′(1)=2,f(1) =3,可解 a、b 的值; (2)转化成 g′(x)=0 在(t,3)上有实数根,列出等价条件,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)因为函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 2, 所以 f'(1)=2,所以 a=﹣2,则 f(1)=4+b 代入切线可得 b=﹣1, (2) 因为任意的 t∈[1,2],函数 ,g'(x)=3x +(m+8)x﹣2, 在区间(t,3)上总存在极值,
2 3 2

又 g'(0)<0,所以只需



解得



点评: 本题考查的是导数在求切线,判断函数的单调性极值方面的应用,属于中档题.

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